高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.3平面与圆锥面的截线练习(含解析)新人教A版选修4_1

三平面与圆锥面的截线
课时过关·能力提升
基础巩固
1已知圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴线所成的角为30°,则截线是()
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
α=50°= 5°,β=30°,β>α,
故截线是椭圆,故选B.
2已知平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是()
A.2
B.
C.3
D.23
β,母线与轴线夹角为α,由题意,知β=0°,α=60°,故e==2.
3若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是()
A.不存在的
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
,应选D.
4已知双曲线的两条准线把两个焦点所连线段三等分,则它的离心率为()
A. B.3 C.6 D.23
2a,虚轴长为2b,焦距为2c.
由题意知2c=·3,故e=3.
5已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面π与轴夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是,该曲线的形状是.
>1,∴曲线为双曲线.
e= 45°
60°
双曲线
6设圆锥面是由直线l'绕直线l旋转而得,l'与l交点为V,l'与l的夹角为α(0°<α<90°),不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面相交,设轴l与平面π所成的角为β,则
当时,平面π与圆锥面的交线为圆;
当时,平面π与圆锥面的交线为椭圆;
当时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;
当时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.
=90°α<β<90°β<αβ=α
7一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.
β=30°,α=30°,则β=α.
则截线是抛物线,如图.
8已知一圆锥面S的轴线为Sx,轴线与母线的夹角为30°,在轴上取一点O,使SO=3 cm,球O与这个锥面相切,求球O的半径和切点圆的半径.
,OH=SO=3cm,
HC=OH in60°=3333
4
(cm).
所以球O的半径为3cm,切点圆的半径为33
4
cm.
能力提升
1已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲
线的离心率为()
A.3
5B.4
5
C.1
D.5
3
2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e=5
3
.
2线段AB是抛物线的焦点弦,F为焦点.若点A,B在抛物线准线上的正射影分别为点A1,B1,则∠
A1FB1等于() A.45° B.60° C.90° D. 0°
,由抛物线定义,知AA1=AF,
∴∠AA1F=∠AFA1.
又AA1∥EF,
∴∠AA1F=∠A1FE,
∴∠AFA1=∠A1FE,
∴FA1是∠AFE的平分线.
同理,FB1是∠BFE的平分线,
∴∠A1FB1=∠AFE+∠BFE
=(∠AFE+∠BFE)=90°.
+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共3如图,F1,F2是椭圆C1:
4
点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()
A. B.3
C.3
D.6
C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=23.
又因为四边形AF1BF2为矩形,
所以∠F1AF2=90°.
所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
解得|AF1|=2-,|AF2|=2+.
所以在双曲线C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=2,故e=36,故选D.
4已知椭圆两条准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为.
2a,短轴长为2b,焦距为2c.
由 0,
0,得
a=5,c=5,
则2b=2-=53.
3
5已知一平面与圆柱面的母线成45°角,平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6,则圆柱面内切球的半径为.
2a=6,得a=3.
又e= 45°=,
∴c=e·a=×3=3.
∴b=-3-93.
∴圆柱面内切球的半径r=3.
6如图,抛物线的焦点为F,顶点为A,准线为l,过点F作PF⊥AF.求证:AF=PF.
,过点P作PB⊥l于点B.
由抛物线的定义知PB=PF,AH=AF,
又HF=BP,
故AF=HF=BP=PF.
★7如图,已知圆锥母线与轴的夹角为α,平面π与轴线夹角为β,Dandelin球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G2.
β>α知截线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解.
O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于点O,
.
在Rt△O1F1O中,OF1=
n∠ n
.
在Rt△O2F2O中,OF2=
n∠ n
.
则F1F2=OF1+OF2=
n
.
同理,O1O2=
in
连接O1A1,O2A2,过O1作O1H⊥O2A2.
·cosα.
在Rt△O1O2H中,O1H=O1O2·cosα=
in
又O1H=A1A2,
由切线定理,容易验证G1G2=A1A2,
·cosα.
故G1G2=
in。