陕西省西安市第六十六中学高三数学总复习 7.3 点、直线和圆锥曲线教学案 新人教版必修1

§7.3 点、直线和圆锥曲线
一、知识导学
1． 点M(x 0，y 0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系
已知12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的焦点为F 1、F 2, 122
22=-b
y a x （a ＞0,b ＞0）
的焦点为F 1、F 2，px y 22
=(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x 0，y 0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线l ∶Ax ＋B y ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 设直线l :Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由⎩⎨
⎧==++0
y)f(x,0
C By Ax
消去y(或消去x)得:ax 2
+bx+c=0,△=b 2
-4ac,（若a ≠0时）， △＞0⇔相交 △＜0⇔相离 △= 0⇔相切
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
二、疑难知识导析
1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率。

焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式： ⎩
⎨
⎧-=+=020
1ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是椭圆
的下上焦点）.
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关. 可以记为：左加右减，上减下加. 2．双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径. 焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式： 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：
⎩⎨
⎧-=+=∴0
201ey a MF ey a MF
（ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）
3．双曲线的焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。

焦点弦公式：
当双曲线焦点在x 轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=。

当双曲线焦点在y 轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=。

4．双曲线的通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦. a
b d 2
2=.
5．直线和抛物线 （1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.
联立⎩⎨⎧=+=px
y b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax
当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）； 当0≠a ，则
若0>∆，两个公共点（交点）；
0=∆，一个公共点（切点）
； 0<∆，无公共点 （相离）. （2）相交弦长： 弦长公式：21k a
d +∆
=
. （3）焦点弦公式：
抛物线)0(22
>=p px y ， )(21x x p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-=. 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=. （4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦. 通径：p d 2=. （5）常用结论：
⎪⎩⎪⎨⎧
=-=px
y p x k y 2)2(2
022
2=--
⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k
2
21p y y -=⇒和4
2
21p x x =.
三、经典例题导讲
[例1]求过点)1,0(的直线，使它与抛物线
x y 22=仅有一个交点. 错解： 设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为
⎩⎨⎧=+=x y kx y 21
2，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得 .01)22(2
2=+-+x k x k
直线与抛物线仅有一个交点，,0=∆∴解得
∴=
.21k 所求直线为.121+=x y
正解： ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22
=相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22
=只有一个交点.③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ,
则⎩
⎨⎧=+=x y kx y 21
2，
∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=∆解得k = 1
2
,∴ 所求直线为.12
1
+=
x y 综上，满足条件的直线为：.12
1
,0,1+=
==x y x y [例2]已知曲线C ：2
202
x y -=
与直线L ：m x y +-=仅有一个公共点，求m 的范围. 错解：曲线C ：2202
x y -=
可化为20422=+y x ①，联立⎩⎨⎧=++-=20
42
2y x m x y ，得： 02048522=-+-m mx x ，由Δ＝0,得5±=m .
错因：方程①与原方程并不等价，应加上[)+∞∈,0y .
正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m 的范围为
52525<<-=m m 或.
注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.
[例3]已知双曲线12
2
2
=-y x ，过P(1,1)能否作一条直线L 与双曲线交于A 、B 两点，且P
为AB 中点. 错解：（1）过点P 且与x 轴垂直的直线显然不符合要求.
（2）设过P 的直线方程为)1(1-=-x k y ，代入12
2
2
=-y x 并整理得： ∴2212)1(2k k k x x --=
+，又∵221=+x x ∴22)1(22
=--k k k 解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的.
正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.
[例4]已知A 、B 是圆12
2
=+y x 与x 轴的两个交点，CD 是垂直于AB 的动弦，直线AC 和DB 相交于点P ，问是否存在两个定点E 、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求
出E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),
设 P ( x, y ), C ( 00,y x ) , 则 D (00,y x -
由A 、C 、P 三点共线得
1100+=+x y x y ① 由D 、B 、P 三点共线得
1
100--=-x y x y ② ①×② 得 1
1202
022
--=-x y x y ③
又 12020=+y x , ∴20201x y -=， 代入③得 12
2=-y x ，
即点P 在双曲线12
2=-y x 上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－2, 0 )、
F (2, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).
[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q ，
且OP ⊥OQ ，｜PQ ｜=
2
10
，求椭圆的方程. 解：设所求椭圆的方程为22
22b
y a x +=1.
依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组：
将②代入①，整理得
0)1(2)(2
2
2
2
2
2
=-+++b a x a x b a ， ③
设方程③的两个根分别为1x 、2x ，则直线y=x+1和椭圆的交点为
P(1x ,1x +1)，Q(2x ,2x +1)
由题设OP ⊥OQ ，｜OP ｜=2
10
，可得 整理得
解这个方程组，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+=23412121x x x x 或 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=21412121x x x x
根据根与系数的关系，由③式得
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+41)1(2322222222b a b a b a a 或 (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+41)1(2
1
22
222222b a b a b a a
解方程组(1)、(2)得
⎪⎩⎪⎨⎧==32222b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧==2
3222b a
故所求椭圆方程为
32222y x + =1 ， 或23
222y x + =1. [例6]已知椭圆C 1：
3
42
2y x +＝1，抛物线C 2：)0(2)(2
>=-p px m y ，且C 1、C 2
的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点。

（1）当AB ⊥x 轴时，求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；（2）若p ＝
3
4
，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x ＝1，
从而点A 的坐标为（1，
23）或（1，－2
3
）， 因为点A 在抛物线上，所以p 24
9
=，p ＝89.
此时，抛物线C 2的焦点坐标为（16
9
，0），该焦点不在直线AB 上.
(2)当抛物线C 2的焦点在直线AB 上时，由（1）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为 )1(-=x k y .
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)1(2
2y x x k y 消去y 得01248)43(2
222=-+-+k x k x k ① 设A 、B 的坐标分别为 （11,y x ）、（22,y x ）.
则1x ，2x 是方程①的两根，1x ＋2x ＝2
2
438k k +.
因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是C 2的焦点的弦，
所以｜AB ｜＝（2－121x ）＋（2－221x ）＝4－)(21
21x x +，且 ｜AB ｜＝（21p x +）＋（2
2p x +）＝p x x ++21＝34
21++x x .
从而3421++x x ＝4－)(2
1
21x x +
所以9
1621=+x x ，即2
2438k k +916
= 解得6±=k .
因为C 2的焦点F 、
（m ,32）在直线)1(-=x k y 上，所以k m 3
1-=，
即36
±=m
当36
=m 时直线AB 的方程为)1(6--=x y ；
当3
6
-=m 时直线AB 的方程为)1(6-=x y .
四、典型习题导练
1．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线l ：y=2x+1截得的弦长为15，则抛物线方程为
2.直线m ：y=kx+1和双曲线x 2－y 2
=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P （－2，0）和线段AB 的中点，则直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为
3．对称的两点，
∶上存在关于直线∶已知椭圆m x y l y x C +==+214
92
2 试求m 的取值范围.
4． 设过原点的直线l 与抛物线y 2
=4(x －1)交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰好过抛物线的焦点F ，
（1）求直线l 的方程； （2）求|AB|的长.
5． 如图，过抛物线y 2
=4x 的顶点O 作任意两条互相垂直的弦OM 、ON ，求(1)MN 与x 轴交点的坐标；(2)求MN 中点的轨迹方程.
9．设曲线C 的方程是y ＝x 3
-x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t,s 单 位长度后得曲线C 1. (1)写出曲线C 1的方程；
(2)证明曲线C 与C 1关于点A(
2
,2s
t )对称； (3)如果曲线C 与C1有且仅有一个公共点，证明s ＝t t -4
3
且t ≠0.。