专题04 勾股定理压轴题型汇总(原卷版)

专题04 勾股定理压轴题型汇总
一、单选题
1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为
5
2
，则点F到BC的距离为（）
A B C D
2．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）
A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁
C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲
3．如图，在ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将BCD
△沿着CD翻折，得到ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若6,42
AB CD AE
===
,，则点C到AB的距离为（）A．
7
2
B．C D．
4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，
则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A ．4S
B ．143S S S +-
C ．234S S S ++
D ．123S S S +-
5．已知a 、b 为两正数，且12a b += ） A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
6．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）
A ．60BAC ∠=︒
B ．2CD BE =
C ．DE AC =
D 1
2
BC AB =+
7．如图，直角三角形纸片ABC 中，6AB =，8AC =，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点1P ；设1P D 的中点为1D ，第2次将纸片折叠，使点A 与点1D 重合，折痕与AD 交于点2P ；设21P D 的中点为2D ，第3次将纸片折叠，使点A 与点2D 重合，折痕与AD 交于点3P ，则3AP 的长为（）
A ．46325⨯
B ．36352⨯
C ．3
5325⨯
D ．23352
⨯
8．如图，等边ABC 的边长为8．P ，Q 分别是边,AC BC 上的点，连结,AQ BP ，交于点O ．以下结论：①若AP CQ =，则BAP ACQ ≌；②若AQ BP =，则120AOB ∠=︒；③若
,7AP CQ BP ==，则5PC =；④若点P 和点Q 分别从点A 和点B 同时出发，以相同的速度
向点C 运动（到达点C 就停止），则点O 经过的路径长为 ）
A ．①②③
B ．①④
C ．①②
D ．①③④
9．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在△ABC 和△ADE 中，△BAC =△DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：
①BD =CE ， ②BD △CE ， ③△ACE +△DBC=30°，
④()
222
2BE AD AB =+．
其中，正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AD △BC 垂足为D ，BE ＝AC ，△EAC ＝3△C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．
12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD BE =，连接DE ，若四边形BADE 的面积是5，6AB =，则DE 的长为________.
13．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③1
4
ADE EF S
AD ⋅＝；④222
3CE BE AE +=，其中正确的是（写代号）________．
14．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长为_____________．
15．如图，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒，AB CD
BC
+=______．
16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，点E 为Rt ABC △外一点，且ADE 为等边三角形，60CBE ∠=︒，若7BC =，4BE =，则ADE 的边长为__________．
三、解答题
17．如图，△MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，求运动过程中，点D 到点O 的最大距离．
18．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE 的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）五边形ABCDE 的周长为 ．
（2）在AB 上找点F ，使E ，C 两点关于直线DF 对称；
（3）设DF 交CE 于点G ，连接AG ，直接写出四边形AEDG 的面积； （4）在直线DF 上找点H ，使△AHB ＝135°．
19．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB＝△ECD＝90°．
（1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知△CAE=90°，AC=AE，∠=︒，AB=BC=1，求BE的长．
45
ABC
图1 图2 图3
20．已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD=AE．
（1）如图1，若△BAC=△DAE=90°，连接CE．求证：△ABD△△ACE；
（2）如图2，若△BAC=△DAE=120°，AB=AC=2．
①当AE△BC时，求线段BD的长；
②取AC边的中点F，连接EF．当点D从点B运动到点C过程中，求线段EF长度的最小值与最大值．
一、单选题
1．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点D在BC 上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
2．（2020·宁波市第十五中学九年级期中）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，
8AD =，则AF 的长为（ ）
A ．5
B ．
40
7
C ．
285
D ．6
3．（2020·四川）（2019秋•陇西县期中）若△ABC 中，AB ＝7，AC ＝8，高AD ＝6，则BC 的长是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．以上都不对
4．（2019·浙江温州市·九年级）如图，在ABC 中，AC =13BC =，AD 、CE 分别是
ABC 的高线与中线，点F 是线段CE 的中点，连接DF ．若DF CE ⊥，则AB =（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝12，则下列关于S 1、S 2、S 3的说法正确的是（ ）
A ．S 1＝2
B ．S 2＝3
C ．S 3＝6
D ．S 1+S 3＝8
6．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）
A ．不存在
B ．等于 1cm
C ．等于 2 cm
D ．等于 2.5 cm
7．（2020·四川省岳池中学八年级月考）在△ABC 中，△BCA=90△,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）
A ．5
B ．7
5
C ．
145
D ．
365
8．（2021·山西）如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）
A ．
254
cm B ．
152
cm C ．7cm D ．
132
cm
二、填空题 9．（2021·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）如图，在Rt ABC 中，
ACB 90,AC 6,BC 8∠=︒==，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E 、F 分别是AD 、AC 上的动点，
则CE EF +的最小值为________．
10．（2021·汝南县清华园学校九年级期末）如图，在Rt ABC 的纸片中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将ADB △折叠得到ADB '，AB '与边BC 交于点
E ．若DEB '为直角三角形，则BD 的长是_______．
11．（2019·浙江八年级期末）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 为边AC 上的一点，
3CD CB ==，//DE BC ，BF CE ⊥交AC 于点F ，交CE 于点G ．若1DE =，图中阴影部分
的面积为4，则BCG 的周长为______．
12．（2020·成都嘉祥外国语学校）如矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，点E 是线段CD 上的一点（不与端点重合），连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 落在C ′处，连接C ′C ，C ′D ，当△C ′CD 是等腰三角形时，CE 的长为_____．
13．（2020·福建九年级）已知m 为______． 14．（2019·义乌市稠州中学教育集团八年级月考）如图，长方形ABCD 中，6AB CD ==，10AD BC ==，点E 为射线AD 上的一个动点，若ABE △与A BE '关于直线BE 对称，若A BC '为直角三角形，则AE 的长为______．
三、解答题
15．（2018·江苏苏州·八年级月考）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出线段CD 长的平方吗？
16．（2020·朝阳·北京八十中九年级月考）已知45AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，
1OH =，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转135°，得到线段PN ，连接ON ．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：OMP OPN ∠=∠；
（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON QP =，并证明．
17．（2020·四川成都实外八年级月考）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，如图1，分别以AB ，
AC ，BC 为边向外作等边三角形ABF ，ACE ，BCD
（1）若ACE S =△，ABF S =△BCD S =△______． （2）如图2，将BCD △沿BC 翻折，点D 的对应点记为P ，
①连接EP ，请求出AEP ∠的度数．
②若AB =AC 的长度变化，点P 也随之运动，试探究AP 的值是否变化，若不变，求出AP 的值；若改变，求出AP 的最小值．
18．（2021·四川内江·八年级期末）问题发现：（1）如图1，已知C 为线段AB 上一点，分别以线段AC 、BC 为直角边作等腰直角三角形，△ACD=90°，CA=CD ，CB=CE ，连接AE 、BD ，则AE 、BD 之间的数量关系为___；位置关系为 ．
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD 绕点C 逆时针旋转，线段AE 、BD 交于点F ，则 AE 与 BD 之间的关系是否仍然成立?请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD ，BC=CE ，△ACD=△BCE=90°，连接AB 、AE 、AD ，把线段 AB 绕点A 旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．
19．（2020·浙江）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，CD 为ABC 的中线，若BCD △是平方倍三角形，求ABC 的面积．
20．（2020·浙江）如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，90
∠=∠=︒．
BAC DAE
（1）如图1，点D、E都在ABC外部，连结BD和CE相交于点F．
①判断BD与CE的位置关系和数量关系，并说明理由；
②若2
AB=，AD=2222
BF CF DF EF
+++的值．
（2）如图2，当点D在ABC内部，点E在ABC外部时，连结BE、CD，当3
AB=，AD 时，求22
+的值．
BE CD。