江阴市暨阳中学八年级数学上册第一单元《三角形》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）
A ．三角形两边之和大于第三边
B ．三角形具有稳定性
C ．三角形的内角和是180
D ．直角三角形两个锐角互余 2．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A ．1，2，4 B ．5，6，11 C ．3，3，3 D ．4，8，12 3．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40° 4．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 5．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 6．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形 A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形 7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，3，4
B ．7，4，2
C ．3，4，8
D ．2，3，5 8．正十边形每个外角等于（ ）
A ．36°
B ．72°
C ．108°
D ．150° 9．下列四个图形中，线段C
E 是ABC 的高的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A ．两点之间线段最短
B ．长方形的对称性
C ．长方形四个角都是直角
D ．三角形的稳定性 11．如图，在ABC 中，70B ∠=，D 为BC 上的一点，若ADC x ∠=，则x 的度数可
能为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
12．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．55°
D ．50°
二、填空题
13．从n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n 边形分割成17个三角形，则n ＝______．
14．如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么APB ∠的度数为______°．
15．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m 块正三角形，n 块正六边形，则m+n ＝______．
16．如图，在ABC ∆中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ∆沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．
17．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．
18．如图，ABC 中，40A ∠=︒，72B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥交CE 于F ，则CDF ∠=______．
19．如图，∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠E ＋∠F ＋∠MGN ＋∠H ＋∠K ＝________．
20．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．（填写度数）．
三、解答题
21．如图①，在ABC 中，,CD CE 分别是ABC 的高和角平分线，
(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>
（1）若70,40BAC B ︒︒∠=∠=，求DCE ∠的度数
（2）若(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，则DCE ∠= (用含,αβ的代数式表示)； （3）若将ABC 换成钝角三角形，如图②，其他条件不变，试用含,αβ的代数式表示DCE ∠的度数，并说明理由；
（4）如图③，若CE 是ABC 外角ACF ∠的平分线，交BA 延长线与点E ，且30αβ︒-=，则DCE ∠= (直接写出结果)
22．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|．
23．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．
（1）如果130A ∠=︒，110D ∠=︒，求BOC ∠的度数；
（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．
24．如图ABC 中，45B ∠=︒，70ACB ∠=︒，AD 是ABC 的角平分线，F 是AD 上
一点EF AD ⊥，交AC 于E ，交BC 的延长线于G ．求G ∠的度数．
25．如图，A 、O 、B 三点在同一直线上，OE ，OF 分别是∠BOC 与∠AOC 的平分线．
求：（1）当∠BOC=30°时，∠EOF 的度数；
（2）当∠BOC=60°时，∠EOF 等于多少度？
（3）当∠BOC=n°时，∠EOF 等于多少度？
（4）观察图形特点，你能发现什么规律？
26．如图，CAD ∠与CBD ∠的角平分线交于点P ．
（1）若35C ∠=︒，29D ∠=︒，求P ∠的度数；
（2）猜想D ∠，C ∠，P ∠的等量关系．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据三角形的稳定性可以解决．
【详解】
因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A、1+2<4，不能构成三角形；
B、5+6=11，不能构成三角形；
C、3+3>3，能构成三角形；
D、8+4=12，不能构成三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于最大的数．
3．C
解析：C
【分析】
利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵△CDB′是由△CDB翻折得到，
∴∠CB′D＝∠B，
∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，
∴∠A＋∠A＋20°＝90°，
解得∠A＝35°．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x ，
∵三角形两边的长分别是1和4，
∴4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．
5．D
解析：D
【分析】
设多边形有n 条边，则内角和为180°（n ﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n ﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n 条边，由题意得：
180（n ﹣2）＝360×4，
解得：n ＝10，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n ﹣2）． 6．B
解析：B
【分析】
由B 与C ∠互余，结合180A B C ∠+∠+∠=︒，求解A ∠，从而可得答案．
【详解】 解：B 与C ∠互余，
90B C ∴∠+∠=︒，
180A B C ∠+∠+∠=︒，
90A ∴∠=︒，
ABC ∴是直角三角形，
故A 、C 、D 不符合题意，B 符合题意，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】
解：A、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；
B、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误；
C、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；
D、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
8．A
解析：A
【分析】
根据正十边形的外角和等于360︒，每一个外角等于多边形的外角和除以边数，即可得解．【详解】
︒÷=︒，
3601036
∴正五边形的每个外角等于36︒，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形以上三者之间的关系是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
利用三角形高的定义逐一判断选项，可得答案．
【详解】
A．CE不垂直AB，故CE不是ABC的高，不符合题意，
B．CE是ABC中AB边上的高，符合题意，
C．CE不是ABC的高，不符合题意，
D．CE不是ABC的高，不符合题意．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
10．D
解析：D
【分析】
在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．
【详解】
在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D 正确．
故答案选D ．
【点睛】
本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．
11．D
解析：D
【分析】
根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD ，得到x ＞70°，根据平角的概念得到x ＜180°，计算后进行判断得到答案．
【详解】
解：∵∠ADC=∠B+∠BAD ，
∴x ＞70°，
又x ＜180°，
∴x 的度数可能为80°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据邻补角的定义可求得ABC ∠和ACB ∠，再根据三角形内角和为180°即可求出A ∠．
【详解】
解：
105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，
18010575ABC ∴∠=︒-︒=︒，
18012555ACB ∠=︒-︒=︒．
180755550A ∴∠=︒-︒-︒=︒．
故选D ．
【点睛】 本题考查了邻补角和三角形内角和定理，识记三角形内角和为180°是解题的关键．
二、填空题
13．19【分析】根据从n 边形的一个顶点出发连接这个点与其余各顶点可以把一个n 边形分割成（n-2）个三角形的规律作答【详解】解：∵一个多边形从一个顶点出发连接其余各顶点可以把多边形分成(n-2)个三角形∴
解析：19
【分析】
根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形的规律作答．
【详解】
解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成(n-2)个三角形，∴n-2=17，
n=．
∴19
故答案为：19．
【点睛】
本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．
14．60【分析】先由题意得到∠A=∠B=根据直角三角形两锐角互余求得结果【详解】∵飞机P在目标A的正上方飞行员测得目标B的俯角为
30°∴∠A=∠CPB=∵CP∥AB∴∠B=∠CPB=∴=-∠B=故答案为
解析：60
【分析】
先由题意得到∠A=90︒，∠B=30，根据直角三角形两锐角互余求得结果．
【详解】
∵飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，
∴∠A=90︒，∠CPB=30,
∵CP∥AB，
∴∠B=∠CPB=30,
∠=90︒-∠B=60︒,
∴APB
故答案为：60．
【点睛】
此题考查直角三角形两锐角互余的性质，理解飞行员测得目标B的俯角为30°得到∠B=30是解题的关键．
15．4或5【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小然后列出关于mn的二元一次方程然后确定mn的值最后求m+n即可【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°120°∴60°m+120°n=360°
解析：4或5
【分析】
先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m 、n 的二元一次方程，然后确定m 、n 的值，最后求m+n 即可．
【详解】
解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°
∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6
∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2；
∴m+n=5或m+n=4．
故答案为：4或5．
【点睛】
本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．
16．54°【分析】根据折叠的性质及题意可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数从而计算∠ABD 的度数则∠BDC=∠A+∠ABD 即可计算出结果【详解】由题意可得：∠A=∠∠=∠CBE ∴则在Rt △BEC 中
解析：54°
【分析】
根据折叠的性质及题意，可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数，从而计算∠ABD 的度数，则∠BDC=∠A+∠ABD ，即可计算出结果．
【详解】
由题意可得：∠A=∠A '，∠A '=∠CBE ，
∴44ACB A CBE ∠=∠=∠，
则在Rt △BEC 中，∠C+∠CBE=90°，即：5∠CBE=90°，∠CBE=18°，
∴∠A=18°，∠C=72°，∠ABC=90°，
∴72ABA ABC CBE '=-=︒∠∠∠，
由折叠性质可知，ABD A BD '∠=∠，
∴=36ABD A BD '∠=∠︒，
∴54BDC ABD A ∠=∠+∠=︒
故答案为：54°．
【点睛】
本体三角形的折叠问题，平行线的性质及三角形的外角定理，理解图形变化中的特点，准确结合题意计算是解题关键．
17．110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得
∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE
解析：110°
【分析】
根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB ，根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB ，从而求出∠A ，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．
【详解】
解：∵=125CGB ∠︒
∴∠GBC ＋∠GCB=180°－∠CGB=55°
∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，
∴∠ABC=2∠GBC ，∠ACB=2∠GCB
∴∠ABC ＋∠ACB
=2∠GBC ＋2∠GCB
=2（∠GBC ＋∠GCB ）
=110°
∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=70°
∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，
∴∠AEC=∠FDC=90°，
∴∠ACE=180°－∠AEC －∠A=20°
∴CFB ∠=∠FDC ＋∠ACE=110°
故答案为：110°．
【点睛】
此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键． 18．74°【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数再根据CE 平分∠ACB 求得∠ACE 的度数则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED ＝∠A+∠ACE 再结合CD ⊥ABDF ⊥CE 就可求解【详解】解：
解析：74°
【分析】
先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，再根据CE 平分∠ACB 求得∠ACE 的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED ＝∠A +∠ACE ，再结合CD ⊥AB ，DF ⊥CE 就可求解．
【详解】
解：∵∠A ＝40°，∠B ＝72°，
∴∠ACB ＝180°﹣40°﹣72°＝68°，
∵CE 平分∠ACB ，
∴∠ACE ＝∠BCE ＝34°，
∴∠CED ＝∠A +∠ACE ＝74°，
∵CD ⊥AB ，DF ⊥CE ，
∴∠CDF +∠ECD ＝∠ECD +∠CED ＝90°，
∴∠CDF ＝∠CED ＝74°，
故答案为：74°．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、以及角平分线定义和垂直定义．
19．540°【分析】连接AGGD先根据
∠H+∠K=∠HGA+∠KAG∠E+∠F=∠EDG+∠FGD最后根据多边形的面积公式解答即可【详解】解：连接AGGD∵∠H+∠K+∠HMK=180°∠HGA+∠KA
解析：540°
【分析】
连接AG、GD，先根据∠H+∠K=∠HGA+∠KAG, ∠E+∠F=∠EDG+∠FGD,最后根据多边形的面积公式解答即可．
【详解】
解：连接AG、GD，
∵∠H+∠K+∠HMK=180°，∠HGA+∠KAG +∠AMG=180°，∠HMK=∠AMG
∴∠H+∠K=∠HGA+∠KAG；
同理：∠E+∠F=∠EDG+∠FGD
∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K
=∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠EDG+∠FGD＋∠MGN＋∠HGA+∠KAG
=五边形的内角和
=（5-2）×180°=540°
故答案为540°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和多边形内角和定理，根据题意正确作出辅助线成为解答本题的关键．
20．360°【分析】连接BE先利用三角形内角和定理得出∠C+∠D=∠PBE+∠PEB 继而在四边形ABEF中利用内角和定理进行求解即可【详解】连接
BE∵∠C+∠D+∠DPC=180°∠PBE+∠PEB+∠
解析：360°
【分析】
连接BE，先利用三角形内角和定理得出∠C+∠D=∠PBE+∠PEB，继而在四边形ABEF中利用内角和定理进行求解即可．
【详解】
连接BE，
∵∠C+∠D+∠DPC=180°，∠PBE+∠PEB+∠BPE=180°，∠DPC=∠BPE ，
∴∠C+∠D=∠PBE+∠PEB ，
在四边形ABEF 中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠ABP+∠PBE+∠PEB+∠PEF+∠F=360°，
∴∠A+∠ABP+∠C+∠D+∠PEF+∠F=360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及四边形内角和的应用，正确添加辅助线，准确识图，熟练应用相关知识是解题的关键．
三、解答题
21．（1）15°；（2）
1122a β-；（3）1122a β-，理由见解析；（4）75°． 【分析】
（1）根据三角形的内角和180°解得=70BCA ∠︒、20DCA ∠=︒，再根据角平分线的性质，得到35ACE ∠=︒，最后由DCE ACE DCA ∠=∠-∠解题即可；
（2）根据三角形的内角和180°解得BCA ∠、DCA ∠的度数，再根据角平分线的性质，得到ACE ∠的度数，最后由DCE ACE DCA ∠=∠-∠解题即可；
（3）根据三角形的内角和180°解得BCA ∠、DCA ∠的度数，再根据角平分线的性质，得到BCE ∠的度数，最后由DCE BCD BCE ∠=∠-∠解题即可；
（4）根据角平分线的性质，12FCE ECA FCA ∠=∠=
∠，结合三角形一个外角等于不相邻的两个内角和，解得1()2
ECA αβ∠=+，根据三角形的内角和180°解得DCA ∠的度数，最后由DCE DCA ACE ∠=∠+∠解题即可．
【详解】
（1）180BAC B BCA ∠+∠+∠=︒，70,40BAC B ∠=︒∠=︒
=180704070BCA ∴∠︒-︒-︒=︒ CE 平分BCA ∠
11703522
ACE BCA ∴∠=∠=⨯︒=︒， CD AB ⊥
180907020DCA ∴∠=︒-︒-︒=︒
352015DCE ACE DCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；
（2）若(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，
=180BCA αβ∴∠︒-- CE 平分BCA ∠
1111(180)902222
ACE BCA αβαβ∴∠=∠=︒--=︒--， CD AB ⊥
1809090DCA αα∴∠=︒-︒-=︒-
11119022(90)22
DCE ACE DCA αβαβα∴∠=∠-∠=-︒-=︒---， 故答案为：1122
a β-； （3）若将ABC 换成钝角三角形，(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，
=180BCA αβ∴∠︒-- CE 平分BCA ∠
1111(180)902222
BCE ACE BCA αβαβ∴∠=∠=∠=︒--=︒--， CD AB ⊥
1809090BCD ββ∴∠=︒-︒-=︒-
DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠
1190(90)22
βαβ=︒--︒-- 0119022
9βαβ︒+=︒--+ 1122
αβ=- 故答案为：1122αβ-
； （4）CE 是ABC 外角ACF ∠的平分线，
12
FCE ECA FCA ∴∠=∠=∠ 由三角形的外角性质得，
11=()22
FCE ECA FCA αβ∴∠=∠=∠+ CD AB ⊥
1809090ACD αα∴∠=︒-︒-=︒-
DCE ACD ACE ∴∠=∠+∠
190()2
ααβ=︒-++ 119022
αβ=︒-+ 190()2
αβ=︒-- 30αβ-=︒
19030752
DCE ∴∠=︒-⨯︒=︒ 故答案为：75︒．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形内角和180°、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．3c+a ﹣b ．
【分析】
根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a ﹣b ﹣c ＜0，b ﹣c ﹣a ＜0，c+a ﹣b ＞0．
∴|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|
＝b+c ﹣a+c+a ﹣b+c+a ﹣b
＝3c+a ﹣b ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
23．（1）120°；（2）1()2BOC A D ∠=
∠+∠ 【分析】
（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出
∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；
（2）方法同（1）
【详解】
解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°，
∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=111(221)12062
20AB ABC DC C BCD B ∠+∠=⨯+∠︒=∠=︒ ，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°；
（2）1()2
BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒
∴360()ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠
∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
1111((222)180)2
ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=︒-∠∠=+∠∠+ ∴180(1)()2
O BOC BC OCB A D ∠+∠=︒-∠=∠+∠ 【点睛】 此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．
24．12.5︒
【分析】
根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得出∠ADC 的度数，再根据垂直定义以及三角形的内角和即可得出∠G 的度数．
【详解】
解：∵∠B ＝45°，∠ACB ＝70°，AD 是ABC 的角平分线，
∴∠BAC ＝2∠CAD ＝65°，
∴∠ADC ＝180°﹣70°﹣32.5°＝77.5°，
∵EF ⊥AD ，
∴∠G ＝180°﹣90°﹣77.5°＝12.5°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，难度适中．
25．（1）∠EOF=90°；（2）∠EOF=90°；（3）∠EOF=90°；（4）∠EOF 的度数与∠BOC 的大小无关，互为邻补角的两个角的角平分线所组成的角是一个直角．
【分析】
根据∠BOC 求得∠AOC ，再由∠BOC 和∠AOC 的角平分线，即可求得；
【详解】
解：（1）∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°－30°=150°，
∵OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，
∴∠EOC=12∠BOC=15°，∠COF=12
∠COA=75°， ∴∠EOF=75°+15°=90°；
（2）∵∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°－60°=120°，
∵OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，
∴∠EOC=12∠BOC=30°，∠COF=12
∠COA=60°， ∴∠EOF=60°+30°=90°；
（3）∵∠BOC=n ，∴∠AOC=180°－n ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，
∴∠EOC=12∠BOC=90°－12n ，∠COF=12∠COA=12
n ， ∴∠EOF=90°－
12n+12n=90°； （4）∠EOF 的度数与∠BOC 的大小无关，互为邻补角的两个角的角平分线所组成的角是一个直角．
【点睛】
本题考查角平分线和规律的总结与归纳，掌握角平分线的性质是解题的关键．
26．（1）32°；（2）()12
P C D ∠=
∠+∠． 【分析】
（1）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP ，利用三角形的内角和定理可得∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C ＋∠D=2∠P ，从而求出∠P ；
（2）根据对顶角相等可得∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP ，利用三角形的内角和定理可得∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C ＋∠D=2∠P ，从而证出结论．
【详解】
解：（1）∵∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP
∴180°－（∠C ＋∠CAF ）=180°－（∠P ＋∠PBF ），180°－（∠D ＋∠DBE ）=180°－（∠P ＋∠PAE ）
∴∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②
①＋②，得
∠C ＋∠CAF ＋∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PBF ＋∠P ＋∠PAE
∵CAD ∠与CBD ∠的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE ，∠DBE=∠PBF
∴∠C ＋∠D=2∠P ∴∠P=
()12C D ∠+∠=()135292
︒+︒=32°； （2）()12
P C D ∠=∠+∠，理由如下 ∵∠AFC=∠BFP ，∠BED =∠AEP ∴180°－（∠C ＋∠CAF ）=180°－（∠P ＋∠PBF ），180°－（∠D ＋∠DBE ）=180°－（∠P ＋∠PAE ）
∴∠C ＋∠CAF=∠P ＋∠PBF①，∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PAE②
①＋②，得
∠C ＋∠CAF ＋∠D ＋∠DBE=∠P ＋∠PBF ＋∠P ＋∠PAE
∵CAD ∠与CBD ∠的角平分线交于点P
∴∠CAF=∠PAE ，∠DBE=∠PBF
∴∠C ＋∠D=2∠P
∴∠P=
()12
C D ∠+∠． 【点睛】 此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键．。