2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案

6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
问题导学
预习教材P34－P35的内容，思考以下问题： 1．平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？
1．平面向量数量积的坐标表示
已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1
y 2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． ■名师点拨
公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉与a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
2．两个公式、一个充要条件
(1)向量的模长公式：若a ＝(x ，y )，则|a |
(2)向量的夹角公式：设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝
(3)两个向量垂直的充要条件
设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． ■名师点拨
若A (x 1，y 1)，B (x 2，y
2)
，则AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，
|AB →
|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，即A ，B 两点间的距离为（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)|AB →
|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√
已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D
已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4
答案：C
已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120°
数量积的坐标运算
已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2 【解析】 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，
a ＋2
b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，
所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________．
解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，2)，E (2，1)，D (2，
2)，B (0，0)，C (2，0)，
因为AF →＝2FD →
，所以F (43
，2)．
所以BE →＝(2，1)，CF →＝(4
3，2)－(2，0)＝(－23，2)，
所以BE →·CF →
＝(2，1)·(－23，2)
＝2×(－23)＋1×2＝2
3.
答案：2
3
平面向量的模
(1)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b 则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17
D.26
(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【解】 (1)选A.因为a ∥b ，所以1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1，2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，
则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52.① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②
联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.
所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算
若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝
x 2＋y 2.
已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →
|＝________．
解析：设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC →＝(4，－1)，所以AC →
＝(x ，y －1)＝(4，－1)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，
所以BC →＝(3，2)，|BC →
|＝9＋4＝13. 答案：13
平面向量的夹角(垂直)
已知a ＝(4，3)，b ＝(－1，2)． (1)求a 与b 夹角的余弦值；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 【解】 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a |＝42＋32＝5，|b |＝（－1）2＋22＝5，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝
255＝25
25
. (2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝52
9
.
利用数量积求两向量夹角的步骤
1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π
6，则实数m ＝( )
A ．23 B. 3 C ．0
D ．－ 3
解析：选B.因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，
又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝3
2，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.
2．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →
＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →
.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．
1．已知向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b )
D ．|a |＝|b |
解析：选C.因为向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，
所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →
＝(2，1)，则AD →·AC →
＝________．
解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →
＝(2，1)·(3，－1)＝5.
答案：5
3．已知a ＝(1，3)，b ＝(2，m )． (1)当3a －2b 与a 垂直时，求m 的值； (2)当a 与b 的夹角为120°时，求m 的值． 解：(1)由题意得3a －2b ＝(－1，33－2m )， 由3a －2b 与a 垂直，得－1＋9－23m ＝0， 所以m ＝433
.
(2)由题意得|a |＝2，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2＋3m ， 所以cos 120°＝
a ·
b |a |·|b |＝2＋3m 2m 2＋4＝－1
2
， 整理得2＋3m ＋m 2＋4＝0， 化简得m 2＋23m ＝0，
解得m ＝－23或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－2 3.
[A 基础达标]
1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6
D ．12
解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.
2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2
D ．2
解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.
3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8
D ．8 2
解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.
4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b 的夹
角为150°.
5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →
有最小值，则点P 的坐标是( )
A ．(－3，0)
B ．(2，0)
C ．(3，0)
D ．(4，0)
解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →
＝(x －4，－1)． AP →·BP →
＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)
＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →
有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．
6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－2
7．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．
解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122
＝134，解得λ＝1或λ＝－3
2. 答案：1或－3
2
8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝（2cos θ－3）2＋（2sin θ）2
＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2 θ＝7－43cos θ， 当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋ 3
9．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；
(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4. (2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，
所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.
10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．
(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；
(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.
解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得
⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2
＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3， 故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．
(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos
θ＝a ·b |a |·|b |＝2
2，所以θ＝π
4
. [B 能力提升]
11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小
为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，
所以x ＋2y ＝－5
2.又a ·c ＝x ＋2y ，
所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－1
2，
所以a 与c 的夹角为120°.
12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →
的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤12，2
B.⎣⎡⎦⎤0，3
2 C.⎣⎡⎦⎤12，32
D.[]0，1
解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →
＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →
＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32
，即EM →·EC →
的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
的值为________．
解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π
2，
cos A ＝35，cos C ＝4
5
，
所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝BC →·CA →＋CA →·AB →
＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×3
5
＝－25.
法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，
则A (3，0)，B (0，0)，C (0，4)．
所以AB →＝(－3，0)，BC →＝(0，4)，CA →
＝(3，－4)． 所以AB →·BC →
＝－3×0＋0×4＝0， BC →·CA →
＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA →·AB →
＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
＝0－16－9＝－25. 法三：(转化法)因为|AB →|＝3，|BC →|＝4，|AC →
|＝5， 所以AB ⊥BC ，所以AB →·BC →
＝0，
所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →) ＝CA →·AC →＝－|AC →
|2＝－25. 答案：－25
14．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围． 解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)， 所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)， 所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝3
2
.
因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π
6
.
(2)|a －t b |2
＝a 2
－2t a ·b ＋t 2b 2
＝4t 2
＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭
⎫t ＋1
22
＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．
[C 拓展探究]
15．已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．
解：(1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →
＝(－3，3)． AB →·AD →
＝1×(－3)＋1×3＝0， 所以AB →⊥AD →
，所以AB ⊥AD .
(2)因为AB →⊥AD →
，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.
设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →
＝(x ＋1，y －4)．
又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.
所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →
＝(－
2，4)．
又BD →
＝(－4，2)，
所以|AC →|＝25，|BD →
|＝25， AC →·BD →
＝8＋8＝16. 设AC →与BD →
的夹角为θ，
则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →
|＝1625×25
＝4
5.
故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为4
5.。