电磁学讲课电势

4 0 r r
r– r r+
–
–q
O
+
l +q
x
对于离电偶极子比较远的点，r >> l，有
rr r2, r r l cos
则
V
q l co s 40r 2
p cos 40r 2
p r co s 4 0 r 3
pr
4 0 r 3
例5 利用书中例 7-11 结果计算均匀带电圆盘 (R, )
轴线上任一点电势。
得
V
px
40 (x2
y2 )3/2
x x2 y2
–
–q
p O
+
+q
x
所以
Ex
V x
p(2x2 y2)
40 (x2 y2 )5/ 2
Ey
V y
3 pxy
40 (x2 y2 )5/ 2
E Exi Ey j
静电场与万有引力场的比较
静电力
F
Qq
40r 2
er
电场强度
F
Q
E q 40r2 er
（对比地图上等高线、等温线、等压线等）
特点 (1) 等势面 电场线 证明：取很近的两点 a和 b，
Vab Va Vb E l El cos
Δ l
b
a
E
若在同一等势面 Va = Vb，则 cos = 0 即 = /2，得证。
(2) 等势面越密的地方，电场线越密，场强越大。
证明：作等势面时，按规定任意两
b
dA
q0q
a
40
rb dr r ra 2
q0q
40
1 ra
1 rb
若场源为点电荷b 系， 则
A a
Fi dr
i
q0
40
i
qi
1 rai
1 rbi
A
b a
q0 E
dr
q0
40
i
qi
1 rai
1 rbi
电场力做功仅与试验电荷 q0 , 场源电荷 qi , 始末
位置 rai, rbi 有关，而与路径无关。所以，静电力是保
rb Edr
ra
rb ra
q
40r 2
dr
q
40
1 ra
1 rb
+q b dl a E
dr
b b
b
E dl a
a Eer el dl
Edl cos
a
b
Edl
a
rb Edr
ra
q
40
1 ra
1 rb
7.5 静电场中的电偶极子
一、外电场对电偶极子施加力矩：
电偶极子受力 F qE, F qE
(
2 0
R22 x2
R12 x2 )
E
V x
i
2 0
x R12 x2
x R22
x2
i
R2 R1 P
O xx
例9 求电偶极子的场强分布。(书中例7-14)
解：已知离电偶极子较远的 P 点的
电势为
V
p cos 40r 2
y P(x, y)
r
变换为直角坐标
r2 x2 y2, cos
V
和
V+dV，
ab，
dr cos dl
由 E 等势面得
V+dV
Vab Vac Va Vb dV Edr E dV 1 dV
dr cos dl
V
a
dr
b
dl
c
E
dV , dV 为电势沿不同方向的空间变化率，
dr dl
dV 是电势的最大空间变化率，称为电势梯度。 dr
它是一个矢量，方向沿等势面法向，指向电势升
电势能与试验电荷有关，不是好的描绘电场的
物理量。定义电势
电势零点
Va Ua / q0 Aa电势零点/ q0 a
Edr
为把单位正电荷从 a 点沿任意路径移动到电势零点
过程中，静电力所做的功。是空间坐标的函数。
电势零点选择不同，同一场点的电势值不同。 □电势零点的选择原则：任意，视问题方便而定。
(标量叠加)
点电荷系 连续带电体
V 1 n qi
40 i1 ri
V
1
40
dq r
注意，总电势也可以由部分带电体分别形成的电
势叠加得到，但它们必须有相同的电势零点。
例4 求电偶极子的电场的电势分布。 解：利用电势叠加原理，空间任意
yP
点 P 的电势为
q
q
V V V 40r 40r
q(r r )
M
0
p
E
电势能越低，系统越稳定。
= 0 时电势能最低，电偶极子处于稳定平衡。
选 P0 点为电势零点，求得电势分布
V
P0
E
dr
P0 Edr
r0 dr
P
P
20 r r
20
ln r
r0 r
20
ln r
20
ln r0
此题表明，静 电场中只有电 势差有绝对意 义，而电势只 有相对意义。
2. 叠加法： 电势叠加原理：点电荷系统电场中某点的电势等于各 场源电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。
q
40
B
C
dr r2
0.2
q
40
Bdr C r2
108
9 109
1 r
0.3
150V
例3 求无限长均匀带电直线的电场的电势分布。
解：已知电场分布 E
得电势分布 V
2
0r
E dr Edr
P
P
O
P0 P r
dr
ln r
20 r r 20 r
所以不能选择无限远处为无限大带电体的电势零点。
O 10cm 10cm
10cm
q = 10-8 C A
B
Cr
解：由待求点积分至零电势点
VA
B E dr
q
A
40
B1 A r2
er
erdr
0.2
q
40
Bdr A r2
108
9 109
1 r
0.1
450V
VC
B E dr
q
C
40
B C
1 r2
er
erdr
零点)，则场中任意点的电势能为
势能零点
势能零点
Ua Aa势能零点 a
F d r q0 a
Edr
电荷 q0 在电场中某点的电势能等于把电荷从该点沿 任意路径移动到电势能零点，静电力所做的功。
注意：电势能是属于试验电荷 q0 和场源电荷 q 整体 的，不专属于其中某一个电荷。
四、电势、电势差：
d
=
a
E d
。
E d r a b c d E d r
abcda
Ea ab 0 Ec
结果违反静电场环路定理
(cEd)dr00(，Ea因而Ec假) a设b不 0成
L
立。所以，均匀电场具有平行而等间距的电力线。
六、电势与场强的关系：
1. 等势面：空间中电势相同的点连起来的平面或曲面
高的方向。
E dV dV dr dn
负号表示场强方向与电势梯度 方向相反，即场强指向电势降 低最快的方向。
如果电势为三维坐标函数 V = V (x, y, z)，则
Ex
V x
,
Ey
V y
,
Ez
V z
E
V x
i
V y
j
V
z
k
gradV
V
直角坐标系中， i
j
k
x y z
利用电势梯度求电场强度是第 3 种求解电场分
电势
V Q
40r
电势能
U Qq
40r
万有引力
F
G
Mm r2
er
引力强度 引力势
（加速度）
F
M
a m G r 2 er
M Vp G r
引力势能
Mm U p G r
□ 关于电势b差的两 种积分形式 b
Vab
E dr
a
和
Vab
E dl
a
b E dr
a
b a Eer er dr
二、电偶极子在外电场中的电势能：
电偶极子在电场作用下由 0 转到 时电力矩做功
A Md
（d 的方向与 M 的方向相反）
0
pEsind
0
pE(cos cos0)
电势能增量等于电功负值
ΔU A ( pEcos ) ( pEcos0)
选择
0
=
/2
为势能零点，则电势能
U pEcos p E
解：单个球壳的电势分布已经求出
V
q
q
/ /
4 0 R 4 0 r
(r R) (r R)
两球壳具有相同的零电势点，可以
R1 q1 q2
O
r
R2
方便地用电势叠加原理求电势分布。 练习：用积分法解
对小球内部区域 V q1 q2
40R1 40R2
(r R1)
对两球中间区域 V q1 q2
40r 40R2
守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理：
b
a
q0 E dr q0 a E dr q0 b E dr
L
L1
b
b L2
q0 a E dr q0 a E dr 0
L1
L2
L2
b
L
a
L1
场强的线积分 (电场力做功) 与路径无关，所以最后两
个积分相等。
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。
(R1 r R2 )
对大球外部区域 V q1 q2
40r 40r
(r R2 )
例7 试证明对于静电场，若电力线平行，必然是等间
距的，即一定是均匀场。
证明：用反证法。
设存在平行而不等间距的电
a
力线，按电力线的定义，电场强
b
E
度的大小与电场强度的疏密成正
d
c
比，所以
Ea =
b
Eb
c
Ec
布的方法。
例8 将半径为 R2 的圆盘，在盘心处挖去半径为 R1 的 小孔，并使盘均匀带电。计算这个中空圆盘轴线上任
一点 P 处的场强。
解：已知圆盘轴线上任意点 P 的电势
V ( R2 x2 x) 2 0
空心圆盘 P 点的电势用叠加原理可得
V (
2 0
R22
x2
x)
2 0
(
R12 x2 x)
V a E(r ) dr
q
r
a
a
q
40r 2
er
erdr
a
q
40r 2
dr
q
40r
q 为正，V 为正，r 越小，V 越大； q 为负，V 为负，r 越小，V 越小。
例1 求半径为 R 带电量为 Q 的均匀带电球壳的电场 的电势分布。 (书中例7-9)
解：已知电场分布
Q
E
0,
□电势零点的一般选择方法 1. 有限带电体，选择无穷远
Va
E dr
a
2. 无限带电体，选择接地、仪器外壳或有限远
a, b 两点的电势差（电压）
b
Vab
Va Vb
a
Edr
b
Edr
a
Edr
Edr
b
Vab
Edr
a
a, b 两点的电势差定义为把单位正电荷从 a 点沿任意
解：用电势叠加原理计算。
面元在 P 点产生电势
dV
dq
40 r2 x2
R dr r O x Px
VP
dV
圆盘R 2Fra bibliotekrdrd
( R2 x2 x)
00
当 R << x 时
40
r2 x2
2 0
V
R2
R2 q 与点电荷相同
20 R2 x2 x 40x 40x
例6 两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R1, R2， 电量分别为 q1, q2，求其电势分布。(例7-12)
7.4 静电场的环路定理 (Circulation Theorem) 电势 (Electric Potential)
一、电场力做功的特点：
若场源为点电荷，考察元功
dA F dr F dr cos
Fdr
q0 E d r
q0q
40r 2
dr
rb
b
r dr
q ra
r a
d r
q0 dr
总功为
A
高
个相邻等势面间的电势差相等，即 电 E1ab E2bc，因此场强与等势面间 势
距成反比，即等势面密的区域场强大。
低电势
cE b a
□ 常见电场的等势面和电场线图
正点电荷
电偶极子
+
+
平行板电容器
++ ++ + + + + +
人体心脏周 围的等势面 表现出电偶 极子的特征
2. 电势梯度：
等势面
Q
40r 2
er ,
rR rR
R a br O
当 r > R 时，
V
E dr
r
r
Q
40r
2
d
r
Q
40r
V V=C
当 r ≤ R 时，用分步积分得
OR r
V
R
r
E dr 0
R
Q
R 40r 2
dr
Q
4 0 R
(等势体)
例2 如果取 B 点的电势为零，求A点和C点的电势。
路径移动到 b 点过程中，静电力所做的功。
静电力的功与电势、电势差的关系：
Aab q0Vab q0 (Va Vb )
五、电势的计算方法：
1. 路径积分法：
(1)先算场强；(2)选择合适的路径 (容易积分)；
(3)积分 V
电势零点 E(r ) dr
a
例如：点电荷 q 所产生电场的电势 (沿径向积分)
二力合力为零，但二力不在一条
直线上，对电偶极子产生力矩。 F
E
l
O
+q r
F
二力对电偶极子中点的合力矩
–q r
M
r
F
r
F
r
qE
r(q)E
q(r
r )
E
即
M pE
力矩 M 的 作用总是使电偶极子转向电场 E 的方向，
当转到
p平行于
E
时，M
=
0，处于稳定平衡位置，
当 p 与 E 反平行时，M = 0，处于非稳定平衡位置。
L E d r 0
为“静电场是保守场”的另一种表达形式。高斯定理
对静电场、动电场都成立，环路定理仅对静电场成立。
三、静电势能 (Electrostatic Potential Energy)： 静电力是保守力，可引入静电势能的概念。 保守力的功等于静电势能增量的负值 A保 = –ΔU