(江苏专用)高考数学一轮复习 加练半小时 专题1 集合与常用逻辑用语 第3练 逻辑联结词、量词 理(

第3练逻辑联结词、量词
[基础保分练]
1．已知命题p：∀x∈[1,4]，x2≥a，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值X围为________．
2．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0，则綈p为________________．
3．已知命题p：若x>y，则x2>y2，命题q：若x>y，则x3>y3.给出下列命题：①p且q；②p 或q；③綈p；④綈q.其中真命题是________．(填序号)
4．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．5．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根，q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在区间[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则实数a的取值X围是________________．
6．下列命题中的假命题是________．(填序号)
①∀x>0且x≠1，都有x＋1
x
>2；
②∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)；
③∀φ∈R，函数y＝sin(x＋φ)都不是偶函数；
④∃m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
7．下列几个命题：
①若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正实根，一个负实根，则a<0；
②函数y＝x2－1＋1－x2是偶函数，不是奇函数；
③命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”；
④命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0”；
⑤“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件．
正确的是________．
8．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋22x＋1<0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x 在R上满足f′(x)<0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值X围是________________．9．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值X围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
10．下列四个命题中真命题的序号是________．
①“x＝1”是“x2＋x－2＝0”的充分不必要条件；
②命题p：∀x∈[1，＋∞)，lg x≥0，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∧q为真命题；
③命题“∀x∈R，e x>0”的否定是“∃x∈R，e x≤0”；
④“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题．
[能力提升练]
1．给出如下命题：
①若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；
②“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”；
③“∀x ∈R ，x 2＋x ≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ≤1”；
④“x >0”是“x ＋1x
≥2”的充要条件． 其中假命题是________．(填序号)
2．已知命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则p ∧q 为________命题．
3．下列命题正确的个数是________．
①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；
②函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件； ③x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b <0”．
4．下列结论：
①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12
>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；
②已知直线l 1；ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b
＝－3；
③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”． 其中正确结论的个数为________．
5．设实数a >0，且a ≠1.已知p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值X 围是________．
6．已知下列命题： ①∃x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2； ②∀x ∈(3，＋∞)，x 2
>2x ＋1；
③∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1； ④∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，tan x >sin x . 其中真命题为________．(填序号)
答案精析
基础保分练
1．a ＝1或a ≤－2
2．∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋2>0 3.②③
4．q 1，q 4 5.(－∞，－12)∪(－4,4)
6．③ 7.①④⑤ 8.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 解析 因为∀x ∈R ，不等式ax 2
＋22x ＋1<0的解集为空集，所以当a ＝0时，不满足题意；当a ≠0时，必须满足⎩⎨⎧ a >0，
Δ＝22
2－4a ≤0，解得a ≥2. 由f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )<0，可得函数f (x )在R 上单调递减，
则0<2a －5<1，解得52
<a <3.若命题p ∧(綈q )是真命题，则p 为真命题，q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥2，a ≤52
或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞)． 9．1
10．①③ 解析 对于①，x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2，故“x ＝1”是“x 2＋x －2＝0”的充分不
必要条件，即①正确；
对于②，p 为真命题，q 为假命题，则p ∧q 为假命题，即②不正确；
对于③，“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x
≤0”，故③正确；
对于④，逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m ＝0时不成立，故④不正确．
能力提升练
1．①③ 2.假 3.2
4．2
解析 在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题，正确；在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，a ，b 可能都为0，所以不正确；在③中“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”，正确． 5.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(1，＋∞) 解析 由指数函数的性质得，若p 是真命题，则0<a <1.若q 是真命题，则ax 2
－x ＋a ≥0对∀x ∈R 恒成立，
所以a >0，且Δ＝1－4a 2
≤0，
解得a ≥12
. 所以a ≥12
且a ≠1. 因为p ∧q 为假，p ∨q 为真，
所以p ，q 一真一假，
①p 假q 真时，a >1；
②p 真q 假时，0<a <12
. 由①②知，a 的取值X 围为 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(1，＋∞)． 6．①②
解析 对于①，当x ＝π4
时， sin x ＋cos x ＝2，所以此命题为真命题； 对于②，当x ∈(3，＋∞)时，
x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，
所以此命题为真命题；
对于③，∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34
>0， 所以此命题为假命题；
对于④，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时， tan x <0<sin x ，所以此命题为假命题．。