北师大版数学高一导数与函数的单调性同步练习

3.1.1 导数与函数的单调性同步练习
1．确定下列函数的单调区间
(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3
2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.
3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2
+ (2)y =9
2-x x
(3)y =x +x 4．已知函数y =x +x 1
，试讨论出此函数的单调区间.
参考答案
1．(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)
令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)
(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33) 令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，3
3). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－3
3. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(3
3，+∞) 2．解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－
a b 2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－a
b 2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－a b 2.∴y =ax 2+bx +
c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－a
b 2) 3．(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x
＜0，∴y ′＜0. ∴y =x
x 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)
9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)
9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =9
2-x x 的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).
(3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-x
x . 当x ＞0时x 21
+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)
4．解：y ′=(x +x
1)′ =1－1·x －2=2
22)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(x
x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x
1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令
2)1)(1(x
x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)。