新课程高中数学训练题组(选修4-4-4-5)含答案

特别说明：
《新课程高中数学训练题组》是由李传牛老师根据最新课程标准，参考独家内部资料，结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

欢迎使用本资料!
本套资料所诉求的数学理念是：（1）解题活动是高中数学教与学的核心环节，（2）精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺漏的两项重大功能。

本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写，每章或节分三个等级：[基础训练A组]，
[综合训练B组]，
[提高训练C组]
建议分别适用于同步练习，单元自我检查和高考综合复习。

本套资料配有详细的参考答案，特别值得一提的是：单项选择题和填空题配有详细的解题过程，解答题则按照高考答题的要求给出完整而优美的解题过程。

本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组：可以在90分钟内做完一组题，然后比照答案，对完答案后，发现本可以做对而做错的题目，要思考是什么原因：是公式定理记错？计算错误？还是方法上的错误？对于个别不会做的题目，要引起重视，这是一个强烈的信号：你在这道题所涉及的知识点上有欠缺，或是这类题你没有掌握特定的方法。

本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手，结合详细的参考答案，把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚，常思考这道题是考什么方面的知识点，可能要用到什么数学方法，或者可能涉及什么数学思想，这样举一反三，慢慢就具备一定的数学思维方法了。

目录：数学选修4-4，4-5
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]
数学选修4-5不等式选讲 [基础训练A 组]
数学选修4-5不等式选讲 [综合训练B 组]
数学选修4-5不等式选讲 [提高训练C 组]
新课程高中数学测试题组 根据最新课程标准，参考独家内部资料， 精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

欢迎使用本资料!
子曰：学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A 组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数，则直线的斜率为（ ） A ．
23 B ．23
- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩
为参数上的点是（ ） A ．1(,2)2- B ．31(,)42
- C ．(2,3) D ．(1,3)
3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y =
5．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3
k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
二、填空题
1．直线34()45x t t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()
t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x t l t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。

4．直线122()112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

三、解答题
1．已知点(,)P x y 是圆22
2x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

2．求直线11:()53x t l t y t
=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。

3．在椭圆22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B 组]
一、选择题
1．直线l 的参数方程为()x a t t y b t =+⎧⎨=+⎩
为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）
A ．1t
B ．12t
C ．12t
D ．122
t 2．参数方程为1()2
x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
3．直线112()3332
x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，
则AB 的中点坐标为（ ）
A ．(3,3)-
B ．(3,3)-
C ．(3,3)-
D ．(3,3)-
4．圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ ）
A ．4(5,)3π--
B ．(5,)3π-
C ．(5,)3π
D ．5(5,)3
π- 5．与参数方程为()21x t t y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2
x B ．2
1(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．2
1(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x t t y t
=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ） A ．98 B ．140
4 C ．82 D ．9343+
二、填空题
1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩
为参数,t 0，
则它的普通方程为__________________。

2．直线3()14x at t y t
=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。

3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

4．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅
，则曲线的直角坐标方程为________________。

5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

三、解答题
1．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩
为参数表示什么曲线？
2．点P 在椭圆22
1169
x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。

3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=
，
（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C 组]
一、选择题
1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）
A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩
B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t t y t =-+⎧⎨=-⎩
为参数与坐标轴的交点是（ ） A ．2
1(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52
、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9
、 3．直线12()2x t t y t =+⎧⎨
=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ） A ．125 B ．1255
C ．955
D ．9105
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t ⎧=⎨=⎩
为参数上， 则PF 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）
A ．cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．4sin()3πρθ=+
D ．4sin()3π
ρθ=-
二、填空题 1．已知曲线2
2()2x pt t p y pt ⎧=⎨=⎩
为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。

2．直线22()32x t t y t
⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是_______。

3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ
=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________。

4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。

5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。

三、解答题
1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2
t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
2．过点10(,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的值及相应的α的值。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]
一、选择题
1．D 233122
y t k x t --===-- 2．B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12
y = 3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈
4． C 22(cos 1)0,0,cos 1x y x ρρθρρθ-==+===或
5．C 2(2,2),()3
k k Z ππ+∈都是极坐标 6．C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即
则,2k πθπ=+
或224x y y += 二、填空题
1．54- 455344
y t k x t --===-- 2．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222
t t t t t t y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ 3．52 将1324x t y t
=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得52AB = 4．14 直线为10x y +-=，圆心到直线的距离1222d =
=，弦长的一半为222142(
)22-=，得弦长为14 5．2π
θα=+ c o s c o s s i n s i n 0,c o s (ρθαρθαθα+=-=，取2π
θα-=
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ
=⎧⎨=+⎩，
22cos sin 15sin()1x y θθθϕ+=++=++
51251x y ∴-+≤+≤+
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(c o s s i n )12s i n ()1
421a a πθθθ∴≥-+
-=-+-∴≥-- 2．解：将153x t y t
=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入230x y --=得23t =， 得(123,1)P +，而(1,5)Q -，得22(23)643PQ =+=
3．解：设椭圆的参数方程为4cos 23sin x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩，4cos 43sin 125d θθ--= 4545
c o s 3s i n 32c o s ()3
553θθθθ=--=+- 当c o s ()13π
θ+=时，m i n 455
d =，此时所求点为(2,3)-。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]
一、选择题
1．C 距离为221112t t t +=
2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线
3．D 2213(1)(33)1622t t ++-+=，得2880t t --=，12128,42
t t t t ++== 中点为11432333342
x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪
⎩⎪=-+⨯⎪⎩ 4．A 圆心为5
53(,)22
- 5．D 22
222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得
6．C 2222212
122
x t x t y t y t ⎧=-+⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨
=-⎩代入
22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
2121212()441t t t t t t -=+-=，弦长为12282t t -=
二、填空题 1．2
(2)(1)(1)x x y x x -=
≠- 111,,1x t t x
-==-而21y t =-， 即22
1(2)
1(
)(1)1(1)
x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)-
14
3y x a
+=-，(1)
4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3．22 椭圆为
22
164
x y +=，设(6c o s ,2s i n )P θθ， 26cos 4sin 22sin()22x y θθθϕ+=+=+≤
4．2
x y =
2
22
2
1s i n t a n ,c o s s i n ,
c o s s i n ,c o s c o s
θρθρθθρθρθθθ=⋅
===即2
x y =
5．22
24141t x t t y t ⎧
=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩ 22
()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y t x =，即2241t y t =+，得2
2
24141t x t t y t ⎧
=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
三、解答题
1．解：显然tan y x
θ=，则22
2222
111,cos cos 1y y x x θθ+==+
2
2
2
2
1
1
2t a n
c o s s i n c o s
s i n 2
c o s c o s
2
21t a n
x θθθ
θθθθθ=+=+=⨯
+
+
即22222
222
2
1
11,(1)12111y y
y y x x x x y y y x x x x x
+=⨯+=+=++++ 得21y y
x x x
+=+，即220x y x y +--= 2．解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即122cos()24
4
5
d π
θ+-=，
当cos()14
π
θ+=-时，max 12
(22)5d =+； 当cos()14
π
θ+
=时，min
12
(22)5
d =-。

3．解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ （2）把直线3
12112
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得22231
(1)(1)4,(31)2022
t t t t +
++=++-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]
一、选择题
1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制
2．B 当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1
(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1
(,0)
2
3．B 2
15125
21155
x t x t y t y t ⎧
=+⨯
⎪=+⎧⎪
⇒⎨⎨
=+⎩⎪=+⨯
⎪⎩
，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
2212121281612()4()555t t t t t t -=+-=-+=，弦长为1212
555
t t -=
4．C 抛物线为2
4y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4 5．D
cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
，为两条相交直线
6．A 4sin ρθ=的普通方程为2
2
(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆2
2
(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。

即x 轴，121222M N p t t p t
=-= 2．(3,4)-,或(1,2)- 2
2
2
2
12
(2)(2)(2),,22
t t t t -+==
=± 3．5 由3s i n 4c o s 4s i n 3c o s x y θθθ
θ=+⎧⎨
=-⎩得22
25x y +=
4．22 圆心分别为1(,0)2和1
(0,)2
5．
6
π
，或56π 直线为t a n
y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时， 易知倾斜角为6
π
，或56π
三、解答题
1．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，c o s ,s i n 11()()2
2
t t
t t
x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
1x y +=，即
2
2
22111()()4
4
t
t t t x y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2
t t
x e e -=±
+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2
t t
y e e -=±-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t
t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθ
θθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-⋅=+- 即22
2
21cos sin x y θθ
-=。

2．解：设直线为10
cos ()2
sin x t t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
为参数，代入曲线并整理得 223(1sin )(10cos )02
t t αα+++
= 则122321sin PM PN t t α
⋅==+ 所以当2
sin 1α=时，即2
π
α=
，PM PN ⋅的最小值为
34，此时2
πα=。

新课程高中数学训练题组
根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

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数学选修4-5 不等式选讲
[基础训练A 组]
一、选择题
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A ．x y y x +
B ．4
522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x
-+
2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x
y
++的最小值是（ ） A ．339 B ．122+ C ．6 D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=
++, 11x y
B x y
=+++，则,A B 的大小关系是（ ）
A ．A
B = B ．A B <
C ．A B ≤
D ．A B > 4．若,,x y a R +
∈，且
y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）
A ．
22 B ．2 C ．1 D ．1
2
5．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．4
D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）
A ．[2,1)
[4,7)- B ．(2,1](4,7]-
C ．(2,1][4,7)--
D ．(2,1][4,7)-
子曰：知之者
不如好之者，
好之者
不如乐之者。

二、填空题
1．若0a b >>，则1
()
a b a b +
-的最小值是_____________。

2．若0,0,0a b m n >>>>，则
b a , a b , m a m b ++, n
b n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且2
2
1x y +=，则x y +的最大值等于_____________。

4．设10101011
1111
2212221
A =++++++-，则A 与1的大小关系是_____________。

5．函数212
()3(0)f x x x x
=+>的最小值为_____________。

三、解答题
1．已知1a b c ++=，求证：222
13
a b c ++≥
2．解不等式7343220x x +--+->
3．求证：2
2
1a b ab a b +≥++-
4．证明：1112(11)1...223n n n
+-<++++<
数学选修4-5 不等式选讲
[综合训练B 组]
一、选择题
1．设,a b c n N >>∈，且
c
a n
c b b a -≥
-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
2． 若(,1)x ∈-∞，则函数222
22
x x y x -+=-有（ ）
A ．最小值1
B ．最大值1
C ．最大值1-
D ．最小值1- 3．设2P =
，73Q =-，62R =-，则,,P Q R 的大小顺序是（ ）
A ．P Q R >>
B ．P R Q >>
C ．Q P R >>
D ．Q R P >>
4．设不等的两个正数,a b 满足3322
a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3
C ．4[1,]3
D ．(0,1)
5．设,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c
=---，则必有（ ） A ．108M ≤<
B ．1
18
M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 6．若,a b R +∈，且,a b
a b M b a
≠=
+, N a b =+，则M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤
二、填空题
1．设0x >，则函数1
33y x x
=--
的最大值是__________。

2．比较大小：36log 4______log 7
3．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则2
2
2
x y z ++的最小值为 4．若,,,a b c d 是正数，且满足4a b c d +++=，用M 表示
,,,a b c a b d a c d b c d ++++++++中的最大者，则M 的最小值为__________。

5．若1,1,1,10x y z xyz ≥≥≥=，且lg lg lg 10x
y z x
y z ⋅⋅≥，则_____x y z ++=。

三、解答题
1．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，求参数a 的取值范围。

2．求证：22233
a b c a b c
++++≥
3．当3,n n N ≥∈时，求证：22(1)n
n ≥+
4．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且有2
2
2
1,1a b c a b c ++=++= 求证：413
a b <+<
数学选修4-5 不等式选讲
[提高训练C 组]
一、选择题
1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）
A ． 2233
B ．3
3
23
C ．
2
33 D ．
3
22
2．,,a b c R +
∈，设a b c d
S a b c b c d c d a d a b
=
+++
++++++++， 则下列判断中正确的是（ ） A ．01S << B ．12S << C ．23S << D ．34S << 3．若1x >，则函数2
1161
x
y x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8
C ．4
D ．非上述情况 4．设0b a >>，且2
22
11P a b =
+，2
11Q a b
=+， M ab =， 2a b N +=，22
2a b R +=
， 则它们的大小关系是（ ）
A ．P Q M N R <<<<
B ．Q P M N R <<<<
C ．P M N Q R <<<<
D ．P Q M R N <<<< 二、填空题 1．函数2
3(0)1
x
y x x x =
<++的值域是 . 2．若,,a b c R +
∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是
3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .
4．若0a >，则2211
a a a a
+
-+的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。

三、解答题
1． 设,,a b c R +
∈，且a b c +=，求证：222333
a b c +>
2．已知a b c d >>>，求证：1119
a b b c c a a d
++≥
----
3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222
a b b c c a ++的大小。

4．求函数3546y x x =-+-的最大值。

5．已知,,x y z R ∈，且2
2
2
8,24x y z x y z ++=++= 求证：
444
3,3,3333
x y z ≤≤≤≤≤≤
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-5 不等式选讲 [基础训练A 组]
一、选择题
1．D 20,20,222222x x x x x x --->>∴+≥=
2．D 33333123312317x y x y x y +++≥⋅+=+=
3．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y
+=+>+==++++++++，即A B < 4．B 22222,()222
x y x y x y x y ++≥+≥+即， 2()2
x y x y ∴+≥+，而y x a y x +≤+， 即1()x y x y a +≥
+恒成立，得12,22a a ≤≥即 5．A 46462y x x x x =-+-≥-+-=
6．D 259925927253,2534,1253x x x x x x x x ⎧-<-<-<-<<⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-≥-≤-≥≤-≥⎩
⎩⎪⎩或或，得(2,1][4,7)- 二、填空题
1．3 311()3()3()()a b b a b b b a b b a b -++≥-⋅⋅=-- 2．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 由糖水浓度不等式知1b b m a a m
+<<+， 且1b b n a a n +<<+，得1a a n b b n +>>+，即1a n a b n b
+<<+ 3．2 2222,2222x y x y x y x y ++≤+≤+= 4．1A < 10101010111010101021111111112212221222
2
A =++++<++++=++-个 5．9 3222
1233123312()3392222x x x x f x x x x x =+
=++≥⋅⋅=
三、解答题
1．证明：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++
2222()2()a b c a b c ≥++-++
22223(
)()1a b c a b c ∴++≥++= 22213a b c ∴++≥
另法一：2
2222221()33
a b c a b c a b c ++++-=++- 2222221(222222)31[()()()]03
a b c a b b c a c a b b c a c =++---=-+-+-≥ 22213a b c ∴++≥
另法二：2222222(111)()()1a b c a b c ++++≥++=
即2223()1a b c ++≥，22213
a b c ∴++≥ 2．解：原不等式化为734210x x +--+-> 当43
x >时，原不等式为7(34)210x x +--+-> 得252x <+，即42532x <<+； 当473
x -≤≤时，原不等式为7(34)210x x ++-+-> 得1224x >--，即124243
x --<≤； 当7x <-时，原不等式为7(34)210x x +--+-> 得262
x >-，与7x <-矛盾； 所以解为1225242x -
-<<+
3．证明：22()(1)a b ab a b +-++-
222222222221
1(222222)2
1[(2)(21)(21)]2
1[()(1)(1)]02
a b ab a b a b ab a b a ab b a a b b a b a b =+---+=+---+=-++-++-+=-+-+-≥ 221a b ab a b ∴+≥++-
4．证明：111121k k k k k
<<++-+ 1
2(1)2(1)k k k k k ∴+-<
<-- 1112(11)1...223n n n
∴+-<++++< 数学选修4-5 不等式选讲 [综合训练B 组]
一、选择题
1．C
24a c a c a b b c a b b c b c a b a b b c a b b c a b b c
---+--+---+=+=++≥------ 114a b b c a c ∴+≥---，而c a n c b b a -≥-+-11恒成立，得4n ≤ 2．C 2(1)1111121222222(1)22(1)
x x x y x x x x ---=+=+≤-⋅=----- 3．B
22226,262+=>∴>-，即P R >； 又
6372,6273+>+∴->-，即R Q >，所以P R Q >> 4．B 222,()()a ab b a b a b a b ab ++=++-+=，而2
()04
a b ab +<< 所以22
()0()()4a b a b a b +<+-+<，得413a b <+<
5．D ()()()
(1)(1)(1)a b c
a b c
a b c b c a c a b M a b c abc +++++++++=---=
88ab bc ac
abc ≥=
6．A ,2,2a
b
a b b a a b b a ≠∴+>+>
22a
b
b a b a b a ∴+++>+，即a b
b a b a +>+
二、填空题
1．323- 1
1
33323323y x x x x =--≤-⋅=-，即m a x 323y =-
2．> 设36log 4,log 7a b ==，则34,67a b ==，得7346423
a
b b b ⋅=⋅=⋅⋅ 即42
37b
a b -⋅=，显然1,22b b >>，则423107b
a b a b a b -⋅=>⇒->⇒>
3． 2
14a 222222
2(123)()(23)x y z x y z a
++++≥++= 即222214()x y z a ++≥，2
22214a x y z ∴++≥
4．3 1
()4M a b c a b d a c d b c d ≥+++++++++++
3
()34a b c d =+++=，即m i n 3M =
5．12 l g l g l g 222l g ()1l g l g l g 1
x y z x y z x y z ⋅⋅≥⇒++≥ 而2222l g l g l g (l g l g l g )2(l g l g l g
l g l g l g )
x y z x y z x y y z z x ++=++-++ 2[lg()]2(lg lg lg lg lg lg )
12(lg lg lg lg lg lg )1xyz x y y z z x x y y z z x =-++=-++≥
即lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++≤，而lg ,lg ,lg x y z 均不小于0
得lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++=，
此时lg lg 0x y ==，或lg lg 0y z ==，或lg lg 0z x ==，
得1,10x y z ===，或1,10y z x ===，或1,10x z y ===
12x y z ++=
三、解答题
1．解：34(3)(4)1x x x x -+-≥---=
m i n (34)1
x x ∴-+-= 当1a ≤时，34x x a -+-<解集显然为φ，
所以1a >
2．证明：2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++
2222
()39
a b c a b c ++++∴≥ 即22233
a b c a b c ++++≥ 3．证明：12112(11)1...12(1)n n n n n n n n n n n C C C C C C n -=+=+++≥+++=+
22(1)n
n ∴≥+（本题也可以用数学归纳法） 4．证明：2222()()1,2
a b a b a b c ab c c +-++=-==- ,a b ∴是方程22(1)0x c x c c --+-=的两个不等实根，
则22(1)4()0c c c =--->，得113c -
<< 而2()()()0
c a c b c a b c a b --=-++> 即22(1)0c c c c c --+->，得20,3c c <>
或 所以103c -<<，即413
a b <+<
数学选修4-5 不等式选讲 提高训练C 组]
一、选择题
1．A 由log 2x y =-得21y x =
， 而33322211113332222242
x x x x x y x x x x +=+=++≥⋅⋅== 2．B
a b c d a b c b c d c d a d a b
+++++++++++ 1a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c
d
+++>+++==+++++++++++++++ 即1S >，a a a b c a c <+++，c c c d a a c <+++，b b b c d b d <+++，d d d a b d b
<+++ 得1a c c a a b c c d a a c a c +<+=++++++，1b d d b b c d d a b d b b d +<+=++++++ 即2a b c d a b c b c d c d a d a b
+++<++++++++，得2S <，所以12S << 3．B 2116116216811x y x x x x x x x
=++=++≥=++ 4．A R 为平方平均数，它最大 二、填空题 1．[3,0)- 233111x y x x x x
=
=++++，10,2,x x x <∴+≤-得111x x ++≤- 131030301111y x x x x -≤<⇒-≤<⇒-≤<++++
2．3 2222(111)(111)()3
a b c a b c ⋅+⋅+⋅≤++++= 3．> 构造单调函数()()1f x b c x
b c =+++，则(1)(1)(1)f b c =++>， (1)(1)(1)(1)(1)0f b c b c -=-+-+=-->，即11x -<<，()0f x >恒成立，
所以()()10f a b c a bc =+++>，即1ab bc ca ++>-
4．22- 设221(2)a t t a +=≥，则2221a t a +=，即212a t a
+=+
再令222112(2)y a a t t t a a =+
-+=+-≥，'2102t y t =-<+
即[2,)t ∈+∞时，y 是t 的减函数，得2t =时，m a x 22y =- 5．2 2()()()2()2x y y z x y y y z z x y x y z z x y x y z z x ++=++
+=+++≥++= 三、解答题
1．证明：,,,1a b a b c R c c
+∈+= 22233301,01,,,0a b a b c c c
∴<<<<>
222233332
3()()1a b
a b a b a b c c c c c
c ++=+>+==， 222333a b c ∴+>
2．证明：,0,0,0a b c d a b b c c d >>>∴->->->
111111()()()[()()()]a d a b b c c d a b b c c a a b b c c a
∴++-=++-+-+------- 3311133()()()9a b b c c d a b b c c a
≥⋅⋅⨯---=--- 1119a b b c c a a d
∴++≥---- 3．解：取两组数：,,a b c 与222,,a b c ，显然333a b c ++是同序和，
222a b b c c a ++是乱序和，所以
333222a b c a b b c c a ++≥++ 4．解：函数的定义域为[5,6]，且0y >
3546y x x =⨯-+⨯-
2222
34(5)(6)5x x ≤+⨯-+-= max 5y =
5．证明：显然2222()()8,8202
x y x y x y z xy z z +-++=-==-+ ,x y ∴是方程22(8)8200t z x z z --+-+=的两个实根， 由0≥得
443z ≤≤，同理可得443y ≤≤，443x ≤≤。