醴陵二中2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理

醴陵二中2018年上学期高二年级理科数学期末考试试卷
总分：150分。

考试时量：120分钟.
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 1.已知全集}10,8,6,4,2,0{=U ，集合}6,4,2{=A ,}1{=B ，则
B A
C U )(=(
)
A 。

}10,8,1,0{
B 。

}6,4,2,1{
C 。

}10,8,0{ D.
φ
2.若1tan()4
2
πθ+=，则tan θ＝（ ）
A 。

12
B 。

2 C.
1
3
-
D. 3
3。

由数字0,1，2，3,4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个.
A 72
B 36
C 124
D 192
4。

六个人站成一排，其中甲不站最左,乙不站最右
的排法有（ ）
A 720
B 480
C 504
D 360
5. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ) A ．6种 B ．12种
C ．24种
D ．30种
6。

设,m n 是两条不同的直线,α表示平面，下列说法正
确的是( ）
A.若//,m n αα⊂，则//m n ；
B 。

若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥；
C.若,m m n α⊥⊥，则//n α；
D. 若//,m m n α⊥，则n α⊥;
7。

则输入整数p 的最大值是（A . 15 B 。

14 C.
8. 已知函数f (x )是定义在（－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x
∈[0,2）时f （x )＝log 2（x ＋1)，则f （－2 019）＋f (2 018)的值为( ）
A ． 1
B ． 2
C ．－2
D ．－1
9。

要得到2sin(2)3
y x π=-的图象，只需把函数2sin y x =的
图象( )
A ．向右平移6
π，横坐标缩短为原来的2
1 B ．向
右平移6
π，横坐标伸长为原来的2倍
C ．向右平移3
π，横坐标缩短为原来的2
1 D ．向
右平移3
π，横坐标伸长为原来的2倍
10。

如图，一个空间几何体的直观图的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边等1，那么这个几何体的体积为
( ）
A.
1
B.
2
1
C.3
1 D 。

6
1
正视图
侧视图
俯视图
11。

已知点P 是圆2
2:(22)1C x
y +-=上的一个动点,点Q
是直线:0l x y -=上的一个动点，
O 为坐标原点,则向量OP 在向量OQ 上的射影的数量的最大值是( )
A 。

2
22
+
B.
3
C. 2
D. 1
12. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2
()34f x x
x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上
是“关联函数"，则m 的取值范围为 ( ）
A 。

9
(,2]4
-- B 。

[1,0]- C.(,2]-∞- D 。

9
(,)4
-+∞ 二、填空题:(本大题共4个小题，每小题5分，共20分,把正确答案填在题中横线上)
13。

已知）若（b a k b a 2),3,(),1,2(+==∥），（b a -2 则k 的值是________。

14。

某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一个参加活动，女生丙必须参加活动，则不
同的选人方式有_____ 15。

已知y x ,满足约束条件2
21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，且2x y a +≥恒成立，
则a 的取值范围为 16.已知定义在
[1,)
+∞上的函数
()
f x 满足
1|23|12()11
()2
22
x x f x f x x --≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩，则函数
2()3y xf x =-在区间[1,2018]上的零点的个数为_________。

三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17。

（本小题满分10分）
在锐角三角形ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C
的对边，且
2sin 0c A -=．
（1）求角C 的大小；
（2）若4c =，求证：8a b +≤．
18。

（本小题满分12分）
十二届全国人大常委会第十八次会议于2015年12月
27日通过关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦开始实施，沙坪坝区妇联为了解该去市民不同年龄层对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了M 名二胎妈妈对其年龄进行调查，得到如下所示的频率分布表和频率分布直方图:
(1）求表中p 的值和频率分布直方图中a 的值;
(2）拟用分层抽样的方法从年龄在[)20,25和[)35,40的二胎妈妈中共抽取6人召开一个座谈会，现从这6人中选2人，求这两人在不同年龄组的概率.
19.（本小题满分12分)
如图，在体积为1的三棱柱11
1
ABC A B C -中，侧棱1
AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1
1AC AA ==，P 为线段AB 上的动点. (1)求证:1
1
CA C P ⊥；
（2)当AP 为何值时,二面角1
1
1
C PB A --的大小为6
π？
20。

（本小题满分12分）
已知过点A(0，1）且斜率为k的直线l与圆22
-+-=交于,M N两点．
:(2)(3)1
C x y
(1)求k的取值范围；
（2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求||
MN.
21.（本小题满分12分）
函数f（x）的定义域为D＝｛x|x≠0｝，且满足对任意x1，x2∈D,有f（x1·x2)＝f（x1)＋f（x2）．（1）求f（1)的值；
(2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1,f(x－1)<2, 且f（x）在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
22。

（本小题满分12分） 已知数列{a n ｝ 满足)2(5221≥∈+-=-n N n n a a n n
且，a 1=1。

（1)若12+-=n a b
n n
,求证：
数列)}({*N n b n ∈是常数数列，并求}{n
a 的通项；
(2)若S n 是数列}{n
a 的前n 项和,又n n n
S c
)1(-=，且}{n c 的前
n 项和2tn T
n
>在*N n ∈时恒成立，求实数t 的取值范围。

醴陵二中2018年上学期高二年级理科数学期末考试试卷
命题人:贺明战 审题人：李庆德 总分：150分. 考试时量：120分钟.
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）
1. 1.已知全集}10,8,6,4,2,0{=U ，集合}6,4,2{=A ，}1{=B ，则
B A
C U )(=（
A ）
A 。

}10,8,1,0{ B. }6,4,2,1{ C. }10,8,0{ D 。

φ
2.若1tan()4
2
πθ+=，则tan θ＝(C )
A. 12
B. 2
C 。

13
-
D 。

3
3。

由数字0,1，2,3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( D ) 个。

A 72 B 36 C 124 D 192
4.六个人站成一排，其中甲不站最左，乙不站最右的排法有（ C ）
A 720
B 480
C 504
D 360
5. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ C ） A ．6种 B ．12种
C ．24种
D ．30种
6. 设,m n 是两条不同的直线，α表示平面,下列说法正
确的是（ B ）
A 。

若//,m n αα⊂，则//m n ；
B.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥；
C.若,m m n α⊥⊥，则//n α； D 。

若//,m m n α⊥，则n α⊥；
7.执行如图的程序框图，若输出的n ＝5，
则输入整数p 的最大值是（ A ）
A 。

15 B. 14 C 。

7 D 。

6
8。

已知函数f (x ）是定义在（－∞,＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2）＝f （x )，且当
x ∈［0,2）时f （x )＝log 2（x ＋1），则f （－2 019）＋f (2 018)的值为（ D )
A ． 1
B ． 2
C ．－2
D ．－1
9.要得到2sin(2)3
y x π=-的图象，只需把函数2sin y x =的图
象( C ）
A ．向右平移6
π，横坐标缩短为原来的2
1 B ．向
右平移6
π，横坐标伸长为原来的2倍
C ．向右平移3
π,横坐标缩短为原来的2
1 D ．向右
平移3π，横坐标伸长为原来的2倍 10. 如图，一个空间几何体的直观图的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边等1,那么这个几何体的体积为
（ C ）
A 。

1 B.21 C.31 D.61
11。

已知点P 是圆22:(22)1C x y +-=上的一个动点,点Q
是直线:0l x y -=上的一个动点，
O 为坐标原点,则向量OP 在向量OQ 上的射影的数量的最大值是( B ）
A. 2
22+ B. 3 C. 2
D. 1
12. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x
x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上正视图 侧视图 俯视图
是“关联函数"，则m 的取值范围为 （ A
）
A 。

9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4
-+∞ 二、填空题:(本大题共4个小题，每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上)
13。

已知）若（b a k b a 2),3,(),1,2(+==∥），（b a -2 则k 的值是___6_______。

14。

某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有___49_____
15. 已知y x ,满足约束条件221x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
,且2x y a +≥恒成立，则a 的取值范围为 1a ≤-
16.已知定义在
[1,)+∞上的函数()f x 满足1|23|12()11()222
x x f x f x x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则函数 2()3y xf x =-在区间[1,2018]上的零点的个数为____11______。

三、解答题：(本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且
2sin 0c A -=．
（1）求角C 的大小；
（2）若4c =，求证：8a b +≤．
（1）解析：32sin 0,a c A -=sin sin ,c A C a ∴==-————-—-(2分）
,ABC ∆是锐角三角形0,2C π
∴<<,3C π
∴=---——--————--—-
（4分）
(2）证明: 4,,3c C π
==
222cos 16,3a b ab π
∴+-=2()316,a b ab ∴+-=----—--—----—--（6分)
22()1633()2
a b a b ab +∴+-=≤⨯-————-—————-————--———--—-—-—-————-—(8分）
2()64,a b ∴+≤又0,a b +>--————---—-——----———--—-—---——---—--—-—-—(10分）
8,.a b ∴+≤
18.(本小题满分12分）
十二届全国人大常委会第十八次会议于2015年12月27日通过关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦开始实施，沙坪坝区妇联为了解该去市民不同年龄层对“全面二孩"政策的态度，随机抽取了M名二胎妈妈对其年龄进行调查，得到如下所示的频率分布表和频率分布直方图:
(1）求表中p的值和频率分布直方图中a的值；（2）拟用分层抽样的方法从年龄在[)
35,40的
20,25和[)二胎妈妈中共抽取6人召开一个座谈会,现从这6人中选2人，求这两人在不同年龄组的概率.
——-—-—-—-—————(12分）
19。

（本小题满分12分)
如图，在体积为1的三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，11AC AA ==，P 为线段AB 上的动点。

(1）求证：11CA C P ⊥；
(2）当AP 为何值时，二面角111C PB A --的大小为6π？
.解：（1）证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB .
又∵AB⊥AC,
∴以A为原点,AC，AB，AA1所在的直线分别为x轴,y轴，z轴建立直角坐标系.
又∵VABC－A1B1C1＝错误!AB×AC×AA1＝1，∴AB＝2.--————-—--—---—--—-—-—(2分）设AP＝m,则P(0,m，0），而C1（1,0,1)，C(1，0,0），A1(0，0，1),
∴错误!＝(－1，0,1），错误!＝(－1,m，－1），
∴错误!·错误!＝(－1)×(－1)＋0×m＋1×(－1）＝0,
∴CA1⊥C1P.————-—————-—-———-—----——--——--—-——-——----———————-——--——----——-—-—---——-（6分）
（2）设平面C1PB1的一个法向量n＝（x,y，z），令y＝1，则n＝（2,1,m－2），-——————---—----——————---——-——-———---————----———--(9分)
而平面A1B1P的一个法向量AC＝(1，0,0）,
依题意可知cos错误!＝错误!＝错误!＝错误!，
∴m＝2＋错误!（舍去）或m＝2－错误!.
∴当AP＝2－错误!时，二面角C1－PB1－A1的大小为错误!.—--——---—-—--—-——(12分)
20。

(本小题满分12分）
已知过点A（0，1)且斜率为k的直线l与圆C：（x－2）2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若OM·ON＝12,其中O为坐标原点，求|MN|。

解：(1）由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1。

—-—--——--————-(2分)
因为直线l与圆C交于两点，
所以错误!〈1，解得错误!<k〈错误!。

-—-——-—----—-——-——-(4分)
所以k的取值范围为错误!.—-—-—--------—-—--—-——(5分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋(y－3)2＝1,
整理得（1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. ——---—--——-——--—-——----——--(8分)
所以x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
OM ·ON ＝x 1x 2＋y 1y 2——---—-—--———-———--—-—----—--—-——--———-—-—-(9分)
＝（1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1—--—-—-—--—-----————--—--———-—--—-—--(10分)
＝4k 1＋k 1＋k 2＋8.
由题设可得错误!＋8＝12，解得k ＝1，4747(33k -+∈显然-——-（11分)
所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.
故圆心C （2,3）在直线l 上,所以｜MN ｜＝2. —---—-—-—--—-—-———(12分)
21.（本小题满分12分）
函数f （x ）的定义域为D ＝{x |x ≠0｝，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f (x 2)．
(1）求f (1)的值；
(2）判断f （x ）的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f（4）＝1，f(x－1）〈2，且f(x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．
解：（1）∵对于任意x1，x2∈D，
有f（x1·x2)＝f(x1)＋f（x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f(1),
∴f（1)＝0. -—-——--——--—--—--—-——---——--———-—-——--——-—--——-———-——-—--—--—————---——-—--—（3分）
（2）f(x）为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1,
有f（1）＝f(－1）＋f（－1），
∴f(－1）＝错误!f(1）＝0. ----—-——-—------—--———-—--—--——--——--—---—---——------—-————-———（5分)
令x1＝－1，x2＝x，
有f（－x)＝f(－1）＋f（x），
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x）为偶函数．————-—-—---———-——---——---—----—---——-———---—-—-----——-—--———-—--—(7分)
(3）依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4）＝2,——-—---—--————--—-——-—--—---———-—-————-(8分)
由(2）知,f(x)是偶函数，
∴f(x－1）<2⇔f(|x－1｜)〈f（16）．—----—————————-—-———-—---——-—-—————-—-—————-———-(10分）
又f（x)在(0,＋∞)上是增函数．
∴0<｜x－1|〈16，
解之得－15〈x<17且x≠1。

∴x的取值范围是（－15，1）∪（1，17)．-——---———--—-—-—-——-—--——--——--—---———
—-——-(12分）
22.（本小题满分12分)
已知数列｛a n } 满足)2(5221≥∈+-=-n N n n a a
n n 且，a 1=1. （1)若12+-=n a b
n n ，求证：数列)}({*N n b n ∈是常数数列，并求}{n a 的通项；
（2）若S n 是数列}{n a 的前n 项和，又n n n S c )1(-=，且}{n c 的前n 项和2tn T
n >在*N n ∈时恒成立，求实数t 的取值范
围。

解析：(1）由5221+-=-n a a
n n 知：]1)1(2[2121+--=+--n a n a n n —-——（2分)
而11=a 于是由12+-=n a b n n ,可知：12-=n n b b ，且01=b --—-—---—---———(4分)
从而0=n b
,故知数列}{n b 是常数数列于是.12-=n a n -———--——--—-—-—--——-------(6分）
（2）n S 是}{n
a 的前n 项和，则22)1(,)12(531n c n n S n n n ⋅-==-++++= 当a 为奇数时，21,
n k =-即2222221(1)123(22)(21)(21)2n k n n T T k k k k -+==-+-+⋅⋅⋅+---=-+=-
---——-—-——--（8分)
当n 为偶数时,2,n k =22221(1)(2)(21)42n k k n n T
T T k k k k -+==+==-++= ∴n n n n T )1)(1(2
1-+=-——-——--—-—--———-———-—--—--—-———--———-——-——-—--—--—----————--———-——（10分)
由2tn T n >恒成立，则需2)1)(1(21tn n n n >-+恒成立，只需n 为
奇数时恒成立. ∴2)1(2
1tn n n >+- （n =1,3,5,7……） ∴n
n t 121+⋅-< (n =1，3,5，7……）恒成立.—-----——----———--———-----—-—--—(11分）
而1)11(21-≥+-n。

∴1-<t ，故所求t 的范围为（∞-，—1）。

—---—-—-—---—--(12分)。