江西省龙南中学2011-2012学年度第二学期高一年级3月月考数学试卷

江西省龙南中学2011-2012学年度第二学期高一年级3月月考
数学试题
（考试范围：北师大版必修五 数列 含必修一、必修四内容）
（考试时间：120分钟 试卷满分150分 2012.03.09）
一 选择题：（每小题5分，共50分）
1…，则 ( )
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项 2．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）
A ．2
x y = B ．x
x y 2= C ．)10(log ≠>=a a a y x
a 且 D ．x a a y log =
3．4tan 3cos 2sin 的值（ ）
A .小于0
B .大于0
C .等于0
D .不存在 4．如果a ＝(2x －2，－3)与b ＝(x ＋1，x ＋4)互相垂直，则实数x 等于( )
A.12
B.72
C.12或72
D.7
2或－2 5. 数列{a n }中，如果a n ＝49－2n ，则S n 取最大值时， n 等于 ( )
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26 6．设⎩⎨
⎧<+≥-=)
10()],6([)
10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13 7．若(0,)απ∈，且3
1
)2sin()25cos(
-=++-απαπ，则cos 2α=( )
A ．
917 B ． C ．．317
8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）
A ．12
B ．10
C ．31log 5+
D ．32log 5+
9．方程1
sin 4
x x π=
的解的个数是（ ） A .5 B .6 C .7 D . 8个
10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
二 填空题：（每小题5分，共25分）
11．求值：20)2
3
()8.1(-+-01
.01-
lg 42lg 5++= .
12．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=
13．若1
()21
x
f x a =+-是奇函数，则a = ． 14． ω为正实数，函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，那么ω的取值范围
是 ．
15、设函数1)3
2cos()(++
=π
x x f ，有下列结论：
①点)0,12
5
(π-
是函数)(x f 图象的一个对称中心； ②直线3
π
=
x 是函数)(x f 图象的一条对称轴；
③函数)(x f 的最小正周期是π； ④将函数)(x f 的图象向右平移
6
π
个单位后，对应的函数是偶函数。

其中所有正确结论的序号是 。

三 解答题：（共6小题，16-19每题12分，20题13分，21题14分）
16.已知
0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，
0,4πβ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
且
sin(2)3cos()sin αβαβα
+=+，
2
4tan
1tan 2
2
α
α
=-，
（1）求αtan 的值；（2）求αβ+的值．
17.已知函数f(x)=
121
x
x -+ (x≥1),构造函数a n =f(n)(n ∈N*). ( 1 )求证：a n >-2；
(2 )数列{a n }是递增还是递减数列？试说明理由.
18.已知A(3，0)，B(0，3)，C()sin ,cos αα. (1)若的值；
求)4
sin(,1π
α+
-=⋅BC AC (2)O 为坐标原点，若
，求且｜),0(,13|πα∈=-的夹角.
19．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，a n ＝1
2
a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)．若
b n ＝a n －2 (n ∈N *)．
(1)问数列{b n }是否能构成等比数列？并说明理由． (2)若已知a 1＝1，设数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
-n b n 的前n 项和为n S ，求n S .
20．已知函数2
()2cos 2
x
f x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且1()3
3f π
α-=
，求cos 21cos 2sin 2ααα
+-的值．
21. 已知0a >,函数()||1()f x x x a x R =-+∈. (1)当1a =时，求所有使()f x x =成立的x 的值；
(2)当1a =时，求函数()y f x =在闭区间[0,2]上的最大值和最小值； (3) 试讨论函数()y f x =的图像与直线y a =的交点个数.
江西省龙南中学2011-2012学年度第二学期高一年级3月月考
数学试题答案
一 选择题：（每小题5分，共50分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B
D
A
D
B
B
A
B
C
D
二 填空题：（每小 题5分，共25分）
11. 959-
12. 100 13. 21 14. ⎥⎦
⎤
⎝⎛23,0 15. ②③④
三 解答题：（共6小题，16-19每题12分，20题13分，21题14分）
16.解：（1）2
tan 12
4tan
2
α
α
-=由得
2
1
2
tan 12
tan
22
=
-αα………………(3分) 即2
1
tan =
α………………………………（4分） (2)由αβαβαsin )cos(3)2sin(+=+ ，
又αβααβααβαβαsin )cos(3sin )cos(cos )sin()2sin(+=+++=+……………….（6分）
得αβααβαsin )cos(2cos )sin(+=+所以αβαtan 2)tan(=+……………….（8分） 又即2
1
tan =α，得1tan 2)tan(==+αβα……………….（9分） 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,
0πα，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πβ则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+2,0πβα……………….（10分） 由x y tan =在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π递增，所以4πβα=+……………….（12分）
17.（1）证明：)1(1
3
2121≥++-=+-=
n n n n a n ………………（3分） 又
01
3
>+n ，………………（5分）
， 所以2->n a ………………（6分）
（2）解：)(0)
2)(1(3
13231++∈<++-=+-+=
-N n n n n n a a n n 恒成立. 所以{}n a 是递减数列. ………………（12分）
18．解：(1))3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC AC
1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-=⋅∴αααα………………（2分）
得1)sin (cos 3sin cos 2
2
-=+-+αααα………………（4分）
,3
2
sin cos =
+∴αα ………………（5分） 3
2
)4
sin(=
+
∴π
α………………（6分） (2)13|=-｜
,2
1
cos ,13sin )cos 3(22=∴=+-∴ααα ………………（8分） ,2
3sin ,3
),,0(=
=
∴∈απ
απα ),23,21(-∴C ……………（9分）
θ的夹角为与设,2
3
3=
⋅∴ ………………（10分） 则23323
3|
|||cos =
==OC OB θ， 6),0(π
θπθ=∴∈ 即为所求……………（12分）
19．解 (1)b 1＝a －2，a n ＝b n ＋2，
所以b n ＋2＝12(b n －1＋2)＋1，b n ＝1
2
b n －1. ....................................3分
所以，当a ≠2时，数列{b n }能构成等比数列；
当a ＝2时，数列{b n }不能构成等比数列．....................................6分
(2)当a ＝1，得b n ＝－(12)n －1，则1
2-⋅=-n n
n b
n .................................7分
1-n 1-31-21-12n 232221⨯++⨯+⨯+⨯=n S ①...................8分
n -1n -14-13-122n 21)-n 232221×+×(++×+×+×=2n S ②..........9分
①-②得
1
2)1(=2×2=2×1
2)
12(×1=
2×+++++=--22221-1
n 321n n
n n n n
n n n n n S ...
...11分
n 1)2-(n =∴n S +1....................................12分 20. 解：（Ⅰ）因为
()1cos f x x x =+-……………1分
12cos()3
x π
=++
， …2分
所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-…………………4分 （Ⅱ）因为 1
()3
3
f π
α-
=
， 所以 112cos =
3α+，即1
cos 3
α=-．…………5分 因为 222
cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos ααα
ααααα-=+--…………………8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )
ααααααα+-=
-cos sin 2cos αα
α+=
………………10分 又因为α为第二象限角， 所以
sin α=
…………………………11分
所以原式cos sin 2cos 3
ααα+=
==……………………………13分．
21. (1)|1|1x x x -+=
所以1x =-或1x =;....................................3分
(2)22
2213(),11, 124()151,1(),1
24
x x x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-++<⎪⎩⎪--+<⎪⎩....................5分
结合图像可知函数的最大值为(2)3f =，最小值为(0)(1)1f f ==..............8分
(3)因为0,a >所以2
a a >
， 所以211y x ax =-+在[,)a +∞上递增；.....................................10分
221y x ax =-++在(,)2a -∞递增，在[,)2
a
a 上递减 (11)
分
因为()1f a =，所以当1a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点；
又2()124a a f =+，而22211
()1(44)(2)02444
a a f a a a a a -=+-=-+=-≥，
当且仅当2a =时，
上式等号成
立.........................................12分
所以，当01a <<时，函数()y f x =的图像与直线y a =有1个交点；
当1a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点； 当12a <<时，函数()y f x =的图像与直线y a =有3个交点； 当2a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点；
当2a >时，函数()y f x =的图像与直线y a =有3个交点.................14分。