高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战57895

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式
()()()P A B P A P B +=+24S R π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34
3
V R π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)k k
n k
n n P k C P P -=-
第一部分（选择题 共60分）
1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目的要求的．
1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N = （A ）∅（B ）{1,3,5}
（C ）{2,4}
（D ）{1,2,3,4,5} 答案：B
解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则
M
N ={1,3,5}，选B ．
2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18
[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占
（A ）211（B ）13 （C ）1
2
（D ）2
3
答案：B
解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221
663=，选B ．
3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是
（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3)（D ）(2，－3) 答案：D
解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．
4．函数1
()12
x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是
答案：A
解析：1
()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x 对称的图象过点
(2,0)且单调递减，选A ．
5．“x ＝3”是“x2＝9”的
（A ）充分而不必要的条件（B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 答案：A
解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x =±，选A ． 6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥
（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B
解析：由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ． 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=
（A ）0（B ）BE （C ）AD （D ）CF 答案：D
解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=，选D ．
8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是
（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3
π
π
答案：C
解析：由2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得2
2
2
a b c bc ≤+-，即2221
22
b c a bc +-≥，
∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03
A π
<≤，选C ．
9．数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1=1，an+1 =3Sn （n ≥1），则a6=
（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1
（C ）44（D ）44+1
答案：A
解析：由an+1 =3Sn ，得an =3Sn －1（n ≥ 2），相减得an+1－an =3(Sn －Sn －1)=3an ，则an+1=4an （n ≥ 2），a1=1，a2=3，则a6=a2·44=3×44，选A ．
10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为
（A ）4650元（B ）4700元（C ）4900元（D ）5000元 答案：C
解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），
450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪
+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域，
45035050(97)u x y x y =+=+在由12,
219x y x y +≤⎧⎨
+≤⎩
确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C ．
11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割
线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为
（A ）(2,9)--（B ）(0,5)-（C ）(2,9)-（D ）(1,6)- 答案：A
解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则2
665
(2)1
d a =
=
-+，解得4a =或
0a =（舍去），则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．
12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量
(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则m n
= （A ）215（B ）15（C ）415（D ）1
3
答案：B
解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、
(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定
的平行四边形面积为2，共有3个，则31
155
m n ==，选B ．
第二部分（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图
题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
2．本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）
答案：84
解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639
984C C ==． 14．双曲线22
16436
x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是
____．
答案：16 答案：16
解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d =，则16
5
d =，
则P 到左准线的距离等于26416
16105
⨯+=．
15．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的
表面积与该圆柱的侧面积之差是_________． 答案：32π
解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积
24sin 24cos S παα=⨯⨯⨯＝32sin2πα，当4
π
α=
时，S 取最大值32π，此时球的表面积
与该圆柱的侧面积之差为32π．
16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函
数．例如，函数()f x =2x+1(x ∈R )是单函数．下列命题：
①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数； ②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；
③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④
解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车
一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、1
2
；两小时以上且不超过三小
时还车的概率分别为12、1
4
；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则
111()1424P A =-
-=，111()1244
P A =--=． 答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为
14、1
4
． （Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则
1111111111113
()()()()4244222442444
P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3
4
18．（本小题共l2分）
已知函数73()sin()cos()44
f x x x ππ
=++-，x ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02
π
αβ<<≤．求证：
2
[()]20f β-=．
本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．
（Ⅰ）解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin
4444
f x x x x x ππππ
=+++ 2sin 2cos x x =-2sin()4
x π
=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-．
（Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4
cos cos sin sin 5
αβαβ-=-
两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02
π
αβ<<≤，∴cos 0β=，则2
π
β=
．
∴22
[()]24sin 204
f π
β-=-=．
19．（本小题共l2分）
如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P ，使C1P ＝A1C1，连接AP 交棱CC1于D ．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A －A1D －B 的平面角的余弦值；
本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一：
（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O ，连结OD ，
∵C1D ∥平面AA1，A1C1∥AP ，∴AD=PD ，又AO=B1O ， ∴OD ∥PB1，又OD 面BDA1，PB1面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1．
（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA1，且AA1∩AC=A ，
∴BA ⊥平面AA1C1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA1． ∴∠BEA 为二面角A －A1D －B 的平面角．
在Rt △A1C1D 中，22115
()12A D =+=，
又11151122AA D S AE ∆=⨯⨯=⨯⋅，∴25
AE =
． 在Rt △BAE 中，222535(
)15BE =+=，∴2
cos 3
AH AHB BH ∠==． 故二面角A －A1D －B 的平面角的余弦值为
2
3
． 解法二：
如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．
（Ⅰ）在△PAA1中有1112C D AA =，即1
(0,1,)2
D ．
∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-．
设平面BA1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ， 则11110,
10.
2
A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则1
1(1,,1)2=-n ． ∵111
1(1)2(1)002
B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ，
∴PB1∥平面BA1D ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D 的一个法向量11
(1,,1)2=-n ．
又2(1,0,0)=n 为平面AA1D 的一个法向量．∴12121212
cos ,3||||3
12
⋅<>=
==⋅⨯n n n n n n ．
故二面角A －A1D －B 的平面角的余弦值为
23
． 20．（本小题共12分）
已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．
（Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；
（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．
本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．
当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．
化简得210q q --=．解得15
q ±=
． （Ⅱ）若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．
若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=，即(1)(1)2(1)
111
m l n a q a q a q q q q ---+=---． 整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==． 所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．
21．（本小题共l2分）
过点C(0，1)的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点
(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
解：（Ⅰ）由已知得31,2c b a ==，解得2a =，所以椭圆方程为2
214
x y +=．
椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l 的方程为 3
13
y x =-+，代入椭圆方程得 27830x x -=，解得12830,7x x ==
，代入直线l 的方程得 121
1,7
y y ==-，所以831
(
,)77
D -， 故2283116
||(
0)(1)777
CD =-+--=． （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．
设直线l 的方程为1
1(0)2
y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．
解得12280,41
k
x x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，
所以D 点的坐标为2
22814(,)4141
k k
k k --++．
又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24k
y x k
+=+-，联立得
4,
2 1.x k y k =-⎧⎨
=+⎩
因此(4,21)Q k k -+，又1
(,0)P k
-．
所以1
(,0)(4,21)4OP OQ k k k
⋅=--+=．
故OP OQ ⋅为定值． 22．（本小题共l4分）
已知函数21
()32
f x x =+，()h x x =．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33
lg[(1)]2lg ()2lg (4)24
f x h a x h x --=---；
（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1
()()[(1)(2)()]6
f n h n h h h n -+++≥．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，
2()312F x x '∴=-+．
令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．
当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，
故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233
log [(1)]log ()log (4)24
f x h a x h x --=---，
即为4222log (1)log log 4log 4a x
x a x x x --=---=-，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩
①当14a <≤时，1x a <<，则14a x
x x
--=
-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时620435a
x a ±-==±-，∵1x a <<，
此时方程仅有一解35x a =--．
②当4a >时，14x <<，由14a x
x x
--=-，得2640
x x a -++=，
364(4)204a a ∆=-+=-，
若45a <<，则0∆>，方程有两解35x a =±-； 若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解．
方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，
即2221
log (1)log 4log 2
x x a x
-+-=-，
10,
40,
0,(1)(4).
x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,
(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪
=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--； ②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-； ③当5a =时，原方程有一解3x =；
④当1a ≤或5a >时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++，
1431
()()666
n f n h n n +-=-．
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
()()6
n S f n h n =-（*n ∈N ）
从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341
166
k k k k k a S S k k -+-=-=--．
又1
[(43)(41)1]6
k a k k k k k -=+---2216(43)(41)1k k k k =⋅++--
106(43)(41)1k k k k =⋅>++--． 即对任意2k ≥时，有k a k
>，又因为111
a ==，所以
1212n a a a n +++≥++
+．
则
(1)(2)()n S h h h n ≥++
+，故原不等式成立．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱柱
2.（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）
A.﹣2﹣3i
B.﹣2+3i
C.2﹣3i
D.2+3i
3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）
A.8
B.10
C.12
D.14
4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）
A. B. C.
D.
5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）
A.18
B.20
C.21
D.40
6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）是增函数
C.f（x）是周期函数
D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）
8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）
A.=（0，0），=（1，2）
B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C.=（3，5），=（6，10）
D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）
9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）
A.5
B.+
C.7+
D.6
10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）
A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5
B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）
D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置
11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为.
12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于.
13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.
15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.
三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.
17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折
起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，
l2：y=﹣2x.
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.
在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换
20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
五、选修44：极坐标与参数方程
22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为
（θ为常数）.
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
六、选修45：不等式选讲
23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (2)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱柱
【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可. 【解答】解：圆柱的正视图为矩形，
故选：A.
【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.
2.（（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）
A.﹣2﹣3i
B.﹣2+3i
C.2﹣3i
D.2+3i
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求.
【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，
∴.
故选：C.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.
3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）
A.8
B.10
C.12
D.14
【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6
【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，
解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，
∴a6=a1+5d=2+5×2=12，
故选：C.
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.
4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）
A. B. C.
D.
【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.
【解答】解：由题意可知图象过（3，1），
故有1=loga3，解得a=3，
选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；
选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；
选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；
选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，
但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误.
故选：B.
【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题.
5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）
A.18
B.20
C.21
D.40
【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案. 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，
∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.
∴输出S=20.
故选：B.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=，|AB|=2，
若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立.
若△OAB的面积为，则S==×2×==，
即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，
则（|k|﹣1）2=0，
即|k|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.
故选：A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.
7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）是增函数
C.f（x）是周期函数
D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）
【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.
【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，
当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，
故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除A、B、C，
对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，
当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），
故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确.
故选：D.
【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.
8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）
A.=（0，0），=（1，2）
B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C.=（3，5），=（6，10）
D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）
【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可.
【解答】解：根据，
选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；
选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能.
选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能. 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能.
故选：B.
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题.
9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）
A.5
B.+
C.7+
D.6
【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.
【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则
∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，
∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，
∴P，Q两点间的最大距离是5+=6.
故选：D.
【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5
个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）
A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5
B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）
D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.
【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5.
故选：A.
【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置
11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 .
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值. 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，
此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 2.
【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积. 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，
由正弦定理得：，
∴，
解得sinB=1，
∴B=90°，C=30°，
∴△ABC的面积=.
故答案为：.
【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题.
13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元）
【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.
【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，
则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，
故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，
∵a+b≥2=4，
故当a=b=2时，y取最小值160，
即该容器的最低总造价是160元，
故答案为：160
【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.
14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.
【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.
【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，
∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，
∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，
∴落到阴影部分的概率为.
故答案为：.
【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.
15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 .
【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论.
【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；
a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；
a=4时，b=1，c=3，d=2；
∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个.
【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.
三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.
【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；
（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可.
【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣
=×（+）﹣
=；
（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣
=sinxcosx+cos2x﹣
=sin2x+﹣
=（sin2x+cos2x）
=sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期为T==π；
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z.
【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目.
17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.
【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M.
∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=.
设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，
令y=﹣1，则x=1，z=1.
∴=（1，﹣1，1）.
设直线AD与平面MBC所成角为θ.
则sinθ=|cos|===.
【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题.
18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；
（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.
【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，
①依题意，得P（X=60）=，
即顾客所获得奖励额为60元的概率为，
②依题意得X得所有可能取值为20，60，。