抽屉原理

抽屉原理 (一)
抽屉原理 多于n 个球任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉，它里面有两个或者两个以上的球。

1. 从等差数列1，4，…,100中任意取出20个数，一定存在两个数，其和为104.
2. 对于不超过126的任意7个整数，总可以找出两个数a 、b ，满足2b a b <≤。

3. 从1，2，…，100中任取55个整数，一定存在两个数，其差为10.
4. 在1，2，3，…，100这100个正整数中任取11个数，证明其中一定有两个数的比值不超过
32
.
5. 如果有5个自然数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，并且123459a a a a a <<<<≤. 证明：所
有的两个数的差数（差数仍是自然数）中，至少有两个相等.
6. 从1,2,3,...,100中任意取出51个数，证明：
1) 有两个数互质；
2) 有2个数的差为50；
3) 有8个数，它们的最大公约数大于1.
7. 把圆周分成12段，将1，2，3，…，11，12这12个数任意写在每一段内，使每一段恰
好有一个数字. 证明：一定存在连续的三段，它们的数字和至少是20.
8. 把1，2，…，10按任意次序排成一个圆圈.
1) 证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于18；
2) 证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于15.
9. 任取17个彼此不同且都不超过52的正整数，求证：它们中一定存在两个数，其差要么
等于4，要么等于5，要么等于9.
10. 非负实数1237,,,...,a a a a 满足1237...1a a a a ++++=，记1215
max k k k k M a a a ++≤≤=++，求M 的最小值。

练习
1. 任意11个数中，一定有两个数，它们的差是10的倍数。

2. 设任意1n +个非负实数121,,...,n x x x +，它们满足条件01(1,2,...,1)i x i n ≤<=+，则这
1n +个数中存在两个数,i j x x 使得1i j x x n
-<。

3. 前10个正整数中，任意取六个数，求证：一定存在两个数，其中一个是另一个的整数
倍。

4. 在前91个自然数中，任取10个数，求证：其中存在两个数，它们相互比值在23与32
之间。

5. 从1，2，3，…，2011中选出k 个不同的数，使得这k 个数任何两个之和不能被该两数
之差整除。

求k 的最大值。