北师大版九年级数学下册1.5 三角函数的应用1 教案

1.5 三角函数的应用
1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点) 2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点) 一、情境导入 为倡导“低碳生活”，人们常选择自行
车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为
45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°
.
你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究
探究点：三角函数的应用
【类型一】 利用方向角解决问题
某船以每小时36海里的速度向正
东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，
已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，
其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构
造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共
直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即
CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只
要进行比较即可．
解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，
在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝1
2x ，
CD ＝3
2x .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，
tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴32x 18＋12x
＝3
3
.∴x ＝
18.∵18>16，∴点B 是在暗礁区域外；
(2)∵CD ＝
3
2
x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．
方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型二】
利用仰角和俯角解决问题
某中学九年级学生在学习“直角
三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢
楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度(结果保留根号)．
解析：根据在Rt△BCE中，tan∠BCE
＝BE
CE，求出BE的值，再根据在Rt△ACE
中，tan∠ACE＝AE
CE，求出AE的值，最后根据AB＝AE＋BE，即可求出答案．
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠
ACE＝AE
CE，∴AE＝CE·tan∠ACE＝
18×tan30°＝63(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋63(米)．
所以，①号楼AB的高为(18＋63)米．
方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型三】求河的宽度
根据网上消息，益阳市为了改善
市区交通状况，计划在康富路的北端修建通
往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端
位于A、B两点，小张为了测量A、B之间
的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路
l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA
＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到
0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°
≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，
cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．
解析：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.
在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝
2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函
数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，
进一步即可求解．
解：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在
Rt△ABC中，tan∠BCA＝
AB
AC，∴AB＝AC·tan
∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠
BDA＝
AB
AD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴
2.5(x＋82)＝4x，解得x＝
410
3.∴AB＝4x＝
4×
410
3≈546.7m.
所以，AB的长约为546.7m.
方法总结：解题的关键在于构造出直角
三角形，通过测量角的度数和测量边的长
度，计算出所要求的物体的高度或宽度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第5题
【类型四】仰角、俯角和坡度的综合
应用
如图，小丽假期在娱乐场游玩时，
想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场
地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E
处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿
着坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡
步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的
俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/
分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，
且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱
乐场地所在山坡AE的长度(参考数据：2≈
1.41，结果精确到0.1米)．
解析：作辅助线EF⊥AC于点F，根据
速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得
到∠ECF＝30°，通过平角减去其他角从而
得到∠AEF＝45°，即可求出AE的长度．
解：作EF⊥AC于点F，根据题意，得
CE＝18×15＝
270(米)．
∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝
45°.∵∠ECF ＝90°－45°－15°＝30°，∴EF ＝1
2CE ＝135米．∵∠CEF ＝60°，∠
AEB ＝30°，∴∠AEF ＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE ＝2EF ＝1352≈190.4(米)．
所以，娱乐场地所在山坡AE 的长度约为190.4米．
方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
三、板书设计
三角函数的应用
1．方向角的概念
2．三角函数的实际应用
本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。