人教版九年级上册数学课件24.3正多边形和圆

C
D
三 正多边形的有关计算
探究归纳
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 60 度 ； F
E
② OC = BC (填＞、＜或＝）；
A
③△OBC是 等边 三角形；
O
D
④圆内接正六边形的面积是
BP C
⑤△圆内OB接C正面n积边的形面6积公倍式.:__S_正_多_边_形__=_12__周__长___边__心__距___.
DKE
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为
HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
拓广探索
A
E
∴OA=OB，OD=OC. B GH是边AD、BC的垂直平分线，
∴OA=OD；OB=OC.
O
G
H
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为
DF
C
圆心的外接圆.
A
E
AC是∠DAB及∠DCB的角平分 B 线，BD是∠ABC及∠ADC的角
平分线，
G
O
H
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以
r
亭子地基的面积
B MC
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
想一想
问题1 正n边形的中心角怎么计算？
360
F
E
a
问题2
n
正n边形的边长a，半径R，
A
O
R
D
边心距r之间有什么关系？
r
BP C
R2

r2


a 2
2

.
问题3 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
典例精析
例1：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,
求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
E
O
D
PC
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4, MB＝ BC 4 2，
2 2F
E
利用勾股定理,可得边心距 r 42 22 2 3.
A
O
D
4m
S
1 nar 1 lr. 22
其中l为正n边形的周长.
练一练
如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
∠ADE的度数是 A．60° B．45°
（C ） C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
C
D
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
O·
D
rR
MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.连半径，得中心角；
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=__1_2_0_°__;图②中∠MON= 90 ;
图③中∠MON= 72 °;
°
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.MON

360 n
A
A
E D
M .O
O M
A
D
O
M
B
NC B
图①
NC
图②
N
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边 长之间的关系. (重点) 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. （难点）
导入新课
观察与思考
问题：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活 中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图 形吗?
B
C
图③
课堂小结
正多边形 的对称性
正多边形 的性质
正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
中心 半径 边心距 中心角
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
课后作业
见《学练优》本课时练习
2.作边心距，构造直角三角形.
当堂练习
1. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长 边心距 周长
2 23
22 22
1 23
1
8
3
12
面积
33
4
63
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这 个多边形的边数是 3 .
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 看作为正七边形，则一个内角为 128 4 ___度.
讲授新课
一 正多边形的对称性
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正
多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意 正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边 形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
问题3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形
什么叫做正多边形？
都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
问题1
归纳 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数 为偶数的正多边形才是中心对称图形.
二 正多边形的性质
互动探究
问题1 以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么
结论？
EF是边AB、CD的垂直平分线，
DF
C
点O为圆心的外接圆和一 个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
知识要点
正多边形的外接圆和内切圆的公共
A
E
圆心，叫作正多边形的中心. B
R
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
O
G
H
r
内切圆的半径叫作正多边形的边
DF
C
心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心
角.正多边形的每个中心角都等于 360 n
练一练
完成下面的表格：
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2) 180 n
中心角
外角
120 ° 90 ° 60 °
360
n
120 ° 90 ° 60 °
360
n
正多边形的 外角=中心角
A
F
中心
B中心角 O半径R E 边心问距r题1
∴⊙O的面积为 ( 2)2 2 .
6.如图，正六边形ABCDEF的边长为 2 3，点P为六边形内
任一点．则点P到各边距离之和是多少？ B H A
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE
P
于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. C G
F
∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
7
（不取近似值）
4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选
用的圆形铁片的直径最小要4___2_cm.
也就是要找这个正方形 外接圆的直径
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， 若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2.
则半径为 ABgsin 45o 2.