高三数学二轮复习 专题三第一讲 三角函数的图象与性质课件 文 新人教A

＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2 2sin2x－π4. 所以f(x)的最小正周期T＝22π＝π.
(2)因为f(x)在区间0，38π上是增函数，在区间38π，π2上
是减函数，又f(0)＝－2，f38π＝2 2，f2π＝2，故函数f(x)在
答案：B
4．(2014·北京卷)设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 是
常数，A>0，ω>0)．若
f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且
π f2
＝f23π＝－fπ6，则 f(x)的最小正周期为________．
解析：∵f(x)在π6，π2上具有单调性，∴T2≥π2－6π， ∴T≥23π. ∵fπ2＝f23π，∴f(x)的一条对称轴为 x＝π2＋223π＝71π2. 又∵fπ2＝－fπ6，
【 例 1 】 (1) 已 知 角 α 的 终 边 上 一 点 的 坐 标 为
sin56π，cos56π，则角 α 的最小正值为(
)
5π
2π
A. 6
B. 3
5π
11π
C. 3
D. 6
(2)若 3cosπ2－θ＋cos(π＋θ)＝0，则 cos2θ＋12sin2θ 的值 是________．
第一部分
专题突破方略
专题三
三角函数
第一讲 三角函数的图象与性质
主干知识大串联01
创新交汇大盘点03
高考热点全突破02
课时作业
主干知识大串联01
知识梳理 追根求源
1．六组诱导公式 对于“k2π±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数 值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象 限．
答案：C
3．(2014·全国卷Ⅰ)
如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的 动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作 直线 OA 的垂线，垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示 成 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
区间0，π2上的最大值为2 2，最小值为－2.
类题通法
1.三角函数的性质问题，往往都要先化成fx＝Asinωx ＋φ的形式再求解.
2.要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的 图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函 数的单调性，最值与周期.
类题通法
3.在求三角函数的最值时，要注意自变量x的范围对最 值的影响，往往结合图象求解.
2×152π＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，因为－π2<φ<2π，所以φ＝－
π 3.
答案：A
三角函数的性质及应用
三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等是高 考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角恒 等变换的方法与技巧的同时，又考查了三角函数的性 质，难度中低档．
【例3】 (1)(2014·福建卷)将函数y＝sinx的图象向左平
离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
【标准解答】 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x. 因为y＝f(x)的图象过点1π2， 3和23π，－2， 所以－32＝＝mmssinin6π4＋3π＋ncnocsoπ6s，43π，
即
3＝12m＋ 23n，
－2＝－ 23m－12n，
解得mn＝＝1. 3，
(2)由(1)知f(x)＝ 3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋6π. 由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6. 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)， 由题意知x02＋1＝1，所以x0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
2．常用三种函数的易误性质
函数 y＝sinx
y＝cosx
图象
y＝tanx
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
在－π2＋2kπ ，
在[－π＋2kπ，
单
π2＋2kπ(k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上单 在－π2＋kπ ，
单调递增；在 调递增；在
调 性
π2＋2kπ，
[2kπ，π＋2kπ](k ∈Z)上单调递
解析：y＝sin(2x＋1)＝sin2(x＋12)，所以只需把 y＝sin2x 的图象上所有的点向左平移12个单位．
答案：A
2．(2014·大纲卷)设 a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，
则( )
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
解析：∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝ csoins3355°°，又 0<cos35°<1，∴c>b>a.
∴f(x)的一个对称中心的横坐标为π2＋2 π6＝π3. ∴14T＝71π2－3π＝π4，∴T＝π.
答案：π
5．(2014·安徽卷)若将函数 f(x)＝sin2x＋4π的图象向右 平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是 ________．
解析：将 f(x)＝sin(2x＋4π)的图象向右移 φ 个单位得 y＝ sin(2(x－φ)＋4π)＝sin(2x＋4π－2φ)，
(2)(2013·天津卷)已知函数f(x)＝－ 6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.
2 sin 2x＋4π ＋
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间0，2π上的最大值和最小值．
【标准解答】
(1)f(x)＝－
2 sin2x·cos π4 －
π 2 cos2x·sin 4
――→ 平移ωφ 个单位
y＝sin(ωx＋φ)
纵坐标横变坐―为―标原→不来变的A倍y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
1．(2014·四川卷)为了得到函数 y＝sin(2x＋1)的图象， 只需把函数 y＝sin2x 的图象上所有的点( )
A．向左平行移动12个单位长度 B．向右平行移动12个单位长度 C．向左平行移动 1 个单位长度 D．向右平行移动 1 个单位长度
π2＋kπ(k∈Z) 上单调递增
32π＋2kπ(k∈Z)
减
上单调递减
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
对称中心：
对称中心：(kπ，
对
0)(k∈Z)；
π2＋kπ，0(k∈
对称中心：
称 性
对称轴：x＝2π＋
Z)；
对称轴：x＝kπ(k
k2π，0(k∈Z)
kπ(k∈Z)
1．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－
4,3)，则cosα＝( )
4
3
A.5
B.5
C．－35 D．－45
解析：cosα＝ －－442＋32＝－45. 答案：D
2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重
合，终边上一点P(－4,3)，则
cosπ2＋αsin－π－α cos112π－αsin92π＋α
类题通法
当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固 定时，通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角 函数.
特别提醒：1当角的终边经过的点不固定时，需要进 行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线 上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看作两条 射线，分别求解.
类题通法
2在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要 特别注意符号.一定要理解“奇变偶不变，符号看象限”的 意思；同角三角函数的平方关系中，开方后的符号要根据 角所在的象限确定.
答案：C
4．(2013·四川卷)
函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2<φ<2π)的部分图象如图 所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－3π B．2，－6π C．4，－π6 D．4，3π
解析：由图知34T＝152π－－3π＝34π， 所以T＝π，又T＝2ωπ，所以ω＝2
若新图象关于 y 轴对称， 则π4－2φ＝π2＋kπ(k∈Z) ∴φ＝－8π－k2π(k∈Z)，令 k＝－1，∴φmin＝38π.
答案：38π
高考热点全突破02
考点突破 解码命题
三角函数的概念、基本关系式和诱导公式
常考查利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角 函数的关系进行化简、求值，在解答题中也常涉及到两 角和(差)、倍角公式、多为基础题．
【标准解答】 (1)∵sin56π>0，cos56π<0， ∴α为第四象限角． 又tanα＝cos556ππ＝－123＝－ 3，
sin 6 2 ∴α的最小正值为53π. 故选C.
(2)∵3cosπ2－θ＋cos(π＋θ)＝0， ∴3sinθ－cosθ＝0，从而tanθ＝13. ∴cos2θ＋12sin2θ＝cossi2nθ2＋θ＋sicnoθsc2oθsθ＝11＋＋ttaann2θθ ＝11＋＋13132＝14390＝65.
【例2】 (2014·山东卷)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝
(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点 1π2，

3 和

点23π，－2. (1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函
数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距
解析：利用单位圆及三角函数的定义，求出 f(x)的解析 式．
如图所示，当 x∈0，2π时，则 P(cosx，sinx)，M(cosx,0)， 作 MM′⊥OP，M′为垂足，则|M|OMM′| |＝sinx，∴cfoxsx＝sinx， ∴f(x)＝sinxcosx＝12sin2x，则当 x＝π4时，f(x)max＝12；当 x∈ π2，π时，有|cfoxsx|＝sin(π－x)，f(x)＝－sinxcosx＝－12sin2x， 当 x＝34π时，f(x)max＝12.只有 B 选项的图象符合．
3．(2014·浙江卷)为了得到函数y＝sin3x＋ cos3x的图象，可以将函数y＝ 2cos3x的图象( )
A．向右平移4π个单位 B．向左平移π4个单位 C．向右平移1π2个单位 D．向左平移1π2个单位
解析：y＝sin3x＋cos3x＝
2
cos(3x－
π 4
)＝
2 cos[3(x－
1π2)]，故只需将y＝ 2cos3x向右平移1π2个单位，故选C.
将其代入y＝g(x)得sin2φ＋6π＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6， 因此g(x)＝2sin2x＋2π＝2cos2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得 kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z， 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.
类题通法
4.求函数fx＝Asinωx＋φ的单调区间时，只有当ω>0 时，才可整体代入并求其解，当ω<0时，需把ω的符号化为 正值后求解.
的值为
________．
解析：原式＝
－inα·sinα －sinα·cosα
＝tanα.根据三角函数的定
义，得tanα＝yx＝－34，所以原式＝－34.
答案：－34
三角函数的图象及应用
函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的平移和伸缩变换以及根 据图象确定A、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择 题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识 图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变 换的能力．
移
π 2
个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是
() A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝2π对称
D．y＝f(x)的图象关于点－2π，0对称
【标准解答】 利用函数y＝f(x)的性质，逐个进行判 断．
由题意知，f(x)＝cosx，所以它是偶函数，A错；它的 周期为2π，B错；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错； 它的对称中心是点kπ＋π2，0，k∈Z，D对．
∈Z)
3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝ sinx 向左平φ移>―0|φ或―|个→向单右位φ<0 y ＝ sin(x ＋ φ)
y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标横变坐―为―标原→不来变的A倍y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sinx
y＝sinωx
向左φ>0或向右φ<0