山东省日照市2018届高三4月校际联合期中考试数学(理)试题 扫描版含答案

绝密★启用前 试卷类型：A
高三校际联考理科数学参考答案 2018.04
一、选择题： ADCCB DADBA BB
1.答案A 解析：[)[)(1,3)1,1,3U A B =-+∞=ð.故选A.
2.答案D 解析：因为甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，乙应付： 1001235032321090109⨯=≈钱．故选D ．
3.答案C 解析：
5sin()cos()sin[()]sin[()]sin()sin()6362366x x x x x x ππππππππ-+-=-++--=+++ 111442
=+=.故选C 4.答案C 解析: 因为抛物线22(0)=>y px p 上一点0(2,)P y 到其准线的距离为4,所以
2,42
p p ==抛物线28.y x =故选C. 5.答案B 解析: 由题得()24,2a b m +=， ()2a a b ⊥+等价于2420m m -⨯+⨯=. 2m ∴=±所以“()2a a b ⊥+”是“2m =”的必要非充分条件.故选B .
6.答案D 解析: ()f x x sinx =+， ()1cos 0f x x ∴=+≥'()f x ∴单调递增,
又22log 63<<,()()2log 26(3)f f f ∴<<,即b c a <<.故选D.
7.答案A 解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其中上方是一个底面
半径为1，高为1的圆锥，中间部分是一个半径为1的半球，下方是一个正四棱
柱，且该正四棱柱的底面是边长为2的正方形，高为3，所以圆锥的体积211133V π
π
=⨯⨯=，半球的体积321421233
V ππ=⨯⨯=，正四棱柱的体积232312V =⨯=，所以该几何体的体积12312V V V V π=++=+.故选A.
8.答案D 解析:因为点D 在线段BC 上，所以存在R t ∈，使得
()BD tBC t AC AB
==-.因为M 是线段AD 的中
点，所以()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++ 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-
+， 12t μ=，所以12
λμ+=-. 故选D. 9.答案B 解析：3377419129,9001919,
S T a a =+++++==+++++=+3332919106,
M a a =⨯++=+331333106+106+M =10N=10M+[
]10=10106[]10=96[]10,101010
a a a a a --⨯--+⨯--+⨯ 33106+103[]10,10
a a +=⨯ 当304a ≤<时，3=3a -（舍去）；
当349a ≤≤时，37a =.故选B
10.答案A 解析：考查三角函数的周期性及图象、椭圆、不等式相关知识，考查学生数形结合能
力以及化归思想.集合A 表示()f x 的最大值和最小值对应的点，且两个相邻的最大值（或最小
值）点之间长度为一个周期T , ()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最大值或最小值一定在直线
1y =±上，又在集合B 中，当1y =±时，21162
x +≤
得x ≤≤ϕ，即可
将函数()f x 适当平移，依题意得
222T T T ⎧≤⎪⎨+>⎪
⎩22522πωπω⎧⋅≤⎪⎪∴⎨⎪⋅>⎪
⎩
≤<ω.故选A
11.答案B 解析:设()11,M x y ， ()22,N x y ，则221122222222
11x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩①②. ∴-①②得2222121222x x y y a b --=，即222
1222212y y b x x a
-=-. ∵点Q 满足OM OQ +=0，∴()11,Q x y --
，∴1212
MN y y k x x -==- ∵30MNQ ∠=
，∴1212QN y y k x x +==+， ∴2212121222121212
1MN QN y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-，即221b a = ∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a
=±, ∴双曲线C 的渐近线方程为y x =±.故选B.
12.答案B 解析：易知函数()f x 在R 上单调递增，且()222210f -=-=，所以函数()
f x 只
有一个零点2，故{}2P =，由题意知|2|1-<β，即13<<β.
由题意知,函数()g x 在()1,3内存在零点，由()2e 0x g x x a =-=，得2e x x a =，所以
2
e
x x a =. 记2
()((1,3)),e
x x h x x =∈则222e e (2)'(),(1,3)(e )e x x x x x x x x h x x --==∈.所以当(1,2)x ∈时， '()0h x >,函数()h x 单调递增；当(2,3)x ∈时，'()0h x <,函数()h x 单调递减； 所以24()(2)e h x h ≤=
，而1(1)e h =，391(3)e e h =>，214()(2)e e h x h <≤=，所以实数a 的取值范围为214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选B.
二、填空题：
13． 0.35 14. 216 15．2
9
13．答案0.35.解析：由题意可知，10.152
4=0.352P ξ-⨯<<=（2）.故答案为0.35
14.答案216.解析： 把()423a b c +-的展开式看成是4个因式()23a b c +-的乘积形式，展开式中，含2abc 项的系数可以按如下步骤得到：第一步：从4个因式中任选1个因式，这个因式取a ，有1
4C 种取法；第二步：从剩余的3个因式中任选1个因式取2b ，有1
3C 种取法；
第三步：把剩余的2个因式中都取3c -，有2
2C 种取法，根据分步乘法计数原理，得含2
abc 项的系数是14C 13C 22
223=216C ⨯⨯,故答案为216.
15.答案2
9.
解析：.画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
由1
{ 27x y x y -=+=，解得3,2x y ==，即()3,2A ， 且()70,,0,12B C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
所以1
7
27
13224ABC S ∆⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，
作出直线230x y -=，则230x y -≥所以表示区域为OAC ∆，
即不等式230m n -≥所表示的区域为OAC ∆，其面积为1
3
1322OAC S ∆=⨯⨯=,
所以不等式230m n -≥对应的概率为3
2
22794OAC ABC S P S ∆∆===
.故答案为2
9.
16.
解析：设,BAC ABD θα∠=∠=，则2ABC π
α∠=+.在ABC ∆中，由余
弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠,
故
26BC θ=-，由正弦定理得sin sin BC
AC
BAC ABC =∠∠
,
即sin sin()
2
BC AC
πθ
α=
+
，所以cos BC αθ=.在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD α=+-⋅,
又22424BD BC θ==-,
且cos 2cos BD BC ααθ==
，所以
2252520sin()AD θθθϕ=--=-+
，其中cos 55
ϕϕ=
=
， 所以当sin()1θϕ+=，
即s i n θθ==
时，2AD 取最小值5，
三、解答题： 17．答案：（Ⅰ）1
4n n a -=,1441143n n n
S --==-；（Ⅱ）2,1,67, 2.
n n b n n -=⎧=⎨-≥⎩. 解析:（Ⅰ）
1122...2(23)4n n n a b a b a b n +++=+-⋅
211112222242,2(43)418,20.a b a b a b a b ∴=-=-+=+-⋅==,
122,5b b =-=,121,4a a ==,
{}n a 是等比数列，
2
1
4a a =，{}n a ∴的通项公式为14n n a -∴=， ………………………………………3分
{}n a ∴的前n 项和1441
143
n n n S --==-. ………………………………………6分 （Ⅱ）由1
4n n a -∴=及1122...2(23)4n n n a b a b a b n +++=+-⋅得
1124...42(23)4n n n b b b n -+++=+-⋅ ①
2n ≥时，211214...42(25)4n n n b b b n ---+++=+-⋅ ②
①-②得，
当2n ≥时，1
114
2(23)42(25)4(67)4n n n n n b n n n ---=+-⋅---⋅=-，
2n ∴≥，67n b n =- . ……………………………………………10分
又当1n =时, 12b =-，
{}n b 的通项公式为2,1,
67, 2.n n b n n -=⎧=⎨-≥⎩
. ……………………………………………12分
18．答案：(I)见详解；(II)cos ,55
CH n <>= (I)证明：
ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥.
四边形OAEF 为矩形，AO FO ∴⊥,EF AO ∥，
EF BD ∴⊥EF FO ∴⊥, …………………2分
又BD
FO O ∴=,EF BDF ∴⊥平面.
又EF DEF ⊂平面,∴平面DEF ⊥平面BDF .…………5分
(II)
平面OAEF ⊥平面ABCD ，
平面OAEF 平面ABCD =OA ，
又
FO AO ⊥，FO ABCD ⊥平面,
FO AO ∴⊥,FO BO ⊥.
以O 为原点，OA ,OB ,OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 不妨设2AB AE ==,则(0,0,0)O ,(0,1,0)B ，
(C ,(0,1,0)D -,2)E ,(0,0,2)F . (3,1,2)DE =,(0,1,2)DF =,(0,1,2)BF =-,
3BF HF =
,2214
(3,1,0)(0,1,2),).3333CH CB BF =+=+-=
14
(3,,)33
CH ∴=.……………………………………………8分
设平面DEF 的法向量为n =(,,)x y z ，
由⋅⎧⎨⋅⎩n n 00DE DF ==,
即2020y z y z ++=+=⎪⎩
，
令1z =得n =(0,2,1)-，
由2
cos ,211CH n CH n CH n
⋅<>==
=⋅.
得直线CH 与平面DEF 所成角的正弦值即为cos ,CH n <>=. ……12分
19．答案（Ⅰ）ˆ0.7510y x =+；
（Ⅱ）①320EX =；② 解析：
所
以15
.
7
4
⨯，
ˆ700.758010a
=-⨯=， ……………………………………………3分 所以y 关于x 的回归方程是ˆ0.7510y
x =+.……………………………………………5分 （Ⅱ）由ˆ0.751050,y
x =+≤得由ˆ0.7510100,y
x =+≤得120,x ≤ 根据另10天海曲市的AQI 指数估计甲景区的AQI 指数，即海曲市的AQI 指数当在
053.3时，甲景区空气质量为优，在54120
时，空气质量为良，120以上，空气质量
为轻度污染以及以上。

由表2知甲景区的AQI 不高于50的频数为8210+= AQI 指数在51100的频数为10515+=
AQI 指数大于100的频数为235+=
设“便利店每天盈利约600元”为事件A ，“便利店每天盈利约300元”为事件B
，“便利店每天亏损约180元”为事件C ，
…………………………………7分 ①设便利店每天盈利为X 元，则X 的分布列为
则X . ………………9分 ②由① “连续三天便利店盈利不低于1500元包含12,3B A A 三种情况”， 则“连续三天便利店盈利不低于1500元”的概率：
答：便利店在这30天里每天盈利的数学期望是320元，连续三天便利店盈利不低于1500元的概率是11
54
. …………………………12分
20．答案：（Ⅰ）22143+=x y ；（Ⅱ）1315
解析：（Ⅰ）如图，设以线段11A B 为直径的圆的圆心为E ，取(1,0)F -， 依题意，圆E 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，E ，D 三点共线.
因为O 为1A F 的中点，E 为11A B 中点，所以12FB OE =. 所以1FB +11A B =2OE 12A E +=2OE 2DE +=412A F >=， 依椭圆的定义可知，动点1B 的轨迹为椭圆， …………………………2分 其中：
24,22,a c ==所以2,1,a c ==所以23b =，
所以动点1B 的轨迹曲线C 方程为
22
143
+=x y . ………………………………………
5分
（Ⅱ）设直线'l 的方程为3+2y x t =，由3+2
24
y x t x y ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩， 得P 点的坐标为3(1,)224
t t
-
+， 又由22
2
121043
24
x y x x x y ⎧+=⎪⇒-+=⎨⎪+=⎩
，得T 点坐标3(1,)2， 所以2
2
5|16
PT t |=， ………………………………………7分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22
3+21
4
3y x t x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22
+103t x tx +-=， 则有122
121
3x x t t x x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩
，224(1)03t t ∆=-->，所以2
12t <，………………………………9分 113+2y x t =
，223+2y x t =
，PA =
1x =，
同理PB
=
2x ，所以PA PB
=2
x
1x -
221211322()()422t t x x x x ---++=222
1322313()()=422348
t t t t t -----+， 所以2
||13
|15
PA PB PT λ=||=|为定值. ……………………………………………12分
21．答案（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）{1} 解析：（Ⅰ） ()()1(1)=
ln 2b
F x f x g x x x a =+++++
1. 0a =,此时函数的定义域为()0,x ∈+∞，
()'22111
x F x x x x
-=-
+=故函数()F x 在()1,x ∈+∞内单调递增, 在()0,1x ∈内单调递减. …………………………2分
2. 0a <,()222
'
22
211()(21)()()()x a x x a x a F x x a x x a x x a x +-+-+=-+==+++，
此时函数()F x 的定义域为()
0,)
(x a a ∈--+∞， 令()2
2
()(21),0,.14x x a x a x a
μ=+-+∈+∞∆=-，
此时0∆>恒成立. 令()0x μ=得，
12(21)(21)0,22
a a x a x a ----+<=
<-=>-
函数()F x 在()120,,(,)x x x ∈+∞内单调递增，在12(,),(,)x x a a x ∈--内单调递减. 综上1. 当0a <时，函数()F x 在()120,,(,)x x x ∈+∞内单调递增，在12(,),(,)x x a a x ∈--内单调递减.
2.当0a =时，函数()F x 在()1,x ∈+∞内单调递增, 在()0,1x ∈内单调递减. ………4分
（Ⅱ）当2a =-时，假设存在实数b 满足条件， 则1()(
)ln 1122
b G x x x =+-≥-（）在(1,2)(2,)x ∈+∞上恒成立． 1. 当(1,2)x ∈时，1()(
)ln(1)122b
G x x x =+-≥-
可化为(22)ln(1)240bx b x x +---+≤， 令()(22)ln(1)24,(1,2),H x bx b x x x =+---+∈ 问题转化为：()0H x ≤对任意(1,2)x ∈恒成立(*)；
又(2)0,H ='
'2()ln(1)2,(2)0.1
b
H x b x b H x -=-+
+-=- ''22
22().1(1)(1)
b b bx H x x x x --=
-=---
（1）1b ≤ 时，因为22220bx x -≤-<-=，
故''()0H x <，所以函数'()y H x =在(1,2)x ∈时单调递减，''
()(2)0H x H >=，
即'
()0H x >，从而函数()y H x =在(1,2)x ∈时单调递增，
故()(2)0H x H <=，所以(*)成立，满足题意；…………………………6分
（2） 当1b >，''22
2()
2()(1)(1)b x bx b H x x x --==--， 因为1b >，所以
22b <，记2(,2)(1,2)I b =，则当x I ∈时，2
0x b
->， 故''()0H x >，所以函数'()y H x =在x I ∈时单调递增，''
()(2)0H x H <=，
从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(2)0H x H >=，此时(*)不成立；
所以当(1,2)x ∈，1()(
)ln(1)122
b
G x x x =+-≥-恒成立时，1b ≤； ………8分 2. 当(2,)x ∈+∞时，1()(
)ln(1)122b
G x x x =+-≥-
可化为(22)ln(1)240bx b x x +---+≥
令()(22)ln(1)24,(2,),H x bx b x x x =+---+∈+∞， 问题转化为：()0,H x ≥对任意的(2,)x ∈+∞恒成立(**)；
又(2)0,H ='
'2()ln(1)2,(2)0.1
b
H x b x b H x -=-+
+-=- ''22
22().1(1)(1)
b b bx H x x x x --=
-=--- （1）1b ≥时，2b 2220bx -≥->-=，故''()0H x >，所以函数'
()y H x =在
(2,)x ∈+∞时单调递增，''()(2)0H x H >=，即'()0H x >，
从而函数()y H x =在(2,)x ∈+∞时单调递增，所以()(2)0H x H >=，此时(**)成立； （2） 当1b <时，
①若0b ≤，必有''()0H x <，故函数'
()y H x =在(2,)x ∈+∞上单调递减，
所以''()(2)0H x H <=，即'
()0H x <，
从而函数()y H x =在(2,)x ∈+∞时单调递减，所以()(2)0H x H <=，此时(**)不成立；
② 若01b <<，则22b >，所以2(2,)x b ∈时，''2
2
()()0.(1)b x b H x x -=
<- 故函数'()y H x =在2(2,)x b
∈上单调递减，''()(2)0H x H <=，即'
()0H x <，
所以函数()y H x =在2(2,)x b
∈时单调递减，所以()(2)0H x H <=，此时(**)不成立；
所以当(2,)x ∈+∞，1()(
)ln(1)122
b
G x x x =+-≥-恒成立时，1b ≥. ………11分 综上所述，当(1,2)(2,)x ∈+∞，1()(
)ln(1)122
b
G x x x =+-≥-恒成立时，1b =， 从而实数b 的取值集合为{1}. ………12分
22．答案（Ⅰ）1
l ：
θ=3
π(R ρ∈)；C ：2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=
（Ⅱ）1+解析：（Ⅰ）依题意，直线1l 的极坐标方程为θ=
3
π
(R ρ∈).………………………1分 由1cos 1sin x y ϕϕ
=+⎧⎨=+⎩消去ϕ,得22(1)(1)1x y -+-=.………………………3分 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得：2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
故曲线C 的极坐标方程为2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=.………………………5分 （Ⅱ）依题意可设1(,
)3M π
ρ,2(,)3
N π
ρ, 且1ρ，2ρ均为正数.
将θ=
3
π代入2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=
，得2(110ρρ-++=，
所以121ρρ+=121ρρ⋅=，
………………………7分
所以
11OM ON +=1211ρρ+=12
12
ρρρρ+
=1+………………………10分 23．答案（Ⅰ）{}|02x x <<（Ⅱ）1a ≥-或5a ≤-
解析：（Ⅰ）由123x -+<,得3123x -<-+<
511x ∴-<-< 解得02x << ……4分
故不等式的解集为：{}|02x x << ………5分 （Ⅱ）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，
所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆= …………7分 又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，
()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥， …………8分
解得1a ≥-或5a ≤-，
所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤- ……10分。