2017-2018学年高中数学课时作业222.2圆与圆的方程北师大版必修2

课时作业22直线与圆的位置关系
|基础巩固|（25分钟，60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1. （2017 •扬州竹西中学月考 ）如果直线ax + by = 4与圆x 2+ y 2= 4有两个不同的交点, 那么点P （a , b ）与圆的位置关系是（
）
A. P 在圆外
B . P 在圆上
C. P 在圆内 D . P 与圆的位置关系不确定
4
解析：由题意，得，2
,2
<2,
p a + b
得 a 2+ b 2>4,即点 F (a , b )在圆 x 2+ y 2= 4外. 答案：A 2.
平行于直线2x +
y + 1 = 0且与圆x 2 + y 2= 5相切的直线的方程是(
)
A. 2x + y + 5 = 0 或 2x + y - 5 = 0
B. 2x + y +
5= 0 或 2x + y — J 5= 0
C. 2x — y + 5 = 0 或 2x — y — 5 = 0
D. 2x — y + -J 5 = 0 或 2x — y — 5 = 0
解析：设所求直线为 2x + y + c = 0,
答案：A
2 2
3. （2017 •江西上高二中月考 ）过点M — 2,4）作圆C: （x — 2） + （y — 1） = 25的切线I ,
且直线丨1： ax + 3y + 2a = 0与l 平行，则11与l 间的距离是（ ）
则・5=.畀2,解得
c =± 5,故选 A.
8 A.5
2 B.5 C.28 D.
12 5
4
所以 l : y — 4= 3(x + 2)，即 4x — 3y + 20= 0. 因为直线l 与直线l 1平行,
解析：因为点 M — 2,4）在圆C 上，设切线为 y — 4=
k ( x +
所以d =
|2 k — 1+ 2k 土4
=5，解得 k = 3.
a 4
所以一3= 3, 即卩 a =— 4,
所以直线l i 的方程是—4x + 3y — 8= 0,
即 4x — 3y + 8= 0. 答案：D 4.
（2017 •蚌埠一中月考）若圆心在x 轴上，半径为寸5的圆位
于y 轴左侧，且与直线 x + 2y = 0相切，则圆的方程为（
）
A. （X —^5）2+ y = 5 B . （x +^5）2+ y2= 5
2 2 2 2
C. （x — 5） + y = 5 D . （x + 5） + y = 5 解析：设圆心（a,0），由题意，得
= J/ 2，得 I a | = 5，即 a =± 5. 因为圆位于y 轴左侧，所以a =— 5. 所以圆的方程为（x + 5）2+ y 2= 5. 答案：D
2
2
y +1
5.
（2017 •甘肃天水市高一期末 ）已知点P （x , y ）满足x + y — 2y = 0,贝U u =— 的取
x
值范围是（
）
A.
B. （―汽一3] U[ 3,+^）
x 2+ y 2— 2y = 0 可化为 x 2+ (y — 1) 2= 1,
u = 表示圆上的点F （x , y ）与A （0，— 1）连线的斜率，如图,
所以直线l i 与直线I 间的距离为 42
解析：圆
由|CD = 1, |AC = 2，可得/ CA= 30°,则k AD= \'3，同理k AE=—'3,
则u€ （—a, —护］U ［承，+s）.故选 B.
答案：B
二、填空题（每小题5分，共15分）
6 .若点P（1,2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为
解析：•••以原点O为圆心的圆过点P（1,2）,
•••圆的方程为X2+ y2= 5.
1
kop= 2 ,•••切线的斜率k = —2
1
由点斜式可得切线方程为y — 2 = —2（x —1）,
即x + 2y — 5 = 0.
答案：x + 2y —5= 0
7. （2016 •全国卷乙）设直线y = x+ 2a与圆C： x2+ y2—2ay—2 = 0相交于A, B两点，若| AB = 2萌，则圆C的面积为 ____________ .
解析：圆C： x2+ y2—2ay—2 = 0 化为标准方程是C： x2+ （y —a）2= a2+ 2,
0的距离d= |0 —节2a|，由勾股定理得
所以圆心C（0 , a），半径r =寸孑匚2.| AB = 2百，点C到直线y= x + 2a即x —y+ 2a = 直线的斜率为
所以r = 2,所以圆C的面积为n X22= 4 n .
答案：4 n
&过点（1 , ；2）的直线l将圆（x—2）2+ y2= 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小
时，直线l的斜率k= ___________ .
解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线和圆心（2,0）与点（1 , 2）的连线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点（2,0）和（1 , , 2）的直线的斜率为一^］=—. 2,故所求
1 —2
三、解答题（每小题10分，共20分）
9. 已知圆C的方程为（x—1）2+ y2= 9,求过M —2,4）的圆C的切线方程. 解析：因为r =
3，圆心Q1,0）到点M —2,4）的距离d= 5>r, 所以点M —2,4）在圆C外，切线有两条.
（1）当切线的斜率存在时，设过点M —2,4）的圆C的切线方程为y— 4 = k（x + 2）,
即 kx -y + 2k +4 = 0.
由圆心C (1,0)到切线的距离等于半径
3,
⑵当切线的斜率不存在时，圆心
C (1,0)至煩线x =— 2的距离等于半径
3,
所以x =— 2也是圆C 的切线方程.
综上⑴(2)，所求圆C 的切线方程为 x + 2 = 0或7x + 24y — 82= 0. 10. 设圆上的点 A (2,3)关于直线x + 2y = 0的对称点仍在圆上，且直线 圆截得的弦长为2.. 2，求圆的方程.
解析：设圆的方程为(x —a )2+ (y — b )2= r 2, 由题意，知直线x + 2y = 0过圆心，
a + 2
b = 0.①
又点 A 在圆上，••• (2 — a ) + (3 — b ) = r .② •••直线x — y + 1= 0被圆截得的弦长为 2 .2，
：
.12+
a = 6 a = 14
由①②③可得 b =— 3 或b =— 7，
J 2= 52
J 2= 244
2
2
2 2
故所求方程为(x — 6) + (y + 3) = 52 或(x — 14) + (y + 7) = 244.
|能力提升|(20分钟，40分)
11. 若过点A (0，— 1)的直线l 与圆x 2+ (y — 3)2= 4的圆心的距离为d ，则d 的取值范 围为(
)
A. B . C.
D .
解析：圆x 2 + (y — 3)2= 4的圆心坐标为(0,3)，半径为2,点A (0，— 1)在圆外，则当直 线I 经过圆心时，d 最小，当直线l 垂直于点A 与圆心的连线时，d 最大，即d 的最小值为 0,最大值为',0 + J+1
2
= 4,所以d €.
答案：A
2 2
| k — 0+ 2k + 4|
=3. 解得k =—24,代入切线方程得
7x + 24y — 82 = 0.
12. __________________________________________________ (2017 •江西广昌一中月考)已知圆C： (x—a) + (y—2) = 4(a>0)及直线I : x —y + 3 = 0，当直线l被圆C截得的弦长为2石时，则a等于________________________________________________ .
| a —2 + 3| j 2 解析：由题可得J 22 = (3 ，得a=、]2 — 1 或a=— 2 —1(舍去).
答案：..2 — 1
13. 已知圆M x2 3+ y2+ 2y —7= 0和点N0,1)，动圆P经过点N且与圆的轨迹为曲线E.
(1) 求曲线E的方程；
(2) 点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线A k2,满足kk = 4,求厶ABC面积的最大值.
解：(1)圆M x2+ y2+ 2y —7 = 0 的圆心为M0 1)，半径为2/2,
点N(0,1)在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，
所以动圆P与圆M内切.设动圆P半径为r，则2 2 —r=|PM
因为动圆P经过点N,所以r = | PN , |PM +1 PN = 2 2> |MN,
所以曲线E是M N为焦点，长轴长为2迄的椭圆.
由a= ]2, c = 1，得b2= 2 — 1 = 1,
2
所以曲线E的方程为x2+ ；= 1.
(n)直线BC斜率为o时，不合题意
设B(X1, y" , C(X2, y2)，直线BC x = ty + m
"x = ty + m
联立方程组| 2 y2得
x + 丁= 1
2 2 2
(1 + 2t )y + 4mty+ 2m—2 = 0,
2
4mt 2m—2
y1+ y2=—1+ 2t2, y1y2= 1 + 2t2
又kk = 4,知y1y2= 4(x1—1)(X2—1) = 4( ty 1 + m- 1)( ty 2+ m- 1)
2 2
=4t y1y2+ 4( m- 1) t (y1 + y2)+ 4( m-
1).
2n i—2 2
1 + 2t2(1 —4t2) = 4( m- 1)
_ 2 2 2
又m^ 1,化简得(m+ 1)(1 —4t ) = 2( —4mt) + 2( m- 1)(1 + 2t ),
2 4心—4
& ABC= • 2 •I y2 一y11 = . 2
3 11+ 2t M相切，圆心P AC的斜率k1,
—4mt2
石药2+ 4(m—1)代入得
解得m= 3,故直线BC过定点(3,0)
2
由△ > 0，解得t > 4,
____________ 4______________ — 2
9 _2 3
t2-4 + 2t- 4
(当且仅当12=17时取等号)•
综上，△ ABC面积的最大值为舟2.
3
14. 已知以点A—1,2)为圆心的圆与直线l i：x + 2y + 7 = 0相切.过点B( —2,0)的动
直线I与圆A相交于M N两点，Q是MN的中点.
(1) 求圆A的方程；
(2) 当|MN = 2屮9时，求直线I的方程.
解析：(1)设圆A的半径为r,
•••圆A与直线l i：x+ 2y + 7= 0相切，
I —1 + 4 + 7| 2 5
•-r=「5 = 25，
2 2
•••圆A的方程为(x + 1) + (y —2) = 20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线I的方程x=—2,
此时有|MN = 浙9,即卩x=—2符合题意.
当直线I与x轴不垂直时，设直线I的斜率为k,
则直线I的方程为y = k(x+ 2),
即kx—y + 2k= 0.
•/ Q是MN的中点，• AQLMN ••AQ2+ MN 2= r2.
又TIMN = 2伍，r = 2>/5,.・.|AQ = V20—19 = 1.
解方程| AQ =2" = 1，得k = 4,
\k + 1 4
3
•此时直线I的方程为y—0 = /x + 2)，即3x—4y + 6 = 0.
综上所得，直线I的方程为x=—2或3x —4y+ 6 = 0.
11。