数列求和(错位相减) 高考数学
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试卷讲评课件
=
【解析】∵
= ⋅
+ =
=
=
则
，解得
或
(舍去)
+ = ⋅ +
=
=
∴ = + − = − .
又∵ = − ，
当 = 时， = − ，则 =
− ⋅
+. . . + − ⋅
= +
− − ⋅
+
+
①
+
②
+. . . +
= −
+
+
− − ⋅
+
，
试卷讲评课件
+
∴ = − .
−
则 −
= −
− ，
当 ≥ 时，由 + + = 有− + − + = ，两式相减
可得�� = − ，
即{ }是以− 为首项，以 为公比的等比数列，
−
所以 = −
= −
.
试卷讲评课件
(2)设数列{bn }满足2bn + n − 3 an = 0 n ∈ N ∗ ，记数列{bn }的前n项
所以 = − ，
+
因为 − =
≤
−
+
+
+
=
−
+
= ，则
+⋅⋅⋅ + +，
[− ]
−
+
，则
−
+
≤ ，
=−
+ =
−
，
+
=
试卷讲评课件
可得 ≥
，
，所以实数的取值范围[ , +∞).
时， 取到最大值 ，
试卷讲评课件
【变式训练】
1.已知等差数列{an }中，公差d ≠ 0，a3 = 5，a2 是a1 与a5 的等比中项，
设数列{bn }的前n项和为Sn ，满足4Sn = bn − 1 n ∈ ∗ .
(1)求数列{an }与{bn }的通项公式；
所以 =
，又 = 符合 =
，
−
−
−
+
试卷讲评课件
故 =
(
−
∈ ∗ )，
��
由 = + + + 得： = +
，解得： = ，
所以 =
(
∈ ∗ ).
试卷讲评课件
bn
(2)设数列{ }的前n项和为Sn ，若不等式
= − +
−
+ ≤ 对任意的
∈ ∗ 恒成立
∈
+
∗
恒成立，即
−
≤ 对任意的
试卷讲评课件
+
①当是奇数时，−
⋅ ≤ 任意的 ∈ ∗ ′恒成立
⋅
∴ − ≤
对任意的 ∈ ∗ 恒成立
+
+
]
−
所以 =
由 +
−
−
− − ×
−
≤ ，得−
+
.
−
−
即 − ≥
恒成立.
−
当 ≤ ＜时， ≤
−
≤− ；
=
−
=
−
−
− ×
，
−
，
≤ −
an
−1
n 1−Sn
n+1
− λ ≤ 2对任意
n ∈ N ∗ 都成立，求实数λ的取值范围.
【答案】[− , ]
−
∵ = ，
∴ = ⋅ + ⋅
∴
=⋅
由①-②得：
= +
−
+⋅
��
−
+. . . +
1
，bn
3
= 2bn+1 + 3bn+2 ，n ∈ N ∗ ，
试卷讲评课件
【答案】 =
(
−
∈ ∗ )， =
(
∈ ∗ )，
由 − + + = + 两边同除 + 得：
+
−
+
=
+
，
+
两边同除 + 得：
− ，
当 ≥ 时，− = − − ，则 = −
− ，即
−
则数列{ }是以首项 = − ，公比为− 的等比数列，
−
∴ = − ⋅ −
= −
.
=
− ，
试卷讲评课件
(2)设cn = an bn ，数列{cn }的前n项和为Tn ，若λ Tn +
Tn ，若Tn ≤ λbn 对任意n ∈ N ∗ 恒成立，求实数λ的取值范围.
−
【详解】由 + − = ，得 = −
= −
，
所以 = − × − ×
−×
+×
+ ⋯+ − ⋅
，
= − ×
3
4
和为Tn ，若Tn + ≤ tbn ，对任意n ∈ N ∗ 恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】−
≤≤
− .
试卷讲评课件
【详解】由 + − = 得 = −
所以 = − ×
−
+ −
两式相减得
+
试卷讲评课件
①当是奇数时，则− ≤
②当是偶数时，则 ≤
∴
−
≤ ≤ .
，即
≥
−
试卷讲评课件
2.已知数列{an }的前n项和为Sn ，a1 =
2
− ，且2Sn
3
+ an + 2 = 0.
(1)求数列{an }的通项公式；
【答案】 = −
；；
【详解】当 = 时， + + = ，解得 =
数列求和
— —错位相减
主讲人：某某某老师
某某学校
试卷讲评课件
【例】在数列{an }中，a1 =
3
− ，2an
2
= an−1 − 2n − 2 n ≥ 2 .
(1)证明：数列{an + 2n}是等比数列；
【答案】证明见详解
【详解】由题意可得： + =
当 ≥ 时，可得 =
+
则
1
8
≤ 1对任意的
n ∈ ∗ 恒成立，求实数λ的取值范围.
【解析】 = −
= ×
−
−
=
−
−
+
−
，
×
× −
+
−
−
，
−
+
+×
−
×
−
+×
+⋅⋅⋅ + −
−
−
−
+⋅⋅⋅ + −
+
−
+
试卷讲评课件
两式相减得：
=
=
−
ቁ
−
∴
∵
−
+ [
+ [
+
−
+
−
− −
−
+⋅⋅⋅ +
] − −
−
]−
+
−
=
−
−
+
−
− ቀ +
+
②当是偶数时，
⋅ ≤ 对任意的 ∈ ∗ 恒成立
⋅
∴≤
对任意的 ∈ ∗ 恒成立
+
⋅
⋅+
⋅
−
令 =
，+ − =
−
=
＞对任意的
+
+
+
+ +
∈ ∗ 恒成立
∴ { }为递增数列
−
=
，
+ +
+
则
−
= −
，
+ +
+
所以
=
−
+
−
+. . . +
− −
− −
− −
=
− +
−
+. . . + − + = − ，( ≥ )
−
−
−
��
+ − ×
= − ×
��
+ − ×
+×
，
+ ⋯+ − ×
，
+ − ×
+
×
，
=− +
+
+×
+
+ ⋯+ − ×
+ ⋯+
− − ×
试卷讲评课件
=
−
+
−
[−
an
【答案】 =
试卷讲评课件
+
【详解】由
=
+
+ 得
+
=×
.又
= ，∴
{ }是以1为首项，
3为公比的等比数列，
∴
−
=
−
， = ×
， =
−
.
−
− + −
−
+
，
+
所以 = − ⋅
，由 ≤ 得− ⋅
+
− ⋅
− ⋅
≤ − ⋅
恒成立，
即 − + ≥ 恒成立， = 时不等式恒成立；
＜时， ≤
＞时， ≥
−
−
−
−
=
=
− −
− ) ⋅
+
，
−×
−×
+⋯+ − ⋅
+ ሺ
试卷讲评课件
两式相减得 = −
−
[−
]
=− +
+
−
= − ⋅
×
+
− −
+
+
=
+
+⋯
−
+
n 2 − Tn ≤
λ n+2
n+1
【答案】[ , +∞)
恒成立，求实数λ的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】由(1)可得： + = ×
可得 = +
+⋅⋅⋅
+ ，则
=
两式相减得：
= +
−
+
，
+
+
+⋅⋅⋅
+
+
+
原题意等价于关于的不等式
+
构建 =
，
≥ +
令
，则
≥ −
+
+
≥
≥
≤
+
恒成立，可得[ ] ≤
+ +
+
−
−
，解得 = 或3，
则 ＜ = ＞ ＞ ⋅⋅⋅，即当 = 或 =
− + −
=
所以数列{ +
−
−−+