站前区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

站前区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 变量x 、y
满足条件
，则（x ﹣2）2+y 2
的最小值为（ ）
A
． B
． C
． D ．5
2． 已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 若f （x ）为定义在区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1），总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①f （x ）
=
，②f （x ）
=
，③f （x ）
=
，④f （x ）
=
．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4． 已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是（ ） A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
5． 若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6． 数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 5=（ ） A ．
B ．20
C ．21
D ．31
7． 已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）
A ．2x
B ．2x ln2
C ．2x +ln2
D
．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
8． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x ∈Z|x 2＜2}，则∁U P=（ ） A ．{2} B ．{0，2}
C ．{﹣1，2}
D ．{﹣1，0，2}
9． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，﹣2）
10．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）
11．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种
运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数
时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）
|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个
二、填空题
13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 1+3a 2，则公比q= ．
14．过原点的直线l 与函数
y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则
|
+
|= ．
15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －5≤0
2x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．
16．已知函数f （x ）=x 2
+
x ﹣
b+（a ，b
为正实数）只有一个零点，则
+的最小值为 ．
17．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例
如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：
1=+++++
+
+
+
+
+
+
+
，其中m ，n ∈N *
，则m+n= ．
18．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a .
三、解答题
19．已知椭圆Γ：（a ＞b ＞0）过点A （0，2），离心率为
，过点A 的直线l 与椭圆交于另一点
M ．
（I ）求椭圆Γ的方程；
（II ）是否存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆Γ的右焦点F 且与直线 x ﹣2y ﹣2=0相切？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
20．某市出租车的计价标准是4km 以内10元（含4km ），超过4km 且不超过18km 的部分1.5元/km ，超出18km 的部分2元/km ．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y 元与行车里程x km 的函数关系式； （2）如果某人乘车行驶了30km ，他要付多少车费？
21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．
（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．
22．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 2=4，且a 2，a 5，a 14成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n
项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，
记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
23．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲
线
在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值； （Ⅲ）若，使得不等式
成立，求实数的取值范围.
24．设集合{}
{}2
|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数组成的集合C ．
站前区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
2．【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，
若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
3．【答案】C
【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），
总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），
等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），
①f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=﹣•＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
③f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=
＜0恒成立，
故③不为“上进”函数；
④f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．
故④为“上进”函数．
故选C．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
4．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，
∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，
故输出的n=5．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
6．【答案】C
【解析】解：由a n+1=a n+2n，得a n+1﹣a n=2n，又a1=1，
∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1
=2（4+3+2+1）+1=21．
故选：C．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．
7．【答案】B
【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．
8．【答案】A
【解析】解：∵x2＜2
∴﹣＜x ＜
∴P={x ∈Z|x 2
＜2}={x|﹣
＜x ＜
，x ∈Z|}={﹣1，0，1}，
又∵全集U={﹣1，0，1，2}， ∴∁U P={2}
故选：A ．
9． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3﹣3x 2
+1，
∴f ′（x ）=3ax 2
﹣6x=3x （ax ﹣2），f （0）=1；
①当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1有两个零点，不成立；
②当a ＞0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a ＜0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f （x ）=ax 3﹣3x 2
+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f （x ）=ax 3﹣3x 2
+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f （）=﹣3•+1＞0；
故a ＜﹣2； 综上所述，
实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D ．
10．【答案】
【解析】选B.取AP 的中点M ， 则P A ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM
＝2sin x
2，
PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x
2
，
∴y ＝f （x ）＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin （x 2＋π
4），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，
故选B. 11．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2
﹣
=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=
．
故选：A ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
12．【答案】B
【解析】解：a※b=12，a、b∈N*，
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个．
故选B
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：设等比数列的公比为q，
由S3=a1+3a2，
当q=1时，上式显然不成立；
当q≠1时，得，
即q2﹣3q+2=0，解得：q=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
14．【答案】4．
【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，
再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），
∴2||=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．
15．【答案】
【解析】
约束条件表示的区域如图，
当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，z min＝2＋b，∴2＋b ＝3，∴b＝1.
答案：1
16．【答案】9+4．
【解析】解：∵函数f（x）=x2
+x﹣b+只有一个零点，
∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，
∵a，b为正实数，
∴+=（+）（a+4b）=9++
≥9+2=9+4
当且仅当=，即a=b时取等号，
∴+的最小值为：9+4
故答案为：9+4
【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．
17．【答案】33．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
18．【答案】-1
【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，
所以所求的椭圆方程为；
（Ⅱ）假设存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆后的右焦点F 且与直线x ﹣2y ﹣2=0相切，
因为以AM 为直径的圆C 过点F ，所以∠AFM=90°，即AF ⊥AM ，
又=﹣1，所以直线MF 的方程为y=x ﹣2，
由
消去y ，得3x 2
﹣8x=0，解得x=0或x=，
所以M （0，﹣2）或M （，），
（1）当M 为（0，﹣2）时，以AM 为直径的圆C 为：x 2+y 2
=4，
则圆心C 到直线x ﹣2y ﹣2=0的距离为d==≠
，
所以圆C 与直线x ﹣2y ﹣2=0不相切；
（2）当M 为（，）时，以AM 为直径的圆心C 为（），半径为r=
=
=
，
所以圆心C 到直线x ﹣2y ﹣2=0的距离为d==r ，
所以圆心C 与直线x ﹣2y ﹣2=0相切，此时k AF =
，所以直线l 的方程为y=﹣
+2，即x+2y ﹣4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为x+2y ﹣4=0．
【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．
20．【答案】
【解析】解：（1）依题意得：
当0＜x ≤4时，y=10；…（2分）
当4＜x ≤18时，y=10+1.5（x ﹣4）=1.5x+4…
当x ＞18时，y=10+1.5×14+2（x ﹣18）=2x ﹣5…（8分） ∴
…（9分）
（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．
∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-． （2）若1x ≥-时，有()0f x ≥， ∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，
∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-， ∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥． ∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得：
，解得
．
∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1． 即a n =2n ﹣1；
（Ⅱ）由已知得，
．
∴T n =b 1+b 2+…+b n =（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n+1
﹣1）
=（22+23+…+2n+1）﹣n=．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n 项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．
23．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）
.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a ,b 的方程组，求解方程组可得；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存
在极小值；
试题解析： （Ⅰ）∵，∴
，由题设得，∴
； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴
，∴
，∴函数在是增函数，∵
，
，且函数
图像在
上不间断，∴
，使得
）
极小值
∴函数存在极小值
；
（Ⅲ），使得不等式
成立，即
，使得不等式
成立……
（*），令，，
则
，
∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，
即，∴，，∴
，
∴
，
，∴
在
内单调递增，
∴
，
结合（*）有，即实数的取值范围为
．
24．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C .
【解析】
考点：1、集合的表示；2、子集的性质.。