高考数学复习必备 精品推荐 -衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018 学年度第二学期高三年级十六模考试
理数试卷
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知 是虚数单位，则复数
的实部和虚部分别是（ ）
A. ， 【答案】A
B. ，
C. ，
D. ，
【解析】分析：复数
分子、分母同乘以 ，可化为 ，根据实部和虚部的定义可得结果.
详解：因为复数
，
所以，复数
的实部是 ，虚部是 ，故选 A.
点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.
2. 已知集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：利用三角函数的有界性化简集合 ，然后根据交集的定义求解即可..
详解：
，
，
，故选 C. 点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关 系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 且属于集合 B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个
是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，且
，
，
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于
对称，且
，结合题意得到 的值.
详解：


随机变量 服从正态分布 ，
曲线关于 对称，且
，
由
，可知
，故选 B.
点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1）正态曲线 对称；（2）在正态曲线下方和 轴
上方范围内的区域面积为 .
4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
B. 命题“若
，则 ， 互为相反数”的逆命题是真命题
C. 命题“
，使得
”的否定是“
，都有
”
D. 命题“若
，则 ”的逆否命题为真命题
【答案】B
【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.
详解：“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”， 错误；
逆命题是 “若则 ， 互为相反数，
”， 正确；
“
，使得
”的否定是“
，都有
”， 错误；
“若
，则 ”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， 错误，故选 B.
点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与
结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆
命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直
接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.
5. 已知 满足
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】


，选 A. 6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为 ，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几 何体的体积为（ ）
A.
B.
【答案】D
C.
D.
【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是 个圆锥），故体积为
，故选 D.
7. 已知函数
，现将
的图形向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为
原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则 在 上的值域为（ ）
A.
B.
【答案】A
【解析】将函数
C.
D.
向左平移 个单位，可得对应的函数解析式
为:
，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到
的图象对应的函数解析式为:
，则


∵
∴
∴
∴
∴
故选 A
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）
把函数
的图像向左平移
个单位长度，则所得图像对应的解析式为
，遵循“左加
右减”；（2）把函数
图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍（ ），那么所得图像
对应的解析式为
.
8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创
举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入
，
，输出的 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】依次运行程序框图中的程序．
a=6402，b=2046，
执行循环体，r=264，a=2046，b=264；
不满足条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198；
不满足条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66；
不满足条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0．


满足条件 r=0，退出循环．输出 a 的值为 66．选 A．
9. 已知实数 ， 满足约束条件
若不等式
恒成立，则实数 的最大值
为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数 ，由目标函数的几何意义可知，目标函
数在点 处取得最大值
，
在点 或点 处取得最小值
，即
.
题中的不等式即：
，
则：
恒成立，
原问题转化为求解函数 整理函数的解析式有：
的最小值，
，
令
，则
，
令
，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且
，据此可得，当
时，函数 取得最大值，
则此时函数 取得最小值，最小值为：
.


综上可得，实数 的最大值为 . 本题选择 A 选项.
10. 已知函数
，
，若对任意的
最小值为 ，则 最大值为（ ）
，总有
恒成立，记
的
A.
B.
C.
【答案】C 【解析】由题意得 得
D.
对任意的
，当
时，
恒成立，所以
，令
；当
时， ；所以当
， 时，
，从而
，因为
，所以当
时，
；当 时，
；因此当 时，
，选 C.
点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用
或
求单调区间；第二步：解
得两个根 ；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值
同端点值的大小．
11. 设双曲线 ：
的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线的右支交于两点 ，
，若
，且 是 的一个四等分点，则双曲线 的离心率是（ ）


A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】若
，则可设
，因为 是 的一个四等分点；
若
,则
,但此时
，再由双曲线的定义，得
，
得到 ，这与 矛盾；
若
,则
，由双曲线的定义，得
，则此时满足
,
所以
是直角三角形，且
,
所以由勾股定理，得
，得
,
故选 B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，
分类讨论思想，属于中档题，首先对 是 的一个四等分点进行分类讨论，经过讨论，只有
成
立，经过分析，发现证明了
是直角三角形，且
，因此可利用勾股定理得到 之间的关系，
进而得到 的值，综合分析发现得到
是直角三角形是解决问题的关键.
12. 已知偶函数 满足
，且当
时，
，关于 的不等式
在区间
上有且只有 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：根据 的周期和对称性得出不等式在 上有正整数解的个数为 ，利用导数研究函数的
单调性，计算
的值，结合函数图象列不等式，即可得出 的范围.
详解： 偶函数 满足
，
，
的周期为 ，且 的图象关于直线 对称，
由于
上含有 个周期，
且 在每个周期内都是对称轴图形，
关于 的不等式
在 上有 个正整数解，


当
时，
，
中 上单调递增，在 上单调递减，
当
时，
，
当 时，
在 上有 个正整数，不符合题意，
或
，
显然
在 上无正整数解，
故而
在 上有 个正整数，分别为 ，
， ，由
可得
，
，故选 D.
点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤
其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法
的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺
利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，先将
上有且只有 个整数解，
转化为关于 的不等式
在 上有 个正整数解，再转化为利用函数研究函数的单调性，从而
得到结论.
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 已知平面向量 ， ， ， 且
，若 为平面单位向量，则
的最大值为_____ ．
【答案】
【解析】分析：由 ， 且
求出向量平面向量 的夹角，设出
，
，
然后利用向量的坐标运算求解.
详解：由
，且
，
得
，
，
设出
，
，
的最大值为 ，故答案为 .
点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是
，二是
，主要应用以下几个方


面:(1)求向量的夹角，
（此时 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是 ；
（3） 向量垂直则
;(4)求向量
的模（平方后需求 ）.
14. 二项式
展开式中的常数项是_____ ．
【答案】5
【解析】二项式
展开式的通项为
，令
，得 ，即
二项式
展开式中的常数项是 .
15. 已知点 是抛物线 ：
（ ）上一点， 为坐标原点，若 ， 是以点
为圆心， 的
长为半径的圆与抛物线 的两个公共点，且
为等边三角形，则 的值是_____ ．
【答案】
【解析】由题意，可知
，所以
，所以 。

16. 已知直三棱柱 且 与投影面 所成角为 值是__________．
中，
，
，
,若棱 在正视图的投影面 内，
，设正视图的面积为 ，侧视图的面积为 ，当 变化时， 的最大
【答案】 【解析】分析：利用 与投影面 所成角 ， 面积为 和侧视图的面积为 的关系，利用 详解：
， ，求解 最大值.
，建立正视图的
与投影面 所成角 时，平面 ，
如图所示，


故正视图的面积为
因为
，所以
侧视图的面积为
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
故得 的最大值为 ，故答案为 .
点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、
图象法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值常见类型有：①化成
的形式利用配
方法求最值；②形如
的可化为
的形式利用三角函数有界性求最值；③
型，可化为
求最值 .
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列 的前 （
）项和为 ，数列 是等比数列， ， ，
，
.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若
，设数列 的前 项和为 ，求 .


【答案】(1)
，
.(2)
.
【解析】分析：（1）根据
，
列出关于公比 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，
从而可得数列 和 的通项公式；（2）由（1）可得
利用分组求和以及裂项相消
法求和即可得结果.
详解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
∵，，
，
，
∴
∴，，
∴
，
.
（2）由（1）知
∴
∴
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法
是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
；（2）
；
（3）
；（4）
；此外，需注意裂
项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§
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18. 如图，在底面是菱形的四棱锥
中， 平面
，
，
，点 、 分别
为 、 的中点，设直线 与平面 交于点 .


（1）已知平面
平面
，求证：
；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得
,利用线面平行的判定定理可得 平面 ,在
根据线面平行的性质定理可得 ；（2）由勾股定理可得
， ∵ 平面
，由此可以点 为
原点，直线
分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出
直线 的方向向量与平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式.
试题解析：（1）∵
, 平面 ,
平面 .
∴ 平面 ,
∵
平面 ,平面
平面
∴.
（2）∵底面是菱形， 为 的中点
∴
∴
∵ 平面
，则以点 为原点，直线
分别为轴建立如图所示空间直角坐标系
则
∴
，
，
设平面 的法向量为
，有
得
设
，则
，
则
解之得
，∴
，
设直线 与平面 所成角为 则 ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立


体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相 应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4） 将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象 却在近 年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011 年之前,方便面销量在中国连续 年保持两位数增长,2013 年的年销量更是创下 亿包的辉煌战绩；但 2013 年以来,方便面销量却连续 3 年下跌,只剩 亿包,具体 如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增 长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会） 年份
时间代号
年销量 （亿包/桶）
(1)根据上表，求 关于 的线性回归方程
.用所求回归方程预测 2017 年( )方便面在中国的年销
量；
(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身
边的 位朋友做了一次调查,其中 位受访者表示超过 年未吃过方便面, 位受访者认为方便面是健康食品；
而 位受访者有过网络订餐的经历，现从这 人中抽取 人进行深度访谈，记 表示随机抽取的 人认为方便
面是健康食品的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 .
参考公式：回归方程：
，其中
，
.
参考数据：
.
【答案】(1)356;(2)见解析. 【解析】分析：（1）根据平均数公式可求出 与 的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式


中所需数据，求出
，再结合样本中心点的性质可得
，进而可得 关于
的回归方程；(2) 的可能值为 ， ， ， ，结合组合知识，根据古典概型概率公式求出随机变量的概率，
从而可得分布列，利用期望公式可得结果.
详解：（1）
，
，
，
，
，
所以 当 时， （2）依题意， 人中认为方便面是健康食品的有 人， 的可能值为 ， ， ， ，
所以
；
；
；
，
.
点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算
的值；③计算回
归系数 ；④写出回归直线方程为
； 回归直线过样本点中心
方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
是一条重要性质，利用线性回归
20. 如图，设抛物线
（ ）的准线 与 轴交于椭圆 ：
（
）的右焦点 ，
为 的左焦点，椭圆的离心率为 ，抛物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长其交 于 点 ， 为 上一动点，且在 ， 之间移动.


（1）当 （2）若 的方程.
取最小值时，求 和 的方程； 的边长恰好时三个连续的自然数，当
面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线
【答案】(1)
,
;(2)
的面积最大值为
，：
.
【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得
，故可得 ，故而可求得 和 的方程；（2）
因为
，则
，设椭圆的标准方程为
，联立抛物线与椭圆的方程可得
，得
代入抛物线方程得
，可得 ，可得直线与抛物线的方程，
联立得
，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.
试题解析：（1）因为
，则
，所以 取最小值时 ，
此时抛物线
，此时
，所以椭圆 的方程为
；
（2）因为
，则
，设椭圆的标准方程为
，
由
得
，所以
或
（舍去），代入抛物线方程
得
，即
，
于是
．此时抛物线方程为
，
，又
的边长恰好是三个连续的自然数，所以
，则直线 的方程为
．联立
，得
或
（舍去），于是
．所以
，


设
到直线 的距离为 ，则
，当
时，
，
所以
的面积最大值为
．此时
．
21. 已知函数 切线与 轴垂直. （1）求 的单调区间；
（ 为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的
（2）设
，对任意 ，证明：
.
【答案】(1) 的单调递增区间是
，单调递减区间是
;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）求出 ，根据曲线
在点
处的切线与 轴垂直即切线斜率为 ，求出 的
值，解
即得函数 的单调递增区间和递减区间；（2）由于 ，所以整理
得
，分别证明
时，
和
，根据（1）可知：当 时，由（1）知
成立；当
时， ，
，即证
，构造函数
，利用导数研究其在 单调性，求出其在 上的最大值即可证得
，
再构造函数
，利用导数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论.
试题解析：（1）因为
，由已知得
，∴
．
所以
，
设
，则
，在
上恒成立，即 在
上是减函数，
由
知，当
时
，从而
，当 时
，从而
．
综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
．
（2）因为 ，要证原式成立即证
成立，


现证明：对任意 当 时，由（1）知
恒成立， 成立；
当
时， ，且由（1）知
，∴
．
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，所以当
，即
时，
．
综上所述，对任意
．①
令
，则
恒成立，所以 在
时， 取得最大值 上递增，
恒成立，即
，即
．②
．所以
当 时，有
；当
时，由①②式，
，
综上所述， 时，
成立，故原不等式成立
考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明. 方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证 明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解 答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研 究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为
（ 为参数）.以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴
建立坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若过点
的直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
.
【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到 的普通方程，两边同乘以 利用


即可得 的直角坐标方程；（2）设直线 的参数方程为
（ 为参数），代入
定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线 的普通方程为
，曲线 的直角坐标方程为
；
，利用韦达
（2）设直线 的参数方程为
（ 为参数）
又直线 与曲线 ：
存在两个交点，因此
.
联立直线 与曲线 ：
可得
则
联立直线 与曲线 ：
可得
，则
即
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知
，
（1）解不等式 （2）若方程
； 有三个解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】分析：（1）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;
（2）
.作出函数 的图象, 当直线 与函数
的图象有三个公共点时，方程
有三个解，由图可得结果.
详解：（1）不等式
，即为
当 时，即化为
，得
此时不等式的解集为 ，
. ，
当 时，即化为
，解得
，


此时不等式的解集为
.
综上，不等式
的解集为
.
（2）
即
.
作出函数 的图象如图所示，
当直线 与函数
的图象有三个公共点时，方程
有三个解，所以
.
所以实数 的取值范围是
.
点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．



。