高考数学(简单版)-2二项式定理 - 简单难度 - 讲义

二项式定理
知识讲解
一、二项式定理
1.二项式定理
定义：()()
011222...n
n n n n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项
式定理．
2.二项式系数、二项式的通项
定义：011222...n n n n n
n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做
()n
a b +的二项展开式，其中的系数
()
0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r
n C a b -叫做二项展开式的通项．用1r T +表示，
即通项为展开式的第1r +项：1r n r r
r n
T C a b -+=． 3.二项式展开式的各项幂指数：二项式()n
a b +的展开式项数为1n +项
各项的幂指数状况是：
1）各项的次数都等于二项式的幂指数n ．
2）字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．
4.二项式系数的性质
1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．
2）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中：
当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2n
n
C 最大；
当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数12n n
C
-, 12n n
C
+相等，且最大．
3）组合总数公式：012
n 2n n n n n C C C C +++
+= 即二项展开式中各项的二项式系数之和等
于n
2．
4）“一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系
数之和，即024
135
-1n n 2n n
n n n C C C C C C +++=+++
=．
备注：
①通项1r n r r
r n
T C a b -+=是()n
a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n
a b +的1r +项和()n
b a +的展开式的第1r +项r n r r
n C b a -是有区别的，应用二项式
定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．
③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是()n
a b +这个标准形式下而言的，如()n
a b -的二项展开式的通项公式是
()11r
r n r r
r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n
T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r
r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n
r r
n n
n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r
n
C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．
经典例题
一．选择题（共12小题）
1．（2018•新课标Ⅲ）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）
A．10 B．20
C．40 D．80
【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：
T r+1=（x2）5﹣r（）r=，
由10﹣3r=4，解得r=2，
∴（x2+）5的展开式中x4的系数为=40．
故选：C．
2．（2018•株洲一模）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（）A．10 B．30
C．45 D．210
【解答】解：（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10的展开式的通项公式为T r+1=（x ﹣x2）r．
对于（x﹣x2）r，通项公式为T m+1=•x r﹣m．（﹣x2）m，
令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或．
∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30．
故选：B．
3．（2018•凉山州模拟）（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数是（）A．4 B．6
C．8 D．12
【解答】解：（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数：
二项式（1+x）5由通项公式
当（1﹣x）提供常数项时：r=4，此时x项的系数是=5，
当（1﹣x）提供一个x时：r=5，此时x项的系数是﹣1×=﹣1
合并可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数为4．
故选：A．
4．（2018•河南模拟）展开式中x2的系数为（）A．20 B．15
C．6 D．1
【解答】解：=
展开式中x2的系数=+=20．
故选：A．
5．（2018•龙岩模拟）已知二项式，则展开式的常数项为（）A．﹣1 B．1
C．﹣47 D．49
【解答】解：二项式=
=1+4（﹣2x）+6+4+，
∴二项式展开式中的常数项产生在1，6，中；
分别是1，6×2••（﹣2x），••（﹣2x）2；
它们的和为1﹣24+24=1．
故选：B．
6．（2018•山东模拟）在（x﹣2y）5的展开式中，所有项的系数之和等于（）A．32 B．﹣32
C．1 D．﹣1
【解答】解：令x=1，y=1，可得（x﹣2y）5的展开式中，所有项的系数之和等于﹣1，
故选：D．
7．（2018•洛阳二模）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5 B．﹣1
C．1 D．5
【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5=（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），
∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）=﹣x5；
∴含x5项的系数是﹣1．
故选：B．
8．（2018•辽阳一模）的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160
C．100 D．80
【解答】解：=，
∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，
的展开式中含x3的项为．
∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．
故选：A．
9．（2018•赣州一模）若（x2）n展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项是（）
A．10 B．20
C．30 D．40
【解答】解：（x2）n=，
由（x2）n展开式中各项系数之和为64，得22n=64，
∴2n=6．
则=，
其展开式的通项为．
取6﹣2r=0，得r=3．
∴展开式中的常数项是．
故选：B．
10．（2018•双流区模拟）（x2﹣2）6（x2﹣1）的展开式中x4的系数是（）A．48 B．﹣48
C．﹣432 D．432
【解答】解：（x2﹣2）6的展开式的通项为=
．
由12﹣2r=2，可得r=5，由12﹣2r=4，可得r=4．
∴（x2﹣2）6（x2﹣1）的展开式中x4的系数是．故选：C．
11．（2018•太原三模）已知（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为0，则正实数a=（）
A．1 B．
C．D．2
【解答】解：∵（ax+1）6的展开式中含x，x2的项分别为，，
∴（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为6a﹣15a2=0，
解得：（a＞0）．
故选：B．
12．（2018•盐湖区校级一模）在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，
∴=﹣，
故选：D．。