高中数学人教A版必修四课时训练：1.1 任意角和弧度制 1.1.1

第一章 三角函数 §1.1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角 课时目标 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角.2.理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．
1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形． (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示
正角
按________________形成的角 负角 按________________形成的角
零角 一条射线________________，称它形成了一个零角
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．
一、选择题
1．与405°角终边相同的角是( )
A ．k ·360°－45°，k ∈Z
B ．k ·180°－45°，k ∈Z
C ．k ·360°＋45°，k ∈Z
D ．k ·180°＋45°，k ∈Z
2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( )
A ．第一或第三象限
B ．第二或第三象限
C ．第二或第四象限
D ．第三或第四象限
3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A ．A ＝
B B ．B ＝C
C ．A ＝C
D ．A ＝D
4．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P
B ．M P
C ．M P
D ．M ∩P ＝∅
6．已知α为第三象限角，则α2
所在的象限是( )
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
二、填空题
7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．
8．经过10分钟，分针转了________度．
9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．
10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
三、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
能力提升
13．如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
14．设α是第二象限角，问α
3是第几象限角？
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少．
第一章三角函数
§1.1任意角和弧度制
1．1.1 任意角
答案
知识梳理
1．(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转2．第几象限角 3.α＋k·360°，k∈Z整数个周角
作业设计
1．C 2.A
3．D[锐角θ满足0°<θ<90°；而B中θ<90°，可以为负角；C中θ满足k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z；D中满足0°<θ<90°，故A＝D.]
4．C[特殊值法，给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，
故180°－α在第三象限．]
5．B[对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．]
6．D[由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，
得k
2·360°＋90°<
α
2<
k
2·360°＋135°，k∈Z.
当k 为偶数时，α2
为第二象限角； 当k 为奇数时，α2
为第四象限角．] 7．x 轴的正半轴
8．－60
9．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }
10．－110°或250°
解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }．
②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }
∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z } ∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }
＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°或(2k ＋1)·180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z } ＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．
13．解 终边落在y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在 y ＝3x (x ≤0) 上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，于是终边在y ＝3x 上角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·180°， k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．
14．解 当α为第二象限角时，
90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，
∴30°＋k 3·360°<α3<60°＋k 3
·360°，k ∈Z . 当k ＝3n 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，此时α3
为第一象限角； 当k ＝3n ＋1时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，此时α3
为第二象限角； 当k ＝3n ＋2时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，此时α3为第四象限角．综上可知α3
是第一、二、四象限角．
小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。