九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值教学

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2．（荆门·中考(zhōnɡ kǎo)）计算 sin45°的结果(jiē guǒ)等于（ ）
A． 2
B．1 C．
D．
【解析(jiě xī)】选B.
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3．（眉山·中考(zhōnɡ kǎo)）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB= ，
BC 7 1， sinA= AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯(f021
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3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别(fēnbié)是a,b,c. c 求证:sin2A+cos2A=1.
A
b
【证明(zhèngmíng)】在Rt△AaB2C中b，2 c2，
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1.锐角三角函数的定义：
直角三角形中边与角的关系(guān xì):锐角三角函数.
2.在直角三角形中,若一个锐角确定(quèdìng),那么这个角的对边, 邻边和斜边之间的比值也随之确定(quèdìng).
sin A a , c
cos A b , c
sin B b , c
A
D
B
C
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【解析(jiě xī)】（1）∵∠B＝60°，
∴∠BCD=60°，又 ∵AB＝AD＝DC，
∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA=∠BCA.
∴∠ACB=30°.
cos∠ACB=cos 30°= .
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，
sin2A
a2， c2
cos2A
b2， c2
∴sin2A+cos2A=
a2 b2 c2
1.
B
a ┌
C
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1.（黄冈·中考(zhōnɡ kǎo)）cos30°=（
）
A． 1 2
B． 2
2
C． 3 D． 3
2
【解析】选C.由三角函数(sānjiǎhánshù)的定义知cos30°3 =. 2
1 2 1 2 .
22
2
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 1 1 0.
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老师提示(tíshì): sin260°表示 (sin60°)2,
cos260°表示
(cos60°)2,其余 类推.
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例2 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边 摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至 最高位置时与其摆至最低位置时的高度(gāodù)之差(结果精确
∵E,F分别(fēnbié)是AB,DC的中点，
∴EF= 1 ( AD BC ) 1 (8 16)=12.
2
2
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【规律(guīlǜ)方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方式，可以 (kěyǐ)提高计算速度.
2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的有关知 识结合三角函数灵活运用.
到0.01m).
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【解析(jiě xī)】如图,根据题意可知, ∠AOD 1 60 O D30=,2.5m,
2
O C O D •co s3 0 2 .532 .1 6 5 (m ). 2
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置(wèi zhi)与最低位置(wèi zhi)的高度差约为0.34 m.
则下底BC的长为 __________．
【解析(jiě xī)】10
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4．（丹东·中考(zhōnɡ kǎo)）计算：
.
【解析(jiě xī)】
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=2.
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5．（巴中·中考）已知，如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD ＝DC＝8，∠B＝60°，连接AC． （1）求cos∠ACB的值. （2）若E,F分别是AB,DC的中点(zhōnɡ diǎn)，连接EF，求线段EF的长.
cos B a , c
3.sin A和cos B, cos A和sin B有什么(shén me)关
系?
A
sin A=cos B, cos A=sin B.
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B
c
a
┌
b
C
探究
如图,观察一副三角板:
它们其中(qízhōng)有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin 30°等于(děngyú)多少?
(2)cos 30°等于(děngyú)多少? (3)tan 30°等于多少?
30°
45°
45° ┌ 60° ┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
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(4)sin 45°,sin 60°等于(děngyú)多少?
30°
(5)cos 45°,cos 60°等于(děngyú)多少?
No 示(cos60°)2,其余类推.。(2) sin260°+cos260°-tan45°。所以，最高位置与最低位置的高度(gāodù)差约为
0.34 m.。∵AB＝AD＝DC，。∴∠DAC=∠BCA，。——牛顿
Image
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直角三角形三边(sān biān)的关系. 直角三角形两锐角的关系.
A 直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
45°
B
c
a
┌
b
C
30°
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45° ┌
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【跟踪(gēnzōng)训练】
1.计算(jìsuàn): (1)sin 60°-cos 45°.
(2)cos 60°+tan 60°.
3 2sin45sin602cos45.
2
4 2sin230cos2602cos245.
2
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【解析(jiě xī（)】1） 3 2 22
（2） 1 3 2
（3） 1 3 2 22
（4） 2 1 1 2 3
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2.某商场(shāngchǎng)有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m, 扶梯的长度是多少?
【解析(jiě xī)】如图所示,BC=7m， B ∠A=30°
30° 45° 60°
正弦 sinα
1 2
2 2
3 2
余弦 cosα
3 2
2 2 1 2
正切 tanα
3 3
1
3
注意(zhù yì)表格还可以看出许 多知识之间的内在联系
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【例题(lìtí)】
例1 计算(jìsuàn): (1)sin 30°+cos 45°. (2)sin2 60°+cos2 60°-tan 45°. 解:(1)sin 30°+cos 45°
2 30°，45°，60°角的三角函数(sānjiǎhánshù)值
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1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有
关的推理，进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据(gēnjù)30°,45°,60°角的三角函数值说明相应的锐 角的大小.
45°
(6)tan 45°,tan 60°等于(děngyú)多少?
老师期望:
45° ┌ 60° ┌
你能对伴随你学生生涯的这副三角板所具有的功能进行重新认识和评
价吗？
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
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填一填：特殊(tèshū)角的三角函数值表
锐角α
60° ┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧(tǎnɡ wò) 在我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
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内容(nèiróng)总结
2 30°，45°，60°角的三角函数值。根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>。你能对 伴随你学生生涯的这副三角板所具有的功能进行重新认识和评价吗。sin260°表示(sin60°)2,。cos260°表