高等代学1.4整数的一些整除性质PPT1

定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数 与b的乘积， 的乘积， 那么它至少整除a 中的一个. 那么它至少整除 与b中的一个 中的一个 是一个素数， 不整除a 证 设p是一个素数， 如果 | ab，但p 不整除 ， 是一个素数 如果p ， 由素数的性质2， 必有(p, 由素数的性质 ， 必有 a)=1. 于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp + ta = 1 于是由定理 ， 两边同乘以b 两边同乘以 ：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除； 又因为p 左边的第一项自然能被 整除；又因为 | ab， 整除 ， 所以左边第二项也能被p整除 所以左边第二项也能被 整除. 整除 整除左边两项的和，从而p 于是p整除左边两项的和，从而 | b.
① ②
d | ai , i = 1,2,⋯, n
如果c ∈Z且c | ai , i =1,2,⋯, n, 那么c | d.
定理1.4.2 任意 n(n ≥ 2)个整数 a1, a2 ,⋯, an 都有最 定理 大公因数. 如果d是 大公因数 如果 是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因 也是一个最大公因数； 数，那么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,⋯, an的 两个最大公因数至多只相差一个符号. 两个最大公因数至多只相差一个符号 由最大公因数的定义和整除的基本性质， 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，显然最 后一个论断是成立的. 后一个论断是成立的 如果 a1 = a2 = ⋯= an = 0 . 显然0就是 的最大公因数. 显然 就是 a1, a2 ,⋯, an 的最大公因数 不全为零. 设 a1, a2 ,⋯, an 不全为零 考虑Z 的子集
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数及简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质 理解和掌握整除及其性质. 理解和掌握整除及其性质 2.掌握最大公因数性质、求法. 掌握最大公因数性质、求法 掌握最大公因数性质 3.理解互素、素数的简单性质 理解互素、 理解互素 素数的简单性质. 重点、 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 .
d = t1a1 + t2a2 +⋯+ tnan.
1.4.3 互素
是两个整数， 互素. 设a，b是两个整数，如果（a, b）=1，则称 与 b互素 是两个整数 ，则称a与 互素 一般地， 个整数， 一般地， a1, a2 ,⋯, an是n个整数，如果 (a1, a2 ,⋯, an ) =1, 个整数 那么就说这n个整数 互素. 那么就说这 个整数 a1, a2 ,⋯, an互素 定理1.4.4 n 个整数 a1, a2 ,⋯, an互素的充分且必要条件 定理 是存在整数 t1, t2 ,⋯, tn ，使得 （1 ）
1.4.4 素数及简单性质
一个正整数p>1叫做一个素数，如果除了 和p外， 叫做一个素数，如果除了1和 外 一个正整数 叫做一个素数 没有其它因数. 没有其它因数. 性质1 任意两个不相等的素数都是互素的. 性质1 任意两个不相等的素数都是互素的. 性质2 若p是素数，a为任意整数，那么或者 | a， 是素数， 为任意整数 那么或者p ， 为任意整数， 性质2 是素数 或者(p, 或者 a)=1. 性质3 每一个不等于0 性质3 每一个不等于0和±1的整数一定可以被某一 个素数整除. 个素数整除.
a b − a(q +1), 若 > 0 r′ = a b − a(q −1), 若 < 0
所以 r′ ∈ S且 ′ < r. r 这与r是 中最小数的事实矛盾 中最小数的事实矛盾. 这与 是S中最小数的事实矛盾 因此 r < a . 假设还 q′, r′ ∈ Z ，使得 b = aq′ + r′且 ≤ r′ <| a | 0 于是就有 a(q − q′) = r − r′ . 而 ≤| r − r′ |<| a | 0 如果 q −q′ ≠ 0 . 那么
d = t1a1 +⋯+ tn an , ti ∈ Z(1 ≤ i ≤ n)
+
ai = dqi + ri ,0 ≤ ri < d(1 ≤ i ≤ n)
如果某一个 ri > 0 . 不妨设 r1 > 0 ， 那么
r = a1 − dq1 = (1− t1q1)a1 − t2q1a2 −⋯− tnq1an ∈I + 1
t1a1 + t2a2 +⋯+ tnan = 1
互素，由定理1.4.2等式（1）成立 等式（ 证 如果 a1, a2 ,⋯, an 互素，由定理 等式 ）成立. 反过来，设等式（ ）成立.令 反过来，设等式（1）成立 令 (a1, a2 ,⋯, an ) = c 能整除（ ）式中的左端. 那么c能整除（1）式中的左端 所以c | 1，因此c =1, ， 即 (a1, a2 ,⋯, an ) =1.
q − q′ = 0 ，
| a || q − q′ |=| r − r′ |≤| a |
从而 r − r′ = 0 ，
0 <| q − q′ |<1但 , q′都 整 . q 是 数
这样必须 也就是说 q′ = q, r′ = r.
定理1.4.1中唯一确定的整数 和r分别叫做以 除b 中唯一确定的整数q和 分别叫做以 分别叫做以a除 定理 中唯一确定的整数 所得的商和余数. 所得的商 余数 注意: 商数q可正可负 余数r总是非负数 可正可负, 总是非负数; 注意 (1) 商数 可正可负 余数 总是非负数 (2)若r =0, 则a整除 若 整除b; 整除 (3) 这里的a可以等于零吗 这里的 可以等于零吗? 可以等于零吗
问题1 这里的a可以等于零吗 可以等于零吗? 问题 这里的 可以等于零吗
整除的基本性质： 整除的基本性质：
① ② ③ ④ ⑤
a | b, b | c ⇒ a | c a | b, a | c ⇒ a | (b + c)
a | b,而 ∈Z ⇒ a | bc c
a | bi ,而ci ∈Z, i =1,2,⋯, t ⇒a | (bc1 +⋯+ bct ) 1 t
1.4.2 最大公因数
是两个整数， 叫做a 设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做 ， 是两个整数 与b的最大公因数： 的最大公因数：
① ②
d | a且 | b ； d
如果 c ∈Z,且 | a, c | b, 那么 | d . c c
一般地， 个整数. 一般地，设 a1, a2 ,⋯, an 是n 个整数 满足下列条件 的整数d 的一个最大公因数： 的整数 叫做 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因数：
1.4 整数的一些整除性质
1.4.1 整除与带余除法
是两个整数， 设a，b是两个整数，如果存在一个整数 ，使得 是两个整数 如果存在一个整数d，使得b=ad， ， 那么就说a整除 整除b（或者说b被 整除 整除） 那么就说 整除 （或者说 被a整除）. 用符号a 表示 整除b. 表示a整除 用符号 | b表示 整除 整除b. 这时a叫做 的一个因数 叫做b 因数， 叫做a的一 若a整除 这时 叫做 的一个因数，而b叫做 的一 整除 叫做 倍数. 个倍数 用符号 表示a不整除 表示 不整除b. 不整除
定理1.4.3 设d是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因数 那 的一个最大公因数. 定理 是 么存在整数 t1, t2 ,⋯, tn ，使得 t1a1 + t2a2 +⋯+ tnan = d. 证 若 a1 = a2 = ⋯= an = 0 . 那么d 显然成立. 那么 = 0，结论显然成立 ，结论显然成立 不全为零. 设 a1, a2 ,⋯, an 不全为零 由定理1.4.2的证明，知 d ∈ I 的证明， 由定理 的证明 因而存在 t1, t2 ,⋯, tn ∈ Z ，使得
⑧
定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 a ≠ 0，那么 （带余除法） 定理 ， 存在一对整数q和r，使得 存在一对整数 和 ，
b = aq + r且 ≤ r <| a | 0
满足以上条件的整数q和 是唯一确定的. 满足以上条件的整数 和r 是唯一确定的 证 令 S = {b − ax | x ∈Z, b − ax ≥ 0}. 因为 a ≠ 0 ，所以S 是N 的一个非空子集 的一个非空子集. 根据最小数定理（ 含有一个最小数. 根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数 使得r=b-aq是S 中的最小数 即存在 q∈ Z ， 使得 是 中的最小数. 于是b=aq+r，并且 r ≥ 0 . 于是 ， 如果 r ≥| a | ，那么 r =| a | +r′, r′ ≥ 0，而
任意整数都可以被1和 - 1整除 任意整数都整除零. 任意整数都可以被 和 整除. 任意整数都整除零 整除
⑥ 任意整数 都可以被它自己和它的相反数 - a整除 任意整数a都可以被它自己和它的相反数 整除 整除. ⑦
a | b且b | a ⇒b = a或b =−a
a | b则a | (−b), (−a)| 是 I + 中的最小数的事实矛盾 这与d是 中的最小数的事实矛盾. 1 则必有 r = 0 同理 i = 0, i = 2,3,⋯, n. ， r 1
即d | ai ,1≤ i ≤ n
另一方面， 另一方面，如果 c ∈Z, c | ai , 1≤ i ≤ n. 那么 c | (t1a1 +⋯+ tn an ),即 | d c 的一个最大公因数. 故d 是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因数
I = {t1a1 +⋯+ tn an | ti ∈ Z,1 ≤ i ≤ n}
I 显然不是空集 显然不是空集.
因为对于每一个i 因为对于每一个 ai = 0⋅ a1 +⋯+ 0⋅ ai−1 +1⋅ ai + 0⋅ ai+1 +⋯+ 0⋅ an ∈I 不全为零， 含有非零整数. 又因为 a1, a2 ,⋯, an不全为零， 所以I 含有非零整数 因此设 I + = {s | s ∈ I且 > 0} s 是正整数集的一个非空子集. 则 I 是正整数集的一个非空子集 于是由最小数原理， 有一个最小数d. 于是由最小数原理，I +有一个最小数 的一个最大公因数. 则d 就是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因数 首先， 首先，因为 d ∈I + ， 又由带余除法， 又由带余除法，有 所以d 并且 并且d 所以 >0并且 有形式