北京市2014届高三数学一轮复习 试题选编28导数 理

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数
一、选择题
1 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数ln ,0,
()1,0,
x x f x x x >⎧=⎨
--≤⎩D 是由x 轴
和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为 A. 4 B. 3 C. D. 1- 【答案】B
2 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线e ()1
x
f x x =-在0x =处的切线方
程为( )
A.10x y --=
B.10x y ++=
C.210x y --=
D.210x y ++= 【答案】D
3 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数()f x 是定义域为R 的可导函数,且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立.若当1x ≠时,不等式(1)()0x f x '-⋅<成立,设
(0.5)a f =,4
()3
b f =,(3)
c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A.b a c >>
B.c b a >>
C.a b c >>
D.b c a >> 【答案】A
4 ．（2013北京东城高三二模数学理科）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当(,0)x ∈-∞时
,
()()0
f x xf x '+<(其中
()
f x '是()f x 的导函数),若
0.30.3(3)(3)a f =⋅,(log 3)(log 3)b f ππ=⋅,3311(log )(log )9
9
c f =⋅,则a ,b ,c 的大小关系是
( ) A.a b c >> B.c b a >> C.c a b >> D.a c b >> 【答案】 C
5 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数()sin f x x x =,则π()11f ,(1)f -,π
3
f -（）的大小关系为
A.ππ()(1)()311f f f ->->
B.ππ
(1)()()311f f f ->->
C.ππ()(1)()113f f f >->-
D.ππ
()()(1)311
f f f ->>-
【答案】 A 二、填空题
6 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)
1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为
_____________
【答案】),15[+∞【解析】
(1)(1)(1)(1)
(1)(1)
f p f q f p f q p q p q +-++-+=
-+-+,表示点(1,(1))p f p ++与点(1,(1))q f q ++连线的斜率,因为0,1p q <<,所以112p <+<,112q <+<,即函数图象在区间(1,2)
内任意两点连线的斜率大于1,即'()1f x >在(1,2)内恒成立.由定义域可知1x >-,所以
'()211a f x x x =
->+,即121
a
x x >++,所以12)(1)a x x >++（成立.设12)(1)y x x =++（,则22372312()48y x x x =++=++,当12x ≤≤时,函数237
2()48y x =++的最大值为15,所以15a ≥,即a
的取值范围为),15[+∞.
7 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）若曲线2
1
232-+=
x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,则切点坐标为_____________,切线方程为_____________.
【答案】(1,2),42y x =-【解析】函数的导数为'31y x =+,已知直线43y x =+的斜率4k =,由
314x +=,解得切点的横坐标1x =,所以2y =,即切点坐标为(1,2),切线方程为24(1)y x -=-,即42y x =-.
8 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）设定义在R 上的函数()x f 是最小正周期为π2的偶函数,()x f '是()x f 的导函数.当[]π,0∈x 时,()10<<x f ;当()π,0∈x 且2
π
≠x 时,()02<'⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
x f x π.
则函数()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为___________. 【答案】 6
9 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知函数3
2
()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围是_______________
【答案】6m >或3m <-【解析】函数的导数为2
'()32(6)f x x mx m =+++,要使函数()f x 既存在极大
值又存在极小值,则'()0f x =有两个不同的根,所以判别式0∆>,即2
412(6)0m m ∆=-+>,所以
23180m m -->,解得6m >或3m <-.
10．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）曲线1
()f x x x =+在12
x =处的切线方程是______,在x=x 0处的切线与直线y x =和y 轴围成三角形的面积为________. 【答案】 3x+y-4=0, 2;
11．（2009高考(北京理)）设()f x 是偶函数,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1,则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.
【答案】1-
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查.
取()2f x x =,如图,采用数形结合法,
易得该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为1-. 故应填1-. 三、解答题 12．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综
x
x x f 2
1
31)(3+-=合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 设
（1）若)(x f 在),3
2
(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为3
16
-，求)(x f 在该区 间上的最大值.
【答案】解答 （1）a x a x x x f 24
1
)2
1(2)(2
2
'
++
--=++-= ……………………………2分 )(x f 在),(+∞32
上存在单调递增区间
∴存在),3
2
(+∞的子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f
)('x f 在),(+∞32
上单调递减
032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得9
1->a
∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞3
2
上存在单调递增区间 ………………………………6分
（2）令0=)('
x f 20<<a
∴2
8111a
x +-=
；28112a x ++=
∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增
20<<a 4121<<<∴x x
∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减 …………………………………8分
所以)(x f 的最大值为)(2x f
0622714<+-
=-a f f )()( ，3
1634084-=-=∴a f )( ………………………10分 解得212==x a , 3
10
)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为 ……………………13分
13．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数
()()()12,03
123
-+=>-=
b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()
c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; (II)当b a 21-=时,若函数()()x g x f +在区间()0,2-内恰有两个零点,求a 的取值范围; (III)当121=-=b a 时,求函数()()x g x f +在区间[]3,+t t 上的最大值.
【答案】解:(I)()()bx x g a x x f 2,2
='-='.
因为曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,所以()()11g f =,且
()()11g f '=',
即
123
1
-+=-b b a ,且b a 21=-, 解得3
1
,31==b a
(II)记()()()x g x f x h +=,当b a 21-=时,
()a ax x a x x h ---+=
232
131, ()()()()a x x a x a x x h -+=--+='112,
令()0='x h ,得0,121>=-=a x x . 当x 变化时,()()x h x h ,'的变化情况如下表:
所以函数()x h 的单调递增区间为()()+∞-∞-,,1,a ;单调递减区间为()a ,1-,
故()x h 在区间()1,2--内单调递增,在区间()0,1-内单调递减, 从而函数()x h 在区间()0,2-内恰有两个零点,当且仅当
()()()⎪⎩
⎪
⎨
⎧<>-<-0
0,01,
02h h h 解得310<<a , 所以a 的取值范围是⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,
0 (III)记()()()x g x f x h +=,当121=-=b a 时,
()13
13
--=
x x x h . 由(II)可知,函数()x h 的单调递增区间为()()+∞-∞-,1,1,;单调递减区间为()1,1-.
①当13-<+t 时,即4-<t 时,()x h 在区间[]3,+t t 上单调递增,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为
()()()5833
113331
3233+++=-+-+=
+t t t t t t h ; ②当1-<t 且131<+≤-t ,即24-<≤-t 时,()x h 在区间[)1,-t 上单调递增,在区间[]3,1+-t 上单调递减,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()3
1
1-
=-h ; 当1-<t 且13≥+t ,即12-<≤-t 时,t+3<2且h(2)=h(-1),所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为
()3
11-
=-h ;
③当11<≤-t 时,123>≥+t ,
()x h 在区间[)1,t 上单调递减,在区间[]3,1+t 上单调递增,而最大值为()t h 与()3+t h 中的较大者.
由()()()()2133++=-+t t t h t h 知,当11<≤-t 时,()()t h t h ≥+3, 所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()5833
1323
+++=
+t t t t h ; ④当1≥t 时,()x h 在区间[]3,+t t 上单调递增,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为
()5833
1323
+++=
+t t t t h 14．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知:函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--
=,其中R a ∈.
(Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值;
(Ⅱ)求)(x f 的单调区间;
(Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)解:(1)(),(1,)1
x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意,令(2)0f '=,解得 1
3a =.
经检验,1
3
a =
时,符合题意 (Ⅱ)解:① 当0=a 时,()1
x
f x x '=
+. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(- ② 当0a >时,令()0f x '=,得10x =,或21
1x a
=-. 当10<<a 时,()f x 与()f x '的情况如下:
所以,()f x 的单调增区间是(0,
1)a -;单调减区间是)0,1(-和(1,)a
-+∞. 当1=a 时,)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时,210x -<<,()f x 与()f x '的情况如下:
所以,()f x 的单调增区间是(1,0)a -;单调减区间是(1,
1)a
--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时,)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(-. 综上,当0a ≤时,)(x f 的增区间是(0,)+∞,减区间是)0,1(-; 当10<<a 时,()f x 的增区间是1(0,
1)a -,减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞; 当1=a 时,)(x f 的减区间是),1(+∞-;
当1a >时,()f x 的增区间是1(1,0)a -;减区间是1
(1,1)a
--和(0,)+∞.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 0a ≤时,)(x f 在(0,)+∞上单调递增,由0)0(=f ,知不合题意.
当10<<a 时,)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a
-, 由1(1)(0)0f f a
->=,知不合题意. 当1≥a 时,)(x f 在(0,)+∞单调递减,
可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ,符合题意. 所以,)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时,a 的取值范围是[1,)+∞
15．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数2
()=
(1)x a
f x x ，(1,)x
．
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】解：（I ）4
(1)(21)
()(1)x x a f x x --+-'=
-，(1,)x ∈+∞.
由()0f x '=，得11x =，或221x a =-.
①当211a -≤，即1a ≤时，在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减；
②当211a ->，即1a >时，在(1,21)a -上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(21,)a -+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减。

综上所述：1a ≤时，()f x 的减区间为(1,)+∞； 1a >时，()f x 的增区间为(1,21)a -，()f x 的减区间为(21,)a -+∞。

（II ）（1）当1a ≤时，由（I ）()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； （2）当1a >时， 若212a -≤，即3
2
a ≤时，()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； 若212a ->，即3
2
a >
时，()f x 在[2,21)a -上单调递增，在(21,)a -+∞上单调递减，
因为2
1
(21)0(22)
a f a a --=
>-，且当21x a >-时，10x a a ->->，所以21x a ≥-时，()0f x >。

又因为(2)2f a =-，所以当20a -≤，即2a ≥时，()f x 有最小值2a -；20a ->，即3
22
a <<时， ()f x 没
有最小值。

综上所述：当2a ≥时，()f x 有最小值2a -；当2a <时，()f x 没有最小值。

16．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知函数2
()()x
a
f x x x a e =+-(0a >).
(Ⅰ)当1=a 时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当5x =-时,()f x 取得极值.
① 若5m ≥-,求函数()f x 在[],1m m +上的最小值;
② 求证:对任意12,[2,1]x x ∈-,都有12|()()|2f x f x -≤.
【答案】(Ⅰ)211'()()(21)(12)x x x
a a a
f x x x a e x e x x a e a a
=+-++=++
当1=a 时,'()(3)x f x x x e =+
解()0f x '>得0x >或3x <-, 解()0f x '<得30x -<< 所以()f x 单调增区间为(,3)-∞-和(0,)+∞,单调减区间为(3,0)-
(Ⅱ)①当5x =-时,()f x 取得极值, 所以1
'(5)(5)(512)0x
a f a e a
-=--++=
解得2a =(经检验2a =符合题意)
()1
'()52
x f x x x e =
+
所以函数()f x 在()
,5-∞-,
()0+∞递增,在()5,0-递减
当51m -≤≤-时,()f x 在[],1m m +单调递减,
12
min ()(1)(3)m f x f m m m e
+=+=+
当10m -<<时 01m m <<+
()f x 在[],0m 单调递减,在[]0,1m +单调递增,min ()(0)2f x f ==-
当0m ≥时,()f x 在[],1m m +单调递增,2
min ()()(2)(1)m
f x f m m m e ==+-
综上,()f x 在[],1m m +上的最小值
1
2
min 2(3),
51,()2,10,(2)(1),
0.m m
m m e m f x m m m e m +⎧+-≤≤-⎪⎪
=--<<⎨⎪⎪+-≥⎩
②令'()0f x = 得0,
5x x ==-(舍)
因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,
()2f x f x ==-
所以,对任意12,[2,1]x x ∈-,都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-=
17．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））设函数321
()()3
f x ax bx cx a b c =++<<,其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -. (Ⅰ)求证:01b
a
<≤
; (Ⅱ)若函数()f x 的递增区间为[,]s t ,求||s t -的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)证明:2()2f x ax bx c '=++,由题意及导数的几何意义得
(1)20f a b c '=++=, (1)
2()2f m am bm c a '=++=-, (2)
又a b c <<,可得424a a b c c <++<,即404a c <<,故0,0,a c <> 由(1)得2c a b =--,代入a b c <<,再由0a <,得
113b
a
-<<, (3) 将2c a b =--代入(2)得2220am bm b +-=,即方程2220ax bx b +-=有实根.
故其判别式2480b ab ∆=+≥得 2b a -≤,或b
a
≥0, (4)
由(3),(4)得01b
a
<≤;
(Ⅱ)由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->, 知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根,设为12,x x ,
又由(1)20f a b c '=++=知,11x =为方程(*)的一个实根,则由根与系数的关系得
122122,10b b
x x x x a a
+=-
=--<<, 当2x x <或1x x >时,()0f x '<,当21x x x <<时,()0f x '>, 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ,由题设知21[,][,]x x s t =, 因此122||||2b s t x x a -=-=+
,由(Ⅰ)知01b
a
<≤得 ||s t -的取值范围为[2,4).
18．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数ax x x a x f ++-=2
22
1ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；
（Ⅱ）当0<a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 的最小值. 【答案】解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，
………1分
(Ⅰ)x
a x a x x a ax x x f )
)(2(2)(22-+=
-+='， ………4分 （1）当0=a 时，0)(>='x x f ，所以)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增； …5分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=（舍去），a x =2， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下： 此时，)(x f 在区间),0(a 单调递减， 在区间),(+∞a 上单调递增；
………7分
（3）当0<a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=，a x =2（舍去）， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下： 此时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减， 在区间),2(+∞-a 上单调递增.
………9分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知当0<a 时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减，在区间),2(+∞-a 上单调递增.
………10分
（1）当e a ≥-2，即2
e
a -≤时，)(x f 在区间],1[e 单调递减， 所以，22min
2
1
2)()]([e ea a e f x f ++-==； ………11分
（2）当e a <-<21，即2
1
2-<<-
a e 时，)(x f 在区间)2,1(a -单调递减， 在区间),2(e a -单调递增，所以)2ln(2)2()]([2
min a a a f x f --=-=，………12分 （3）当12≤-a ，即02
1
<≤-a 时，)(x f 在区间],1[e 单调递增， 所以2
1
)1()]([min
+==a f x f . ………13分
19．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数()e (1)ax a f x a x
=⋅++,其中1a ≥-. (Ⅰ)求()f x 的单调递减区间;
(Ⅱ)若存在10x >,20x <,使得12()()f x f x <,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)解:2
(1)[(1)1]
()e ax
x a x f x a x
++-'= ① 当1a =-时,令()0f x '=,解得 1x =-
()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-;单调递增区间为(1,0)-,(0,)+∞ 当1a ≠-时,令()0f x '=,解得 1x =-,或11
x a =
+ ② 当10a -<<时,()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-,1
(,)1
a +∞+ 单调递增区间为(1,0)-,1
(0,
)1
a + ③ 当0a =时,()f x 为常值函数,不存在单调区间 ④ 当0a >时,()f x 的单调递减区间为(1,0)-,1
(0,)1
a + 单调递增区间为(,1)-∞-,1
(,)1
a +∞+
(Ⅱ)解:① 当0a >时,若(0,)x ∈+∞,21min
1()()e (1)11
a
a f x f a a +==+>+
若(,0)x ∈-∞,max ()(1)e 1a f x f -=-=<,不合题意 ② 当0a =时,显然不合题意
③ 当10a -<<时,取12
a
x =-,则2
21()e (1)0a f x a -=-<
取21x =-,则2()e 0a f x -=>,符合题意 ④ 当1a =-时,取11x =,则11()e 0f x -=-< 取21x =-,则2()e 0a f x -=>,符合题意 综上,a 的取值范围是[1,0)-.
20．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知函数2()(0)x
ax bx c
f x a e
++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为3
e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x x x x
ax b e ax bx c e ax a b x b c
f x e e
+-++-+-+-'==．.......2分 令2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，
因为0x
e >，所以'()y
f x =的零点就是2()(2)
g x ax a b x b c =-+-+-的零点，且()f x '与()g x 符号相同.
又因为0a >，所以30x -<<时，g(x)>0,即()0f x '>， ………………………4分 当3,0x x <->时,g(x)<0 ,即()0f x '<， …………………………………………6分 所以()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =-3是()f x 的极小值点，所以有
3
393,0,
93(2)0,a b c e e
b c a a b b c --+⎧=-⎪⎪
-=⎨⎪---+-=⎪⎩
解得1,5,5a b c ===， …………………………………………………………11分
所以255
()x
x x f x e
++=. ()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）
， ∴(0)5f =为函数()f x 的极大值, …………………………………………………12分 ∴()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值取(5)f -和(0)f 中的最大者. …………….13分
而555(5)5f e e
--=
=>5，所以函数f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值是5
5e ．.…14分
21．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数
32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.
（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为4
π
，求()f x 在[]1,1-上的最小值； （Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．
【答案】解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分
根据题意，(1)tan
1,321, 2.4
f a a π
'==∴-+==即 …………………3分 此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===
，得
…………………………………………………………………………………………. 6分
∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （II ）).3
2(3)(a x x x f --=' ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时
000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分
②若220,0,()0;,()0.33a a
a x f x x f x ''><<>><则当时当时
从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23
a
，+)∞上单调递减.
.427
4494278)32()(,),0(3
33max
-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当 根据题
意，3
3440,27. 3.27
a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分 综上，a 的取值范围是(3,)+∞.
22．（2013届北京丰台区一模理科）已知函数1
()f x x a
=
+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；
(Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()
()()
g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。

【答案】解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x ≠-a}，……………………………………1分
则2
1
()()()23()h x f x g x bx x a '''=-=-
--+， ……………………………3分
h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，
∴(1)0,(1)0.h h =⎧⎨'=⎩即2
1
30,11230.(1)
b a b a ⎧--=⎪+⎪⎨⎪---=+⎪⎩,解得0,2,a b =⎧⎨=-⎩或4,
36.a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩……………………6分
(Ⅱ)记ϕ(x)=
()()
g x f x ，则ϕ(x)=(x+a)(bx 2
+3x)(x ≠-a), ab=8，所以8b a =
，∴2
8()()(3)x x a x x a ϕ=++(x ≠-a), ∴2211
()(24223)(43)(6)x x ax a x a x a a a
ϕ'=++=++,
令()0x ϕ'=，得34x a =-，或1
6
x a =-, …………………………………………………8分
因为[)3,a ∈+∞，∴所以31
46
a a -<-，
∴故当34x a <-，或16x a >-时，()0x ϕ'>，当31
46
a x a -<<-时，()0x ϕ'<，
∴函数ϕ(x)的单调递增区间为31
(,),(,),(,)46
a a a a -∞----+∞，
单调递减区间为31
(,)46a a --, ……………………………………………………………………10分
[3,)a ∈+∞,∴3944a -≤-,162
a -≤-， ① 当26
a
-≤-，即12a ≥时, ϕ(x)在[-2,-1]单调递增,
∴ϕ(x)在该区间的最小值为64
(2)446a a
ϕ-=-+-， ………………………………………11分
② 当216a
-<-<-时,即612a <<
,
ϕ(x)在[-2,6a -)单调递减, 在(,1]6
a
--单调递增， ∴ϕ(x)在该区间的最小值为()6a ϕ-=2
25108
a -
，………………………………………………12分
③当16
a
-
≥-时,即36a ≤≤时, ϕ(x)在[-2,-1]单调递减, ∴ϕ(x)在该区间的最小值为8
(1)113a
a
ϕ-=-+-，………13分
综上所述，当36a ≤≤时，最小值为8113a a -+-；当612a <<时，最小值为2
25108
a -
；当12a ≥时，最小值为64
446a a
-+-. （不综述者不扣分） 23．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）已知函数
32211
()(21)()32
f x x a x a a x =
-+++. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极大值,求实数a 的值;
(Ⅱ)若m ∀∈R ,直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线,求k 的取值范围; (Ⅲ)若1a >-,求()f x 在区间[0,1]上的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因为 22()(21)()f x x a x a a '=-+++ ()[(1)]x a x a =--+
令()0f x '=,得1(1)x a =+,2
x a =
所以()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表:
所以1a =
(II)因为2211
()()24
a f x x +'=--
因为m ∀∈R ,直线y kx m =+都不是曲线)(x f y =的切线
所以
2211()()24a f x x k +'=-
-≠对R x ∈成立
只要()f x '
的最小值大于k
所以
14k <-
(III) 因为1,a >-所以10,a +>
当1a ≥时,()0f x '
≥对[0,1]x ∈成立
所以当1x =时,()f x 取得最大值
21(1)6f a =-
当01a <<时, 在(0,)x a ∈时,()0f x '
>,()f x 单调递增 在(,1)x a ∈时,()0f x '
<,()f x 单调递减
所以当x a =时,()f x 取得最大值
32
11()32f a a a =+ 当0a =时, 在(0,1)x ∈时,()0f x '
<,()f x 单调递减
所以当0x =时,()f x 取得最大值(0)0f =
当10a -<<时,在(0,1)x a ∈+时,()0f x '
<,()f x 单调递减 在(1,1)x a ∈+时,()0f x '
>,()f x 单调递增
又
21
(0)0,(1)6f f a ==-
,
当1a -<<时,()f x 在1x =取得最大值21
(1)6f a =-
当
0a <<时,()f x 在0x =取得最大值(0)0f =
当
a =时,()f x 在0x =,1x =处都取得最大值0
综上所述,
当1a ≥或
1a -<<时,()f x 取得最大值21
(1)6f a =-
当01a <<时,()f x 取得最大值32
11
()32f a a a =+
当a =时,()f x 在0x =,1x =处都取得最大值0
当
0a ≤时,()f x 在0x =取得最大值(0)0f =.
24．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分) 已知函数2
1()ln (0).2
f x x a x a =
->
(Ⅰ)若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 在区间[1,e]上的最小值;
(III)若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】解:(I)2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =
-=-1'(1)1,(1),2
f f =-= ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=
(Ⅱ)由2'().a x a f x x x x
-=-=
由0a >及定义域为(0,)+∞,
令'()0,f x x =得
1,01,a ≤<≤即在(1,e)上,'()0f x >,)(x f 在[1,e]上单调递增, 因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1
(1)2
f =
.
②若21e,1e ,a <<<<即
在（上,'()0f x <,)(x f 单调递减;
在上,'()0f x >,)(x f 单调递增,因此()f x 在区间[1,e]
上的最小值为1
(1ln ).2
f a a =
-
2e,e ,a ≥即在(1,e)上,'()0f x <,)(x f 在[1,e]上单调递减, 因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为2
1(e)e 2
f a =-. 综上,当01a <≤时,min 1()2
f x =
;当2
1e a <<时,min 1()(1ln )2f x a a =-;
当2
e a ≥时,2
min 1()e 2
f x a =
- (III) 由(II)可知当01a <≤或2
e a ≥时,)(x
f 在(1,e)上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点. 当2
1e a <<时,要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点,则
∴2
1
(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪
⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩
即2
e
1e 2
a a >⎧⎪⎨<⎪⎩,此时,21e e 2a <<. 所以,a 的取值范围为2
1(e,
e ).2
25．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）已知函数f(x)=ax-1-1n x,a ∈R. (I)讨论函数f(x)的单调区间:
(II)若函数f(x)在x=l 处取得极值,对∀x ∈(0,+∞),f(x)≥bx -2恒成立,求实数b 的取值范围.
【答案】
26．（2013北京东城高三二模数学理科）已知函数()ln a
f x x x
=+
(0)a >. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;
(Ⅱ)如果00(,)P x y 是曲线()y f x =上的任意一点,若以 00(,)P x y 为切点的切线的斜率1
2
k ≤恒成立,求实数a 的最小值;
(Ⅲ)讨论关于x 的方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-的实根情况. 【答案】(共14分)解:(Ⅰ) ()ln a
f x x x
=+,定义域为(0,)+∞, 则|
221()a x a
f x x x x
-=
-=. 因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈, 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a .
(Ⅱ)由题意,以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足002
01
()2
x a k f x x -'==≤ 0(0)x >, 所以20012a x x ≥-
+对00x >恒成立. 又当00x >时, 20011
22
x x -+≤, 所以a 的最小值为1
2
.
(Ⅲ)由题意,方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-化简得 21ln 2
b x x =-
+1
2 (0,)x ∈+∞
令211()ln 22h x x x b =--+,则1(1)(1)
()x x h x x x x +-'=-=.
当(0,1)x ∈时, ()0h x '>,当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 所以()h x 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减. 所以()h x 在1x =处取得极大值即最大值,最大值为211
(1)ln1122
h b b =-
⨯-+=-. 所以 当0b ->, 即0b <时,()y h x = 的图象与x 轴恰有两个交点,
方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-有两个实根, 当0b =时, ()y h x = 的图象与x 轴恰有一个交点,
方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-有一个实根, 当0b >时, ()y h x = 的图象与x 轴无交点,
方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-无实根 27．（2013北京西城高三二模数学理科）已知函数3
22()2(2)13
f x x x a x =
-+-+,其中a ∈R . (Ⅰ)若2a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ)解:()f x 的定义域为R , 且 2
()242f x x x a '=-+-
当2a =时,1
(1)3
f =-
,(1)2f '=-,
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 1
2(1)3
y x +=--, 即 6350x y +-=
(Ⅱ)解:方程()0f x '=的判别式为8a =∆.
(ⅰ)当0a ≤时,()0f x '≥,所以()f x 在区间(2,3)上单调递增,所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7
(2)23
f a =
-;最大值是(3)73f a =-
(ⅱ)当0a >时,令()0f x '=,得 112x =-
,或212
x =+. ()f x 和()f x '的情况如下:
故()f x 的单调增区间为(,1)2-∞-,(1)2++∞;单调减区间为(122
-+.
① 当02a <≤时,22x ≤,此时()f x 在区间(2,3)上单调递增,所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7
(2)23
f a =
-;最大值是(3)73f a =- ② 当28a <<时,1223x x <<<,此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减,在区间2(,3)x 上单调递增,
所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33
f x a =--
因为 14
(3)(2)3
f f a -=-, 所以 当1423a <≤
时,()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-;当
14
83
a <<时,()f x 在区间[2,3]上的最大值是7
(2)23
f a =-
③ 当8a ≥时,1223x x <<≤,此时()f x 在区间(2,3)上单调递减, 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-;最大值是7
(2)23
f a =- 综上,
当2a ≤时,()f x 在区间[2,3]上的最小值是
7
23
a -,最大值是73a -;
当1423a <≤
时,()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -最大值是73a -;
当
1483a <<时,()f x 在区间[2,3]上的最小值是533
a --,最大值是723a -; 当8a ≥时,()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -,最大值是7
23
a -.
28．（2013届北京海滨一模理科）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值.
(I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；
(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.
【答案】解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1
()2f x ax b x
'=++………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值
(1)120f a b '=++=………………3分 当1a =时，3b =-，2231
()x x f x x
-+'=，
'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：
………………5分
所以()f x 的单调递增区间为1
(0,)2
,1+∞（，）
单调递减区间为1(,1)2
………………6分
(II)因为222(1)1(21)(1)
()ax a x ax x f x x x
-++--'==
令()0f x '=,121
1,2x x a
==
………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以211
12x x a
=≠= 当
1
02a
<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，21
02x a
=
> 当
112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1
(,1)2a
上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在1
2x a
=
或e x =处取得 而2111111(
)ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a
=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1
e 2
a =
-………………11分 当11e 2a ≤
<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1
(,e)2a
上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =
-，与21
1e 2x a
<=
<矛盾………………12分 当21
e 2x a
=
≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾
综上所述，
1
2a e =
-或2a =-. ………………13分
29．（2011年高考（北京理））已知函数2
()()x k
f x x k e =-
(Ⅰ)求()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若对任意的(0,)x ∈+∞,都有1
()f x e
≤
,求k 的取值范围. 【答案】【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性问题以及利用函数的单调性与最值解答不等式恒成立问题.学会分类讨论,综合解答函数、不等式问题.
【解析】(Ⅰ)221'()()x
k
f x x k e k
=-,令'()0f x =,得x k =±
当0k >时,()f x 与'()f x 的情况如下:
当0k <时,()f x 与'()f x 的情况如下:
(Ⅱ)当0k >时,因为1
1(1)k k
f k e
e ++=>
,所以不会有(0,)x ∀∈+∞,1()f x e
≤. 当0k <时,由(Ⅰ)知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k
f k e
-=
所以(0,)x ∀∈+∞,1()f x e ≤等价于241()k f k e e -=≤,解得1
02
k -≤< 所以当(0,)x ∀∈+∞,1()f x e ≤时,k 的取值范围1
[,0)2
-
30．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）(本小题满分13分)已知函数
1
)(2
+-=
x ax
b x f . （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求,a b 的值； （Ⅱ）当2
21b a =-时，讨论函数()f x 的单调性.
【答案】（Ⅰ）222(1)2()
'()()(1)a x x b ax f x x R x -+--=
∈+ ………………1分
222
2(1)ax bx a
x --=+
依题意有，222'(1)0
(11)a b a
f --==
=+ 2(1)211b a f -==+ ………………3分
解得0b =，4a =- ………………5分
经检验， 4,0a b =-=符合题意， 所以，4,0a b =-=
(Ⅱ) 当2
21b a =-时，222222
(1)(1)('()(1)(1)
ax a x a ax x a f x x x ---+-==++）
当0a =时，22
'()(1)x
f x x =
+
解'()0f x =， 得0x = 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >
所以减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞. ………………7分
当0a ≠时，解'()0f x =， 得121
,x x a a
=-
=， ………………9分 当0a >时，1
a a -
< 当1(,)x a
∈-∞-或(,)x a ∈+∞时，'()0f x >；当1
(,)x a a
∈-
时，'()0f x < 所以增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1
(,)a a
-
. ………………11分 当0a <时，1
a a
-
> 当(,)x a ∈-∞或1(,)x a ∈-
+∞时，'()0f x <；当1
(,)x a a
∈-时，'()0f x > 所以增区间为1(,)a a
-，减区间为(,)a -∞,1
(,)a
-
+∞. ………………13分 综上所述：当0a =时, ()f x 减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)-∞；
当0a >时, ()f x 增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1
(,)a a
-
； 当0a <时, 增区间为1
(,)a a -，减区间为(,)a -∞，1
(,)a
-+∞. 31．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知函数()mx f x x =++2
11
(m ≠0),2()e ()ax
g x x a =∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)当m >0时,若对任意12,[0,2]x x ∈,12()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围. 【答案】(本小题满分1 )
解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为R ,()()()
()()()
m x m x x f x x x --+'==++22222
11111 ①当m >0时,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:
所以,函数()f x 的单调递增区间是(,)-11,单调递减区间是(,)-∞-1,(,)+∞1 ②当m <0时,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:
所以,函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞-1,(,)+∞1,单调递减区间是(,)-11.
(Ⅱ)依题意,“当m >0时,对于任意12,[0,2]x x ∈,12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “当m >0 时,对于任意[0,2]x ∈, min max ()()f x g x ≥成立”.
当m >0时,由(Ⅰ)知,函数()f x 在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减, 因为(0)1f =,2(2)115
m
f =
+>,所以函数()f x 的最小值为(0)1f =. 所以应满足max ()1g x ≤
因为2()e ax
g x x =,所以2
()(+2)e ax
g x ax x '=
①当0a =时,函数2
()g x x =,[0,2]x ∀∈,max ()(2)4g x g ==,
显然不满足max ()1g x ≤,故0a =不成立 ②当0a ≠时,令()0g x '=得,10x =,22
x a
=-. (ⅰ)当2
2a
-
≥,即10a -≤<时,在[0,2]上()0g x '≥,所以函数()g x 在[0,2]上单调递增, 所以函数2max ()(2)4e a g x g ==.
由24e
1a
≤得,ln 2a ≤-,所以1ln 2a -≤≤-
(ⅱ)当2
02a <-
<,即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥,在2
(,2]a
-上()0g x '<,
所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增,在2
(,2]a -上单调递减,
所以max 2224
()()e
g x g a a =-=.
由2241e a ≤得,2
e
a ≤-,所以1a <- (ⅲ)当2
0a
-<,即0a >时,显然在[0,2]上()0g x '≥,
函数()g x 在[0,2]上单调递增,且2max ()(2)4e a g x g ==. 显然2max ()4e 1a g x =≤不成立,故0a >不成立 综上所述,a 的取值范围是(,ln 2]-∞-
32．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数2
1()6ln(2)2
f x ax x =-++在2x =处有极值.
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若直线y kx =与函数'()f x 有交点,求实数k 的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)因为2
1()6ln(2)2
f x ax x =-++, 所以'()62
a
f x x ax =-⋅
++ 由'(2)0f =,可得 2a =
经检验2a =时,函数()f x 在2x =处取得极值,
21
()6ln(22)2
f x x x =-++,
2'
66(3)(2)()111
x x x x f x x x x x -+-+-=+==
+++ 而函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,
当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:
由表可知,()f x 的单调减区间为(1,2)-,()f x 的单调增区间为(2,)+∞
(Ⅱ)若'()f x kx =,则有226x x kx kx +-=+,其中1x >-, 所以2(1)(1)60k x k x -+-+=有大于1-的根, 显然1k ≠,设2()(1)(1)6g x k x k x =-+-+ 则其对称轴为1
2
x =-
,根据二次函数的性质知道, 只要2(1)24(1)0k k ∆=---≥ 解得25k ≥或1k < .
33．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知函数1
ln )(++=
x x
b a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为
2=+y x .
(I)求a ,b 的值;
(II)对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ,x
m
x f <
)(恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)由2
(1)(ln )
ln ()()1(1)
b
x a b x a b x x f x f x x x +-++=⇒'=++ 而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ,又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=-
故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=12
14
212b a a b a
6'
(Ⅱ)由(Ⅰ)得)0(1
ln 2)(>+-=x x x
x f
由x m x f <)(及m x x
x x x <+-⇒>1
ln 20
令2
2/)
1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=
x x
x x x x x x x x g x x x x x g 令1
()1ln ()10(0)h x x x h x x x
=--⇒'=--
<>,故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数,故当10<<x 时,0)1()(=>h x h ,当1>x 时,0)1()(=<h x h 从而当10<<x 时,()0g x '>,当1>x 时,0)(/
<x g
)(x g ⇒在)1,0(是增函数,在),1(+∞是减函数,故1)1()(max ==g x g
要使
m x x
x x <+-1
ln 2成立,只需1>m
故m 的取值范围是),1(+∞ . 14' 34．（2012北京理）18.已知函数()2
()10f x ax a =+>,3()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线,求a ,b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(]
,1-∞-上的最大值. 【答案】解:()由()1c ，为公共切点可得: 2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =,
3()g x x bx =+,则2()=3f x x b '+,23k b =+,
∴23a b =+①
又(1)1f a =+,(1)1g b =+,
∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:3
3a b =⎧⎨
=⎩
. (2)
24a b =,∴设3221
()()()14
h x f x g x x ax a x =+=+++
则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26
a
x =-;
0a >,∴
26
a a -
<-, ∴原函数在2a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
，单调递增,在26a
a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
，单调递减,在6
a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
，上单调递增
①若12a
--≤,即2a ≤时,最大值为2(1)4
a h a =-;
②若126a a -
<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
. 综上所述:
当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4
a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.
35．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数x a ax x x f ln )1(2
1)(2
-+-= (Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数)(x f 的单调区间
【答案】解：（1）当2=a 时，x x x x f ln 22
1)(2
+-= x
x x f 1
2)('+
-=∴ 2
3
221)1(-=-=∴f ，0)1('=∴f
切线方程为2
3
-=y …… 4分
(2) 定义域）
，（∞+0 x
a x x x a ax x x a a x x f )
1)(1()1(1)('2-+-=
-+-=-+-= 令0)('=x f ，解得11=x ，12-=a x
①当时2=a ，0)('≥x f 恒成立，则），（∞+0是函数的单调递增区间
②当2>a 时，11>-a ，
在区间（0,1）和（+∞-,1a ）上，()0f x '>；在（1,1-a ）区间上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是（0,1）和（+∞-,1a ），单调递减区间是（1,1-a ）
③当21<<a 时，在区间（0, 1-a ）和（+∞,1）上，()0f x '>；在（1,1-a ）区间上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是（0, 1-a ）和（+∞,1），单调递减区间是（1,1-a ）
④当1≤a 时，01≤-a ，在区间（0,1）上()0f x '<，在区间（+∞,1）上，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间是（+∞,1），单调递减区间是（0,1）。

…… 13分
36．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知函数 ()2
1()2ln (21)2
f x x ax a x a R =+-+∈. (Ⅰ)当1
2
a =-
时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若a >0,讨论()f x 的单调性.
【答案】解:(Ⅰ)()f x 的定义域为{|0}x x >, 当2
1
-=a 时,,2)2)(2()(x x x x f -+-='
令()0,f x '=在[1,e]上得极值点,2=x
,4
2)(,41)1(2
e e
f f -=-= ),()1(e f f <max min 1()(2)2ln 21,()(1)4f x f f x f ∴==-==-。