2016-2017学年高一数学4学案：3.3 二倍角的三角函数(一) 含答案

明目标、知重点 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变形,并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α，sin α
2
cos 错误!＝错误!sin α;
(2）C2α:cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3）T2α：tan 2α＝错误!。

2．倍角公式常用变形
（1）错误!＝cos_α,错误!＝sin_α；
(2）（sin α±cosα)2＝1±sin_2α；
(3）sin2α＝错误!，cos2α＝错误!。

[情境导学］利用我们已经学习的公式，能否将2sin 20°cos20°进一步化简呢？显然,利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin 20°cos20°做进一步的化简，这就使得
我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题．
探究点一二倍角公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答sin 2α＝sin（α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos（α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α）＝错误!.
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α）
＝2cos2α－1；
或cos 2α＝cos2α－sin2α＝（1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
探究点二余弦的二倍角公式的变形及应用
思考余弦的二倍角公式是否有其他变形？
答二倍角的余弦公式cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多,应用灵活．其中sin2α＝错误!，cos2α＝错误!称作降幂公式，错误!
＝sin2α
2
，错误!＝cos2错误!称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时
非常有用．
练习1：函数f（x）＝错误!sin x cos x＋cos2x－错误!的最小正周期是________．
答案π
解析∵f(x）＝错误!sin 2x＋错误!(2cos2x－1）
＝错误!sin 2x＋错误!cos 2x＝sin错误!，
∴T＝错误!＝π。

练习2:函数f（x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．
答案［－5,3]
解析f（x）＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2（sin x－1）2＋3.
当sin x＝1时，f（x）max＝3；
当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
例1 已知sin 2α＝错误!,错误!<α〈错误!,求sin 4α，cos 4α,tan 4α的值．解由错误!<α〈错误!,得错误!〈2α〈π。

又因为sin 2α＝错误!，cos 2α＝－错误!
＝－错误!＝－错误!.
于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α
＝2×错误!×错误!＝－错误!；
cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×错误!2＝错误!;
tan 4α＝sin 4α
cos 4α＝错误!＝－错误!.
反思与感悟解答此类题目一方面要注意角的倍数关系;另一方面要注意函数名称的转化方法,利用同角三角函数关系及诱导公式解决问题是常用方法．
跟踪训练1 求下列各式的值．
（1）sin 错误!sin错误!；（2）cos215°－cos275°;
(3)2cos2错误!－1;(4)错误!.
解(1）∵sin错误!＝sin(错误!－错误!）＝cos错误!,
∴sin错误!sin错误!＝sin错误!cos错误!＝错误!·2sin错误!cos错误!
＝错误!sin错误!＝错误!。

(2）∵cos275°＝cos2（90°－15°)＝sin215°,
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°
＝cos 30°＝错误!.
(3)2cos2错误!－1＝cos错误!＝－错误!.
（4）错误!＝错误!
＝错误!tan 60°＝错误!。

例2 求证：错误!＝tan4A.
证明∵左边＝错误!
＝错误!2＝错误!2＝（tan2A)2
＝tan4A＝右边，
∴错误!＝tan4A。

反思与感悟利用倍角公式证明三角恒等式,关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系,先用倍角公式统一角,再用同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ.
解方法一原式＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝tan θ。

方法二原式＝错误!
＝错误!
＝错误!＝tan θ.
例3 在△ABC中，cos A＝错误!,tan B＝2,求tan(2A＋2B）的值．
解方法一在△ABC中，由cos A＝错误!，0<A〈π，得sin A＝1－cos2A＝错误!＝错误!。

所以tan A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!,
tan 2A＝错误!＝错误!＝错误!，
又tan B＝2，
所以tan 2B＝错误!＝错误!＝－错误!。

于是tan(2A＋2B)＝错误!
＝错误!＝错误!。

方法二在△ABC中,由cos A＝4
5
，0<A〈π,
得sin A＝错误!＝错误!＝错误!.
所以tan A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!.
又tan B＝2，
所以tan(A＋B)＝错误!
＝错误!＝－错误!.
于是tan（2A＋2B）＝tan［2(A＋B)]
＝错误!＝错误!
＝错误!。

反思与感悟解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相
互关系，并根据这种关系来选择公式，“凑角法”是解决此类三角问题的常用技巧．
跟踪训练3 已知sin错误!＝错误!,0〈x<错误!，求错误!的值．
解原式＝错误!
＝错误!＝2sin错误!。

∵sin错误!＝cos错误!＝错误!,
且0〈x<错误!，
∴错误!＋x∈错误!,
∴sin错误!＝错误!＝错误!，
∴原式＝2×错误!＝错误!。

1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos15°的值等于( ）
A。

错误!B。

错误!
C.错误!D．1＋错误!
答案C
解析原式＝sin215°＋cos215°＋错误!sin 30°＝1＋错误!＝错误!。

2．sin4错误!－cos4错误!等于（）
A．－错误!B．－错误!
C。

错误! D.错误!
答案B
解析原式＝错误!·错误!
＝－错误!
＝－cos 错误!＝－错误!.
3.错误!＝________。

答案1－错误!
解析原式＝错误!·错误!＝错误!·tan15°
＝错误!tan（60°－45°)＝错误!×错误!＝1－错误!。

4．设sin 2α＝－sin α，α∈错误!,则tan 2α的值是________．
答案错误!
解析∵sin 2α＝－sin α，∴sinα（2cos α＋1)＝0,
又α∈错误!，∴sinα≠0，2cos α＋1＝0
即cos α＝－错误!，sin α＝错误!，tan α＝－错误!，
∴tan 2α＝错误!＝错误!＝错误!。

［呈重点、现规律］
1．对“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍;4α是2α的二倍;3α是错误!α的二倍；α
是错误!的二倍；错误!是错误!的二倍；错误!＝错误!（n∈N＋)．
2
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式:①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝错误!，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝错误!。

一、基础过关
1．若sin 错误!＝错误!，则cos α等于（）
A．－错误!B．－错误!
C。

错误!D。

错误!
答案C
解析cos α＝1－2sin2α
2
＝1－2×错误!2＝错误!.
2．已知sin α＋cos α＝1
3
，则sin 2α等于（)
A.错误!B．－错误!
C.错误!D．－错误!答案D
解析∵sinα＋cos α＝1
3
，∴1＋2sin αcos α＝错误!,
∴sin 2α＝－错误!.
3．若sin(错误!－α）＝错误!，则cos（错误!＋2α）的值为（) A．－错误!B．－错误!
C。

1
3
D.错误!
答案B
解析cos（错误!＋2α)＝－cos（错误!－2α)＝－cos［2（错误!－α）］＝－［1－2sin2(错误!－α)］＝2sin2(错误!－α)－1＝－错误!.
4．若错误!＝1，则错误!的值为（）
A．3 B．－3 C．－2 D．－错误!
答案A
解析∵错误!＝1，∴tanθ＝－错误!。

∴错误!＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝3.
5．已知等腰三角形底角的正弦值为错误!，则顶角的正弦值是( ) A.错误!B。

错误!
C．－错误!D．－错误!
答案A
解析设底角为θ，则θ∈错误!,顶角为180°－2θ。

∵sinθ＝错误!，∴cosθ＝错误!＝错误!。

∴sin（180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ
＝2×错误!×错误!＝错误!。

6．2sin222。

5°－1＝________。

答案－错误!
解析原式＝－cos 45°＝－错误!。

7．已知α∈（⎭⎪⎪⎫π2π，sin α＝错误!。

(1)求sin错误!的值；
（2)求cos错误!的值．
解（1)因为α∈错误!，sin α＝错误!，
所以cos α＝－错误!＝－错误!。

故sin错误!＝sin 错误!cos α＋cos 错误!sin α
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!.
(2）由(1)知sin 2α＝2sin αcos α
＝2×错误!×错误!＝－错误!，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×错误!2＝错误!，
所以cos错误!＝cos 错误!cos 2α＋sin 错误!sin 2α
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!。

二、能力提升
8．4cos 50°－tan 40°等于( )
A.错误!B。

错误!
C。

错误!D．2错误!－1
答案C
解析4cos 50°－tan 40°＝错误!
＝错误!＝错误!
＝错误!
＝错误!＝错误!。

9．函数y＝sin 2x＋2错误!sin2x的最小正周期T为________．答案π
解析∵y＝sin 2x＋错误!（1－cos 2x)
＝2sin错误!＋错误!，∴T＝π。

10．已知tan 错误!＝3，则错误!＝______。

答案3
解析错误!＝错误!
＝错误!
＝tan 错误!＝3。

11．（1）已知π〈α〈错误!π，化简错误!＋错误!；(2）化简：sin 50°(1＋错误!tan 10°)．
解(1）∵π<α〈错误!π，∴错误!<错误!〈错误!π,
∴1＋cos α＝错误!｜cos 错误!|＝－错误!cos 错误!，
错误!＝错误!｜sin 错误!｜＝错误!sin 错误!.
∴错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝－2cos 错误!.
（2）原式＝sin 50°错误!
＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝1.
12．求值：（1)sin 6°sin42°sin66°sin78°；
（2)错误!.
解(1）原式＝sin 6°cos48°cos24°cos12°
＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!。

(2）∵sin50°(1＋3tan 10°)
＝sin 50°·错误!
＝sin 50°·错误!＝1,
cos 80°1－cos 20°＝sin 10°错误!＝错误!sin210°，
∴错误!
＝错误!＝错误!。

三、探究与拓展
13．已知向量a＝错误!，b＝(错误!sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f（x）＝a·b。

(1）求f(x)的最小正周期；
(2）求f(x）在错误!上的最大值和最小值．
解(1）∵f(x)＝a·b＝错误!sin x cos x－错误!cos 2x
＝错误!sin 2x－错误!cos 2x＝sin错误!.
∴f(x)的最小正周期为T＝2π
2
＝π.
（2）∵x∈错误!，
∴2x－错误!∈错误!，
∴sin错误!∈错误!，
故当2x－错误!＝错误!即x＝错误!时，f(x)max＝1；
当2x－错误!＝－错误!即x＝0时，f(x）min＝－错误!。