【精品】高中数学 必修2_直线、平面垂直的性质 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题； 2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题． 【要点梳理】
要点一：直线与平面垂直的性质 1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ 图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒ 图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． 要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面
垂直关系的相互转化．
要点二：平面与平面垂直的性质 1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I 图形语言：
要点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
要点三：垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：
在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆： 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清． 平面之内两直线，两线交于一个点， 面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝． 先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见． 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆断， 判断线和面垂直，线垂面中两交线． 两线垂直同一面，相互平行共伸展， 两面垂直同一线，一面平行另一面． 要让面和面垂直，面过另面一垂线， 面面垂直成直角，线面垂直记心间． 【典型例题】
类型一：直线与平面垂直的性质
例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）． （1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；
（2）若a ，b 分别垂直于平面α，β，且c αβ=I ，求证：AB ∥c ．
【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB ⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c ．
证明：（1）如图（1），在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为a ＇，设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为b ＇．
∵a ∥α，b ∥α，∴a ∥a ＇，b ∥b ＇． 又∵AB ⊥a ，AB ⊥b ，∴AB ⊥a ＇，AB ⊥b ＇， ∴AB ⊥α．
（2）如图，过B 作BB ＇⊥α，则AB ⊥BB ＇． 又∵AB ⊥b ，∴AB 垂直于由b 和BB ＇确定的平面．
∵b ⊥β，∴b ⊥c ，∵BB ＇⊥α，∴BB ＇⊥c ． ∴c 也垂直于由BB ＇和b 确定的平面． 故c ∥AB ．
【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其
关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：
【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【答案】 B
【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
高清：空间的线面垂直398999 例3
例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD ⊥AE；
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举一反三：
【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A
作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．
【解析】
证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．
又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．
（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG．
又由（1）有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．
【变式2】如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥CD；
(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．
【解析】要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，
则EN 1
2
CD
1
2
AB AM，
故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．∵ AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴ MN∥平面PAD．
(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．
由(1)知，需证AE⊥AB．
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ PA ⊥AB ．又AD ⊥AB ， ∴ AB ⊥平面PAD ． ∴ AB ⊥AE ．即AB ⊥MN ． 又CD ∥AB ，∴ MN ⊥CD ．
(3)由(2)知，MN ⊥CD ，即AE ⊥CD ，再证AE ⊥PD 即可． ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AD ． 又∠PDA=45°，E 为PD 的中点． ∴ AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ． 又MN ⊥CD ， ∴ MN ⊥平面PCD ．
【总结升华】本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多要点的一道综合题．(1)的关键是选取PD 的中点E ，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直．
类型二：平面与平面垂直的性质 高清：空间的面面垂直399110 例2
例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 【解析】已知：αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，求证：l γ⊥．
证法1：如图（左），在γ内取一点P ，作PA 垂直于α与γ的交线于A ，PB 垂直于β与γ的交线于B ，则PA ⊥α，PB ⊥β，
∵l αβ=I ，∴l ⊥PA ，l ⊥PB ． ∵PA γ⊂，PB γ⊂，PA ∩PB=P ， ∴l γ⊥．
证法2：如图（右），在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与
γ的交线，
∵αγ⊥，βγ⊥，∴m γ⊥，n γ⊥，∴m ∥n ．
又n β⊂，∴m ∥β，∴m ∥l ，∴l γ⊥．
证法3：如图，在l 上取一点A ，过A 作直线m ，使m γ⊥． ∵αγ⊥，且A l α∈⊂，∴m α⊂．
同理m βI ，∴m l αβ==I ，即l 与m 重合． ∴l γ⊥．
【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键．证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷．由此可见，我们必须熟练掌握这一推论． 举一反三：
【变式1】如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC
求证：BC ⊥AB ．
【证明】在平面PAB 内，作AD ⊥PB 于D ． ∵平面PAB ⊥平面PBC ， 且平面PAB ∩平面PBC ＝PB ． ∵AD ⊥平面PBC
又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC 又∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ． 又AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥AB ．
类型三：综合应用
例4．如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ．
（1）若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；
（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM=MA 1， 求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；
（3）若截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ，则AM=MA 1吗？请叙述你的判断理由．
【解析】 （1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ． ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ．∴AD ⊥CC 1． （2）延长B 1A 1与BM 的延长线交于N ，连接C 1N ． ∵AM=MA 1，∴NA 1=A 1B 1． ∵A 1C 1=A 1N=A 1B 1，∴C 1N ⊥B 1C 1，
∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ． （3）AM=MA 1，证明如下：过M 作ME ⊥BC 1于E ， ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ． 又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴ME ∥AD ，∴M ，E ，D ，A 共面． ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ．∴四边形ADEM 为平行四边形． ∵CC 1∥AM ，∴DE ∥CC 1．
∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点．
∴1111
22
AM DE CC AA ===，∴AM=MA 1．
【总结升华】垂直关系在立体几何中无处不在，是重中之重，我们必须做好它们之间的
相互转化工作，即直线与直线垂直垐垐垐垐垐垐垎噲垐垐垐垐垐垐直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的定义直线与平面垂直垐垐垐垐垐垐垎噲垐垐垐垐垐垐平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直． 举一反三：
【变式1】 如下图，已知三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面PBC ，E 为垂足． （1）求证：PA ⊥平面ABC ；
（2）当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
证明：（1）如下图（左），在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F ． 因为平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，所以DF ⊥平面PAC ．
又PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA．
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA．
又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，
所以PA⊥平面ABC．
（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）．
因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE．
又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE．
所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB．
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形．
【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直——线面垂直——面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．【变式2】如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为平行四边
形，0
45
∠=，1
ADC
==，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，
AD AC
2
PO=，M为PD中点．
(Ⅰ)证明：PB//平面ACM；
(Ⅱ)证明：AD⊥平面PAC；
【解析】(Ⅰ)连接BD，MO．在平行四边形ABCD中，
因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．
又M为PD的中点，所以MO
PB//．
因为⊄
PB平面ACM，⊂
MO平面ACM，
所以//
PB平面ACM．
(Ⅱ)因为45=∠ADC °，且1==AC AD ， 所以90=∠DAC °，即AC AD ⊥， 又⊥PO 平面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ，
所以AD PO ⊥，而O PO AC =I ，所以⊥AD 平面PAC ．
【巩固练习】
1．下列说法中正确的是（ ）
①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直．
A ．①②③
B ．①②③④
C ．②③
D ．②③④ 2．设a 、b 是异面直线，下列命题中正确的是（ ）
A ．过不在a 、b 上的一点P 一定可作一条直线和a 、b 都相交
B ．过不在a 、b 上的一点P 一定可作一个平面和a 、b 都垂直
C ．过a 一定可作一个平面与b 垂直
D ．过a 一定可作一个平面与b 平行
3．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是（ ）
A ．αβ⊥，βγ⊥，则//αγ
B ．//αβ，βγ⊥，则αγ⊥
C ．a αβ=I ，b βγ=I ，αγ⊥，则a ⊥b
D ．αβ⊥，a αβ=I ，a ⊥b ，则b ⊥α 4．给出下列四个命题：
①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．
其中正确的是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．②③④
D ．④
5．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则（ ）
A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直
B ．β内不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直
C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直
D ．β内必存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直
6．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂
直于（ ）
A ．AC
B ．BD
C ．A 1
D D ．A 1D 1
7．平面α⊥平面β，,,a b αβ⊂⊂且//,b a b α⊥，则a 和β的位置关系是 ．
8．平面四边形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，则PAB ∆、PBC ∆、PAD ∆、PDC ∆中最多有 个直角三角形．
9．在空间四边形ABCD 中，ABD ∆、CBD ∆都是边长为1的正三角形，且平面ABD ⊥平面CBD ．,,,E F G H 为空间各边上的中点，则四边形EFGH 的面积是 ．
10．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥； ③n β⊥ ； ④ m α⊥．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命
题： ．
11．如图所示，平面,M N 互相垂直，棱l 上有两点,A B ，AC ⊂平面M ，BD ⊂
平面N ，且,,8,6,24AC L BD L AB cm AC cm BD cm ⊥⊥===，则
CD = ．
12．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC
的中点．
（1）求证：MN ⊥CD ；
（2）若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．
13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．
（1）求证：11//B C 平面ABC ；
（2）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ．
14．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4．将
△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD ．
（1）求证：AB ⊥DE ；
（2）求三棱锥E —ABD 的侧面积． 【答案与解析】 1．【答案】A
【解析】 过直线a 外一点P 可作一平面α与直线a 垂直，平面α内所有过P 的直线均与α垂直，从而④不正确．
2．【答案】D
【解析】 A 不正确，若点P 和直线a 确定平面α，当b ∥α时，满足
条件的直线不存在；C 不正确，只有a 、b 垂直时才能作出满足条件的平
面．
3．【答案】B
【解析】 如图，A 中，平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1D 1，
平面AA 1D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，而平面AA 1B 1B 与平面A 1D 1D 相交．
C 中，平面AA 1B 1B ∩平面AB 1
D 1=D 1B 1，
平面AA 1D 1D ∩平面AB 1D 1=AD 1，
平面AA 1B 1B ⊥平面AA 1D 1D ，
而AB 1与AD 1不垂直；
D 中，b 不定在平面β内．
4．【答案】D
【解析】 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若αβ⊥，a α⊥，则a β⊂或//a β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线
时可以作无数个，否则只能作一个，③不对．
5．【答案】C
【解析】 若β内存在直线n 与m 平行，则m α⊥知n α⊥，从而αβ⊥，但α与β相交却不一定垂直，又设a αβ=I ，由n α⊥知m ⊥a ，从而β内必有直线与m 垂直．
6．【答案】B
【解析】 BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥CE ．
7．【答案】a β⊥
【解析】 设c αβ=I ，,//b b βα⊂Q ，//b c ∴，,a b a c ⊥∴⊥Q ，又αβ⊥，a β∴⊥．
8．【答案】4
【解析】连接,,,PA PB PC PD ，当这四条线段中有一条垂直于平面ABCD ，且平面四边形ABCD 是矩形时，这4个三角形都是直角三角形．
9．【答案】6 【解析】画出空间四边形，由题意知，四边形EFGH 是矩形，其中一边长是
12，一边长是6，所以矩形EFGH 的面积是
68． 10．【答案】②③④⇒①或 ①③④⇒②
【解析】由已知可得如下4个命题：
（1）若,,,m n n αββ⊥⊥⊥则m α⊥；
（2）若,,,m n m αβα⊥⊥⊥则n β⊥；
（3）若,,,m n n m βα⊥⊥⊥则αβ⊥；
（4）若,,,n m αββα⊥⊥⊥则m n ⊥．
命题（3）、（4）都是正确的，命题（1）和(2)都是错误的．
11．【答案】26cm
【解析】 如图，在平面N 内过点A 作//AE BD ，且/AE BD =，
连接,,CE CD DE
四边形AEDB 是平行四边形，又BD AB ⊥，AEDB ∴是矩形．
由,AC AB ⊥⊥平面M 平面N ，知AC ⊥平面N
,,CA AE CA DE CAE ∴⊥⊥∆是直角三角形．
由已知，24,6BD AE AC ===，
2612,26.CE CD ∴==
12．证明：（1）取PD 的中点E ，又N 为PC 的中点，连接NE ，则NE ∥CD ，12NE CD =． 又∵AM ∥CD ，12
AM CD =，∴//AM NE ，∴四边形AMNE 为平行四边形． ∴MN ∥AE ．
∵PA ABCD CD PA CD ADP CD AE CD AD CD ABCD AE ADP ⊥⊥⊥⎫⎫⎫⇒⇒⇒⊥⎬⎬⎬⊥⊂⊂⎭⎭⎭
平面平面平面平面．∴MN ⊥PD ． （2）当∠PDA=45°时，Rt △PAD 为等腰直角三角形，
则AE ⊥PD ．又MN ∥AE ，∴MN ⊥PD ．
又PD ∩CD=D ，∴MN ⊥平面PCD ．
13．证明：（1）如图，
Q 正三棱柱111ABC A B C -，
11//B C BC ∴
又11B C ⊄Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
11//B C ∴平面ABC ．
（2）Q 正三棱柱111ABC A B C -，
1B B ∴⊥平面ABC ．
又AD ⊂Q 平面ABC ，
1.B B AD ∴⊥
ABC ∆Q 是等边三角形，且D 是BC 的中点，
AD BC ∴⊥
又1,B B BC B =Q I
AD ∴⊥平面11BB C C
又AD ⊂Q 平面1,AB D
∴平面1AB D ⊥平面11BB C C ．
14．【解析】（1）在△ABD 中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，
∴BD ==
∴AB 2+BD 2=AD 2，∴AB ⊥BD ．
又∵平面EBD ⊥平面ABD ，
平面EBD ∩平面ABD=BD ，AB ⊂平面ABD ，
∴AB ⊥平面EBD ．
∵DE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥DE ．
（2）由（1）知AB ⊥BD ，∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD ．
在Rt △DBE 中，∵DB =DE=DC=AB=2，
∴1
2DBE S DB DE ∆=⋅=
又∵AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥BE ．
∵BE=BC=AD=4，∴1
42ABE S AB BE ∆=⋅=．
∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD ．
而AD ⊂平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴1
42ADE S AD DE ∆=⋅=．
综上，三棱锥E —ABD 的侧面积8S =+。