山东省济宁市高考数学一轮复习第一讲等差数列习题理新人教A版

第一讲 等差数列、等比数列
1．[2014·黄冈] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为
( )
A ．a n ＝2n －3
B ．a n ＝2n ＋3
C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2
D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2 [解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.又当n ＝1时，a 1的值不适合n ≥2时的通项公式，故选C.
2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
【解析】 由S 10＝S 11得10a 1＋10×92×(－2)＝11a 1＋11×102
×(－2)，解得a 1＝20. 【答案】 B
3．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.
【解析】 设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，
∴d 2＝4，∴d ＝±2.由于该数列为递增数列，∴d ＝2.
∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 【答案】 2n －1
4、已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13
，则a 10＝________. 【解析】 (1)由已知1a n ＋1－1a n ＝13，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是公差为13的等差数列，又∵a 1＝1，∴1a n ＝1a 1＋13(n －1)＝n ＋23.∴1a 10＝10＋23＝4，∴a 10＝14
. 【答案】 14
5、(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案：∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0，
∴a m ＝S m －S m －1＝2.
∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，
∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.
又S m ＝m a 1＋a m 2＝m a 1＋2
＝0， ∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C
6．[2014·合肥检测] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( )
A ．7
B ．12
C ．14
D ．21
[解析] 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 得，数列{a n }为等差数列．由a 5＝4－a 3，得a 5＋a 3＝4＝a 1
＋a 7，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2
＝14. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2
答案：A [解析] 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，
解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．
8．（2010广东）已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4
与2a 7的等差中项为54
，则S 5＝( ) A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
解析：设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q
3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1－q 51－q ＝31.
答案：C
9．（2013湖北）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．
解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n 项和公式，也考查了分类讨论思想．
(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q ＋q ＋q 2＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)
n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－－n ]1－－＝1－(－2)n .
若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.
当n 为偶数时，(－2)n
>0，上式不成立；
当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.
综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。