广东省广州市2017年中考数学真题试题(含解析)(真题)

广东省广州市2017年中考数学真题试题
第一部分选择题（共30分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图1，数轴上两点,A B表示的数互为相反数，则点B表示的（）
A． -6 B．6 C． 0 D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：－6的相反数是6，A点表示－6，所以，B点表示6.故选答案B.
考点：相反数的定义
2.如图2，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到图形为（）
【答案】A
考点：旋转的特征
3. 某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）12，13，14，15，15，15.这组数据中的众数，平均数分别为（ ）
A ．12，14
B ． 12，15
C ．15，14
D ． 15，13 【答案】C 【解析】
试题分析：15出现次数最多，有3次，所以，众数为15, 11213141515156
+++++（）＝14.故选C.
考点： 众数，中位数的求法 4. 下列运算正确的是（ ） A ．
362a b a b ++= B ．2233
a b a b ++⨯= C. 2
a a = D ．()0a a a =≥ 【答案】D
考点：代数式的运算
5.关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（ ） A ．16q < B ．16q > C. 4q ≤ D ．4q ≥ 【答案】A 【解析】
试题分析：根的判别式为△＝6440q ->，解得：16q <.故选答案A. 考点：一元二次方程根的判别式的性质 6. 如图3，
O 是ABC ∆的内切圆，则点O 是ABC ∆的（ ）
图3
A ． 三条边的垂直平分线的交点
B ．三角形平分线的交点 C. 三条中线的交点 D ．三条高的交点 【答案】B 【解析】
试题分析：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B 。

考点： 内心的定义 7. 计算()
2
3
2
b a b
a
，结果是（ ） A ．55
a b B ．45
a b C. 5
ab D ．56
a b 【答案】A 【解析】
试题分析：原式＝265
63
55b a b a b a b a a
∙==.故选答案A.
考点： 分式的乘法
8.如图4，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点，06,60EF DEF =∠=，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，ED '交BC 于点G ，则GEF ∆的周长为 （ ）
A ．6
B ． 12 C. 18 D ．24 【答案】C
考点： 平行线的性质 9.如图5，在
O 中，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，
垂足为E ，连接0,,20CO AD BAD ∠=，则下列说法中正确的是（ ）
A ．2AD O
B = B ．CE EO = C. 0
40OCE ∠= D ．2BOC BAD ∠=∠ 【答案】D
考点： 垂径定理的应用 10. 0a ≠，函数a
y x
=
与2y ax a =-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：如果a ＞0，则反比例函数a
y x
=
图象在第一、三象限，二次函数2y ax a =-+图象开口向下， 排除A ；二次函数图象与Y 轴交点（0，a ）在y 轴正半轴，排除B ； 如果a ＜0，则反比例函数a
y x
=图象在第二、四象限，二次函数2y ax a =-+图象开口向上， 排除C ；故选D 。

考点： 二次函数与反比例函数的图像的判断.
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题：本大题共6小题 ，每小题3分，满分18分
11.如图6，四边形ABCD 中，0//,110AD BC A ∠=，则B ∠=___________.
【答案】70° 【解析】
试题分析：两直线平行，同旁内角互补，可得：B ∠=180°-110°＝70° 考点：平行线的性质
12.分解因式：29xy x -=___________． 【答案】(3)(3)x y y +-
考点：提公因式法和公式法进行因式分解.
13.当x = 时，二次函数226y x x =-+ 有最小值______________.
【答案】1 ， 5 【解析】
试题分析：二次函数配方，得：2(1)5y x =-+，所以，当x ＝1时，y 有最小值5. 考点：利用二次函数配方求极值.
14.如图7，Rt ABC ∆中，0
15
90,15,tan 8
C BC A ∠===
，则AB = ．
【答案】17 【解析】
试题分析：因为15
15,tan 8
BC BC A AC ===，所以，AC ＝8，由勾股定理，得：AB ＝17. 考点： 正切的定义.
15.如图8，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线
l = ．
【答案】35
考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.
16.如图9，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线
段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：
①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④45
OD =；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③ 【解析】
试题分析：如图，分别过点A 、B 作AN OB ⊥ 于点N ，BM x ⊥ 轴于点M 在OABC 中，
(80)(34)(114)137A C B OB ∴，，，，，
D E 、 是线段AB 的三等分点， 1
2
OD BD ∴
= ,CB OF ODF
BDC ∴∆∆
111
222
OF OD OF BC OA BC BD ∴
==∴==， F ∴ 是OA 的中点，故①正确.
(34)5C OC OA ∴=≠，，
OABC ∴ 不是菱形.,DOF COD EBG ODF COD EBG ∴∠≠∠=∠∠≠∠=∠
(40)17,F CF OC CFO COF ∴=<∴∠>∠，， DFO EBG ∴∠≠∠
故OFD ∆ 和BEG ∆ 不相似. 则②错误；
,DF FG ∴ 四边形DEGH 是梯形
()55120
2121223
DEGF DE FG h S OB h OB AN -∴=
=⋅=⋅=四边形
则③正确
1137
33
OD OB ==
,故④错误. 综上：①③正确.
考点： 平行四边形和相似三角形的综合运用
三、解答题 （本大题共9小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解方程组：5
2311x y x y +=⎧⎨
+=⎩
【答案】4
1x y =⎧⎨=⎩
考点：用加减消元法解二元一次方程组.
18. 如图10，点,E F 在AB 上，,,AD BC A B AE BF =∠=∠=. 求证：ADF BCE ∆≅∆
.
【答案】详见解析 【解析】
试题分析：先将AE BF =转化为AF ＝BE ，再利用SAS 证明两个三角形全等 试题解析：证明：因为AE ＝BF ，所以，AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE ， 在△ADF 和△BCE 中，
AD BC A B AF BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
所以，ADF BCE ∆≅∆ 考点：用SAS 证明两三角形全等
19.某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t （单位：小时），
将学生分成五类：A 类（02t ≤≤ ），B 类（24t <≤），C 类（46t <≤），D 类（68t <≤），E 类（8t >），绘制成尚不完整的条形统计图如图11.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）E 类学生有_________人，补全条形统计图； （2）D 类学生人数占被调查总人数的__________%；
（3）从该班做义工时间在04t ≤≤的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在24t <≤ 中的概率． 【答案】（1）5；（2）36%；（3）3
10
【解析】
试题分析：（1）数据总数-已知的小组频数=所求的小组频数 （2）小组频数=
该组频数
数据总数
（3）利用列举法求概率
考点：条形统计图 的考查，列举法求概率
20. 如图12，在Rt ABC ∆中，0090,30,23B A AC ∠=∠==.
（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若ADE ∆的周长为a ，先化简()()2
11T a a a =+--，再求T 的值． 【答案】（1）详见解析；（2）3310
【解析】
试题分析：（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度。

试题解析：（1）如下图所示：
考点：线段的垂直平分线的尺规作图；在直角三角形中利用三角函数求边长.
21. 甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙
队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的4
3
倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
【答案】（1）80公里；（2）乙队每天筑路4
5
公里
【解析】
试题分析：（1）求一个数的几分之几是多少，用乘法运算；（2）依据等量关系，列出分式方程
考点：列分式方程解应用题.
22.将直线31y x =+向下平移1个单位长度，得到直线3y x m =+，若反比例函数k y x
=的图象与直线3y x m =+相交于点A ，且点A 的纵坐标是3．
（1）求m 和k 的值；
（2）结合图象求不等式3k x m x
+>的解集． 【答案】（1）m=0,k=3；（2）101x x -<<>或
【解析】
试题分析：（1）利用一次函数的平移规则求出m ，求出点A 的坐标，再代入反比例函数中求出k 的值. 试题解析：（1）3y x m =+ 由31y x =+向下平移1个单位长度而得
0,m ∴= A 点的纵坐标为3，且在3y x = 上，(13)A ∴，
A k y x
= 上，3k ∴= （2）由图像得：101x x -<<>或
考点：一次函数与反比例函数的综合运用；数形结合
23.已知抛物线21y x mx n =-++，直线21,y kx b y =+的对称轴与2y 交于点()1,5A -，点A 与1y 的顶点B 的距离是4．
（1）求1y 的解析式；
（2）若2y 随着x 的增大而增大，且1y 与2y 都经过x 轴上的同一点，求2y 的解析式．
【答案】（1）2211228y x x y x x =--=--+或；（2）2510y x =+或者252033
y x =
+ 【解析】
试题分析：（1）利用二次函数的对称轴公式求出m,再利用两点间的距离公式求出n ；（2）根据一次函数的性质求出k 大于0，注意分类讨论解决问题，用待定系数法求一次函数的表达式.
（2）①当212(2)y x x x x =--=-+时，1y 与x 轴交点为(0,0)(2,0)-、
2y 随x 的增大而增大.
0k ∴>
i ．当2y 经过点(1
5)(00)A -，，， 时 则有5500
k b
k b b =-+=-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩
25y x =- （不符，舍去）
ii ．当2y 经过点(1
5)(20)A --，，， 时 则有550210k b
k k b b =-+=⎧⎧∴⎨⎨=-+=⎩⎩
2510y x ∴=+
ii ．当2y 经过点(1
5)(40)A --，，， 时 则有5530420
3k k b
k b
b ⎧=⎪=-+⎧⎪∴⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩ 252033y x ∴=
+ 综上述，2510y x =+或者252033
y x =+ 考点：二次函数的对称轴公式，两点间的的距离公式；待定系数法求一次函数表达式.
24．如图13，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，COD ∆关于CD 的对称图形为CED ∆．
（1）求证：四边形OCED 是菱形；
（2）连接AE ，若6cm AB =，5BC cm ．
①求sin EAD ∠的值；
②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1/cm s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．
【答案】（1）详见解析；（2）①2sin 3EAD ∠=
②32AP =和Q 走完全程所需时间为32s 【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求sin EAD ∠；②先确定点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.
在矩形ABCD 中，G 为DC 的中点，且O 为AC 的中点
OG ∴ 为CAD ∆ 的中位线 52
OG GE ∴== 同理可得：F 为AB 的中点，53OF AF == 22223593()22
AE EF AF ∴=+=+=
3
2sin
sin 932
EAD AEF
EAD AEF ∠=∠∴∠=∠==
如下图，当P 运动到1P ,即1
PO AB 时，所用时间最短. 3t OP MA ∴=+=
在11Rt APM ∆ 中，设112,3AM x AP x ==
2222211115(3)=(2)AP AM PM x x =+∴ 解得：12x = 32
AP ∴= 32AP ∴=和Q 走完全程所需时间为32
s
考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置
25.如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．
（1）求证：045CAB ∠=；
（2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,BD AB BD =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．
①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论； ②EB CD
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）①AE AD = ②2BE CD = 【解析】
试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）①等角对等边；②
（2）①如图所示，作BF l ⊥ 于F
由（1）可得，ACB ∆ 为等腰直角三角形. O 是AB 的中点. CO AO BO ∴== ACB ∴∆ 为等腰直角三角形. 又l 是O 的切线，OC l BF l ∴⊥⊥
∴ 四边形OBEC 为矩形 22AB BF
BD BF ∴=∴= 303075BDF DBA BDA BAD ∴∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，
15901575CBE CEB DEA ∴∠=︒∠=︒-︒=︒=∠，
,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=
②当ABD ∠ 为钝角时，如图所示，同样，1,302
BF BD BDC =∴∠=︒ 1801501509015152
ABD AEB CBE ADB ︒-︒∴∠=︒∠=︒-∠=︒∠==︒，， AE AD ∴=
（3）当D 在C 左侧时，由（2）知
CD AB ,,30ACD BAE DAC EBA ∠=∠∠=∠=︒ ,2AC CD CAD BAE AB AE ∴∆∆∴== 2,,15AE CD BA BD BAD BDA ∴==∠=∠=︒ 30IBE ∴∠=︒,
在Rt IBE ∆ 中，222222
BE EI AE AE CD ==⨯== 2BE CD
∴=
当D 在C 右侧时，过E 作EI AB ⊥ 于I
在Rt IBE ∆ 中，222222
BE EI AE CD ==⨯== 2BE CD
∴
= 考点：圆的相关知识的综合运用。