黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）
A．125
-C．454D．54 -B．945
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2
<，则AC长是（）
AB=，AC BC
A51-B51C．35D35
2
3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）
A．35B51C．15D．35
4．已知2
AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP
>，则AP的长为（）
A51B51-C35
D．35
2
5．下列说法正确的是（）
A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC
D．以上说法都不对
6．下列说法正确的是（）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
7．下列命题正确的是（）
A．任意两个等腰三角形一定相似
B．任意两个正方形一定相似
C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么51
AC AB -=
D ．相似图形就是位似图形
8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020
AP 的长度是（ ）
A ．2020
51-⎝⎭
B ．2021
51-⎝⎭
C ．2020
35-⎝⎭
D ．2021
35-⎝⎭
9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果
AC BC
AB AC
=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割
C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比
D ．0.618是黄金比的近似值
10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）
△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若
AC BC
AB AC
=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是
__________．
13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割，已知AB =10 cm ，AC ＞BC ，那么AC 的长约为____________cm （结果精确到0.1 cm ）． 14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.
15．古希腊时期，51
-（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”5 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）
16．已知AB=2,点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则AC= . 17．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．
18．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）
19．已知线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA ＝ ___；PB ＝______． 20510.61803398-=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数
是 ．
21．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，若AB ＝10，则BC ＝_____． 22．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm ，则较长线段AP 的长是_____cm ．
三、解答题
23．已知C 、D 是线段AB 上的点，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，则C 、D 是黄金分割点吗？为什么？
24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金
分割点.
25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；
（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．
26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PA
AB
的值为 （填一个实数）：
（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．
27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 5 2. 236=，结果精确到0.001)．
28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．
(1)证明：ΔABE△ΔCAD．
(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．
(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.
参考答案
1．A
【分析】
根据黄金分割的定义得到AP 51
-AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长． 【详解】
解：△P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）， △AP 51
-AB ， △AB 的长度为8cm ， △AP 51
-×8=454（cm ）， △BP =AB -AP =8-（454）=125- 故选：A ．
【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC 51
-AB ． 2．C 【分析】
利用黄金分割比的定义即可求解. 【详解】
由黄金分割比的定义可知 5151
251BC AB --=
== △2(51)35AC AB BC =-=-= 故选C
【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键. 3．A 【分析】
根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解. 【详解】
解: 较短的线段长=2⨯ (15-1
=255 故选A.
【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值5-1
是解题的关键.
4．A 【分析】
根据黄金分割点的定义和AP BP
>得出
51
AP AB
-
=，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】
解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP
>，
则
5151
251
AB
AP
--
=
==．
故选：A．
35
2
，
51
-
．
5．B
【分析】
根据黄金分割的定义分别进行解答即可．
【详解】
A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．
故选B．
【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6．D
【分析】
根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.
【详解】
解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；
B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；
C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；
D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．
【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】
根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】
解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；
C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么51
AC AB -=
D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．
【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线51
-叫做黄金比进行解答即可． 【详解】
解：根据黄金比的比值，151
BP -= 则15135
1AP --==
2
3
233535,,AP AP --==⎝⎭⎝⎭
…
依此类推，则线段2020
202035AP -=⎝⎭
，
故选C ．
【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义判断即可.
【详解】
根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;
C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.
【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.
10．D
【详解】
△AB=AC，△△ABC=△C=1
2（180°-△A）=1
2
（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，
△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；
△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.
11．D
【解析】
试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．
解：如图，△AB=AC，△A=36°，
△△ABC=△C=72°，
△BD平分△ABC交AC于点D，
△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，
△AD=BD，
△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，
△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △
，
即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，
△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=
CD ，
△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．
考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割． 1251
- 【分析】
根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 51
-计算即可． 【详解】
当PM ＞PN 时，51-51
-， 51
-． 51
-是解题的关键． 13．6.2 【分析】
黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．
【详解】
由题意知AC :AB =BC :AC ，
△AC :AB ≈0.618，
△AC =0.618×10cm ≈6.2(结果精确到0.1cm )
故答案为6.2.
【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.
14．51-米 【解析】
【分析】
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-叫做黄金比． 【详解】
解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，
△较长的线段=2⨯51-51- 51-米.
51-是解的关键． 15．0.62
【分析】
把黄金分割比例按要求进行计算即可．
【详解】
解：51-5 2.236≈， 51-≈2.23612-≈0.62， 故答案为：0.62． 【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键． 1651 【解析】51251AC -==
17．()252cm ．
【解析】
根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可． 解：较长线段的长=×4=（2）cm ．
故答案为（2
）cm ． 18．52 【分析】
51-计算即可. 【详解】 解：△点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ） △51AP 252AB -== 故答案为：252.
【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
19．)51cm (35cm 【分析】
根据黄金分割的概念得到较长线段51-AB ，则PB=AB -352AB ，然后把AB=2cm 代入计算即可．
【详解】
解：△P 是AB 的黄金分割点， △较长线段51-AB ， △PB=AB -352AB ， 而AB=2cm ， △PA=)51cm ，PB=(35cm ． 故答案为：)51cm ；(35cm ．
【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分51-倍． 20．0.6180
【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．
所以0.61803398…≈0.6180
21．555
【分析】
根据黄金分割点的定义，知BC 为较长线段；则BC 51-AB ，代入数据即可得出AC 的值．
【详解】
解：由于C 为线段AB ＝10的黄金分割点，
且AC ＜BC ，BC 为较长线段；
则BC ＝51-＝55． 故答案为：555．
【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中51-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 22．555
【解析】
△P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，
51-AB ， △AB=10cm ， △AP=5110555-=. 故答案为555．
点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即51-AB. 23．C 、D 是黄金分割点.
【解析】
【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】
解：C 、D 是黄金分割点，
△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，
△AC ＝3−√52
AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12
AB ， △D 是AB 的黄金分割点，
同理C 也是AB 的黄金分割点．
【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.
24．见解析 【解析】
试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。

△MN=1，AN=
3−√52 △AM=
√5−12 △AM MN =AN
AM =√5−12
△点A 是MN 的黄金分割点 考点：本题考查了黄金分割 点评：解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的
3−√52，较长的线
段=原线段的√5−12。

25．（1）1-;（2）625-
【分析】
（1）先根据新定义及(1)(2)8x x +⊕-=得到代数式x 2+x=5，再化简2(2)(23)x x x -⊕-，把
x 2+x=5整体代入即可求解.
(2)51-计算即可． 【详解】
（1）△(1)(2)8x x +⊕-=
即2(1)(2)8x x +--=
化简得x 2+x=5
△2(2)(23)x x x -⊕-=22(2)(23)x x x ---=-x 2-x+4=-5+4=-1
（2）△点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，
△BC 51-51)cm, 则AC ＝4−251）＝65-
【点拨】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.
26．（151-；（2）见解析 【分析】
（1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设BC=a ，根据题意用a 表示出AB 、AC ，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．
【详解】
解：（1）设AB 长为1，P 为线段AB 上符合题意的一点，AP=x ，则BP=1﹣x ， 根据题意得，
11x x x -=， 解得，125151x x ---=
=（舍去）， 故51PA AB - 51-； （2）设BC=a ，则AB=2a ，
则5，
由题意得，CD=BC=a ，
5﹣a ，
BE=AB ﹣AE=3a 5，
△AE AB 51-，BE AE 51-， △AE AB =BE AE ，即点E 是线段AB 的黄金分割点． 【点评】
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割是解题的关键．
27．1.236
【分析】
设雕像下部的设计高度为xm ，那么雕像上部的高度为（2-x ）m ．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可．
【详解】
解：设雕像下部的设计高度为xm ，那么雕像上部的高度为（2-x ）m ．
依题意，得22
x x x -= 解得1215 1.236,15x x =-≈=-
经检验，15x =-
雕像下部设计的高度应该为：1.236m
故答案为：1.236m
【点拨】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）因为△ABC 是等边三角形，所以AB=AC ，△BAE=△ACD=60°，又AE=CD ，即可证明ΔABE△ΔCAD ；
（2）设ABE CAD α∠=∠=则60PEC BAC ABE α∠=∠+∠=︒+由等边对等角可得
60CPE CEP α∠=∠=︒+可得18018060(60)60CPD BPD CPE αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒+=︒-以及60PBD ABC ABE α∠=∠-∠=︒-，故CPD PBD ∠=∠；
（3）可证P CPD CB ∆∆∽可得CD CP CP CB
=，故2CP CD CB =⋅由于CP CE BD ==可得2BD CD CB =⋅，根据黄金分割点可证点D 是BC 的黄金分割点；
【详解】
证明：
(1) △△ABC 是等边三角形，
△AB=AC ，△BAE=△ACD=60°，
在ΔABE 与ΔCDA 中，AB=AC ，△BAE=△ACD=60°，AE=CD ，
△△AEB△△CDA ；
（2）由（1）知ABE CAD ∠=∠，
则60BPD ABE BAP CAD BAP ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
设ABE CAD α∠=∠=，
则60PEC BAC ABE α∠=∠+∠=︒+，
△CE CP =，
△60CPE CEP α∠=∠=︒+，
△18018060(60)60CPD BPD CPE αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒+=︒-，
又60PBD ABC ABE α∠=∠-∠=︒-，
△CPD PBD ∠=∠；
（3）在CPD ∆和CBP ∆中，
PCB DCP ∠=∠，CPD PBD ∠=∠，
△P CPD CB ∆∆∽，
△CD CP CP CB
=， △2CP CD CB =⋅，
又CP CE BD ==，
△2BD CD CB =⋅，
△点D 是BC 的黄金分割点；
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.。