北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)文科数学试卷+Word版含解析

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期文科月考
（二）数学试题
一、选择题（本大题共8小题）
1.已知集合，=（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，∴，又，∴.
考点：1.对数函数的性质；2.集合之间的运算.
2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【详解】解：A．f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣x）＝x2﹣sin x，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数；
B．f（﹣x）＝（﹣x）2﹣cos（﹣x）＝x2﹣cos x＝f（x），则函数f（x）是偶函数；
C．f（﹣x）2x f（x），则函数f（x）是偶函数；
D．f（﹣x）＝﹣x+sin2（﹣x）＝﹣x﹣sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．
3.已知函数，则的值是
A. B. C. 24 D. 12【答案】B
【解析】
,选B.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
4.已知平面向量，，则
A. B. 3 C. D. 5
【答案】A
【解析】
因为平面向量，所以，所以，故选A.
5.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选B．
考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．
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6.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则
A. B. 2 C. D. 3【答案】B
【解析】
【分析】
运用余弦定理：，解关于b的方程，结合，即可得到．
【详解】，，且，
由余弦定理可得，
，
即有，
解得或4，
由，可得．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．7.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，又为偶函数，所以在
上的解集为：.
故选B.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
8.如图，长方形ABCD的边，，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【详解】由已知得，当点P在BC边上运动时，即时，；
当点P在CD边上运动时，即时，
，当时，；当点P在AD边上运动时，即时，，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.已知等差数列前9项的和为27，，则______．
【答案】98
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】等差数列前9项的和为27，，
，
解得，，
．
故答案为：98．
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
10.已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】1
【解析】
试题分析：
.
考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.
【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得
.
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11.用b，表示a，b，c三个数中的最小值设，则
的最大值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此作出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．
【详解】是减函数，是增函数，是增函数，令，，
此时，，如图：
与交点是A、B，与的交点为C（4，6），由上图可知的图象如下：
C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．
故答案为6.
【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．解答本题的关键是通过题意得出的简图．
12.在中，，，，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：正余弦定理解三角形
13.“定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，则为单
调函数”能够说明上述命题是错误的一个函数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，
则，
故答案为：
【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题．
14.已知中，，，，P为线段AC上任意一点，则的范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先设，，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】中，，，，
设，，
则
，
，
由二次函数的性质可知，当时，有最小值；
当时，有最大值4，
所求的范围是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档试题．
三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）
15.已知等差数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.
因为，所以.
又因为，所以，故.
所以.
（Ⅱ）设等比数列的公比为.
因为，，
所以，.
所以.
由，得.
所以与数列的第项相等.
考点：等差数列、等比数列的通项公式.
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16.（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得
由（Ⅰ）知,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得因为AD平分
BAC,BD=2DC,
所以.
（Ⅱ）因为
所以由（I）知,
所以
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 【此处有视频，请去附件查看】
17.已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】（1）a=1；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和
的解析式即可证得题中的不等式成立．
试题解析：（1）的定义域为
设，则等价于
因为
若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故
综上，a=1
（2）由（1）知
设
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增
又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当
时，；当时，，当时，.
因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得
所以
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。