1987年数学一真题

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试题
一、填空题：（本题共有5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）
(1) 当x = 时，函数2x y x =取得极小值。

(2) 由曲线ln y x =与两直线1y e x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是
(3) 与两直线112x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z +++==都平行且过原点的平面方程为 (4) 设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-=⎰
(5) 已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα===则向量(2,0,0)
β=在此基底下的坐标是
二、选择题：（本大题共有4个小题，每小题3分，满分12分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(1) 设2
()()lim 1,()x a f x f a x a →-=--则在x a =处（ ） ()
A ()f x 的导数存在，且'()0f x ≠ ()
B ()f x 取得极大值 ()
C ()f x 取得极小值 ()
D ()f x 的导数不存在
(2) 设()f x 为已知连续函数，(),0
s
t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值（ ）
()A 依赖于s 和t ()B 依赖于s t 、和x
()C 依赖于,s t 、不依赖于x
()D 依赖于,s 不依赖于t (3) 设常数0,k >则级数21(1)n
n k n n
∞=+-∑（ ） ()A 发散 ()B 绝对收敛
()C 条件收敛 ()D .收敛性与k 的取值有关 (4) 设A 为n 阶方阵，且A 的行列式0,A a =≠而*A 是A 的伴随矩阵，则*A 等于（ ）
()A a ()B 1a ()C 1n a - ()D n
a
三、（本题满分10分）
设函数()f x 在闭区间上[]0,1可微，对于[]0,1上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间()0,1内，且'()1,f x ≠证明在()0,1内有且仅有一个,x 使得()f x x =
四、（本题满分3分）
设,f g 为连续可微函数，(,),(),u f x xy v g x xy ==+求u v x x
∂∂∂∂
五、（本题满分8分）
求微分方程2'''6''(9)'1y y a y +++=的通解，其中常数0a >
六、（本题满分10分） 2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑
=++--⎰⎰其中∑是由曲线
1130
z y y x ⎧=-≤≤⎪⎨=⎪⎩ 绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴正向的夹角恒大于
2
π.
七、（本题满分6分） 设矩阵A 和B 满足关系式2,AB A B =+其中301110,014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
求矩阵B
八、（本题满分8分）
问a b 、为何值时，线性方程组
123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b
x x x ax ++
+=+
+=-+--=+++=-
有唯一解，无解，有无穷解？并求出有无穷解时的通解
九、填空题（本题共三题，每小题2分，满分6分）
(1) 设在一次试验中，事件A 发生的概率为,p 现在进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而B 至少发生一次的概率为
(2) 有两个箱子，第一个箱子有3个白球，2个红球，第二个箱子有4个白球，4个红球，
现从第一个箱子随机地去1个球放到第2个箱子利，再从第2个箱子中取出1一个球，此球是白球的概率为 .已知上述从第2个箱子中取得的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为
(3) 已知连续随机变量X 的概率密度函数为2211
(),x x f x e π---=则X 的数学期望为
，X 的方差为
十、（本题满分6分）
设随机变量X Y 、相互独立，其概率密度函数分别为
1010(),()000y X Y x e y f x f x y -≤≤⎧⎧≥==⎨⎨<⎩⎩其他 求2Z X Y =+的概率密度函数。