高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》2

直线的参数方程
黄煜芳
一、教材分析
本节课节选自《高中数学北师大版选修4-4》第二章第二节直线的参数方程
二、学情分析
学生上节课刚学了参数方程的概念以及参数方程与普通方程的互化，接受程度良好，印象还比较清晰，有助于本节课的学习但学生对于平面向量的相关知识已经淡忘，所以课前需要简单的复习一下
三、教学目标
1 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用；
2通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想；
3 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．
四、教学重点
直线的参数方程及参数的几何意义
五、教学难点
参数的几何意义
六、教学方法与手段
引导探究式教学，多媒体课件辅助教学
七、教学过程
（一）知识回顾
教师提出问题：
1.共线向量的条件是什么？
→
→→→→→=⇔≠a b a a b λ)0(// 2.直线方程的有几种形式？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．
（二）探索新知
1直线的参数方程
问题1：已知直线上一点M 0（1,2）,倾斜角为6
π，求直线的方程 问题2：如何建立的参数方程？
问题3：如何建立经过点M 0,0,倾斜角为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
≠2παα的直线的参数方程 【设计意图】有特殊到一般推导出直线的参数方程有助于学生更好理解
【师生活动】（1）回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；
当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；
当M 与O 重合时，0t =；
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线
定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
（2）类比分析：
问题1：类比数轴概念，平面直角坐标系
中的任意一条直线能否定义成数轴？
问题2：把直线当成数轴后，直线上任意
一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上l 的倾斜角不为0时或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
（3）选取参数
问题1：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．
【设计意图】明确参数．
问题2：如何确定直线l 的单位方向向量e ？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，
可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．
当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
（4） 等价转化，深入探究
问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？
教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：
因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，
0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得
0M M te =，
即 00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．
于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，
即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．
因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线
的参数方程
为
⎩
⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 牛刀小试：
1.若直线l 经过点（x 0 , y 0）且倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？
2. 设直线l 经过点M 0(1,5)、倾斜角为π3,求直线l 的参数方程.
3. 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，
y ＝2＋12t ，(t 为参数)．
求：( 1) 直线l 过哪个定点；（2）直线l 的倾斜角.
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程
2 参数的几何意义
思考探究：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
②参数t 的系数有何数量关系？
③参数t 的几何意义是什么？
总结如下：
①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；
②系数的平方和为1；
③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
（三）简单运用，培养能力
例1.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，
y ＝2＋12
t ，(t 为参数)． 点M (－33，0)在直线l 上，求t ，
并说明t 的几何意义． 【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，以及在标准形式下参数t 的几何意义
⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,221222t x t y 2y x =,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：
解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．
AB ∴===
由（*
）解得12x x =
=
12y y ∴==．
所以A B ，．
则MA MB ⋅=
2===．
解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34
π，所以它的参数方程是
31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），
即1222
x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）．
把它代入抛物线的方程，得220t +-=，
解得1t =
，2t = 由参数t
的几何意义得：12AB t t =-=
122MA MB t t ⋅==．
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会利用参数解决有关线段长度问题的方法，对比总结，查漏补缺，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力． （四）归纳总结，提升认识
先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在
学生总结的基础上再进行概括．
变式训练：在平面直角坐标系O 中，已知直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,221222t x t
y t 参 直线与椭圆1222=+y x 相交于A ，B 两点，点M （1,2）在直线上，
求:（1）线段AB 的长；（2）点M 到A 、B 两点的距离之和．
1．知识方面
本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．
2．数学思想方法方面
在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．
【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．
（五）布置作业，巩固提高
1 书面作业：教材P39—1；课后练习：三维设计P34~35
2 思考题：若直线l 的参数方程为 ⎩
⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （b a ,为常数，t 为参数），请思考参数t 的意义．
【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．
八、板书设计
九、教案设计说明
本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．
本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t 表示，因此可以选择坐标t 为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t 与坐标00,x y 及倾斜角 之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理
解了参数的几何意义．
在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．
本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．。