5-5二阶线性微分方程 PPT资料共27页

y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的通解。
高等数学
05-05-11
例 已知微分方程
(x–1)y–xy+y= –x2+2x–2 的三个解为 y1=x2，y2=x+x2， y3=x2+ex，求微分方程的通解。
高等数学
05-05-12
二阶常系数线性齐次微分方程 形如 y+py+qy=0 的微分方程，
定理（解的叠加原理） 若 y1(x), y2(x) 是二阶线性齐次微
分方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解， 则
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x) 也是齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的 解，其中 C1,C2 为任意常数。
高等数学
05-05-07
线性相关的解
满足
称为二阶常系数线性齐次微分方程， 其中 p,q 为常数。
高等数学
05-05-13
特征方程(characteristic equation) 方程
r2+pr+q=0 称为二阶常系数线性齐次微分方程 y+py+qy=0 的特征方程。
高等数学
05-05-14
特征根 方程
r2+pr+q=0 的根 r1,r2，称为二阶常系数线性齐次 微分方程 y+py+qy=0 的特征根。
高等数学
05-05-15
二阶常系数齐次线性微分方程 的通解为
y(x) (C C11e r1xC 2xC )2eerrx2x
ex(C1cosxC2sinx)
r1r2, r1,r2R rr1r2
r1,2 i
高等数学
例 求下列方程的通解。 （1）y–2y–3y=0 （2）y–6y+9y=0 （3）y–2y+5y=0
高等数学
05-05-01
第五节 二阶线 性微分方程
高等数学
一、二阶线性微分方程
05-05-02
二、二阶常系数线性微分方程
三、二阶常系数线性非齐次微分方程
高等数学
05-05-03
二阶线性微分方程(second-order
linear differential equation) 形如 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的方
程，称为二阶线性微分方程，其中 p(x)、q(x) 和 f(x) 都是自变量 x 的已 知函数。
高等数学
05-05-04
如果 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 中 f(x)0，上述方程称为二阶线性齐次 微分方程。
如果 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 中 f(x)0，上述方程称为二阶线性非齐 次微分方程。
称为二阶常系数线性非齐次微分方 程，其中 p,q 为常数。
Байду номын сангаас
高等数学
例 求非齐次微分方程 y+y+4y=x+2
的一个特解。
05-05-19
高等数学
05-05-20
非齐次项 f(x)
特解的形式
ax+b
(1)当0不是特征根时：
y*=Ax+B (2)当0是特征根(单根)时：
y*=x(Ax+B) (3)当0是特征根(重根)时： y*=x2(Ax+B)
高等数学
05-05-09
例 若微分方程 x2y–xy+y=0 的一 个解为 y1=x，求方程的通解。
高等数学
05-05-10
定理
若 y*(x) 是二阶线性非齐次微分 方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的一个特 解，Y=C1y1(x)+C2y2(x) 是对应的齐次 方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的通解，则 y=Y+y* 是非齐次方程
05-05-25
课堂讨论题 求非齐次微分方程
y–6y+5y=4e5x 的通解。
高等数学
05-05-26
小结：二阶线性微分方程 （齐次，非齐次） 二阶常系数线性微分方程 （齐次，非齐次）
二阶常系数齐次线性微分方程的 性质与解法 特征方程，特征根
作业：P122 习题五 6(1)(4)(7) 7(2)
高等数学
例 求非齐次微分方程 y+3y+2y=2ex
的通解。
05-05-23
高等数学
05-05-24
非齐次项 f(x)
特解的形式
(1)当 a 不是特征根时：
y*=Aeax
beax
(2)当 a 是特征根(单根)时： y*=Axeax
(3)当 a 是特征根(重根)时：
y*=Ax2eax
高等数学
05-05-16
高等数学
05-05-17
课堂讨论题 求下列方程的通解或 特解。
（1）y–y=0
（2）y–5y+6y=0, y|x=0=0.5, y|x=0=1 （3）y+4y+4y=0
高等数学
05-05-18
二阶常系数线性非齐次微分方程 形如 y+py+qy=f(x) 的微分方程，
高等数学
05-05-05
形如 y+py+qy=f(x) 的方程，称 为二阶常系数线性微分方程，其中
p,q 为常数，f(x) 是自变量 x 的已知 函数。
如果 y+py+qy=f(x) 中 f(x)0， 上述方程称为二阶常系数线性齐次 微分方程，即为
y+py+qy=0
高等数学
05-05-06
高等数学
例 求非齐次微分方程 y+2y+3y=3cos2x
的一个特解。
05-05-21
高等数学
05-05-22
非齐次项 f(x)
特解的形式
bcosax 或
bsinax
(1)当 ia 不是特征根时： y*=Acosax+Bsinax (2)当 ia 是特征根时： y*=x(Acosax+Bsinax)
y1( x) k y2 ( x)
的两个解 y1(x), y2(x)，其中 k 为常数， 称为线性相关的解，否则称为线性 无关的解。
高等数学
05-05-08
定理 若 y1(x), y2(x) 是二阶线性齐次微
分方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个线 性无关的特解，则它们的线性组合
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x) 是齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的通 解，其中 C1,C2 为任意常数。