江苏省南京市六校联合体2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)-含答案

南京市六校联合体高二期末试卷 数学（理科） 2018.6
参考公式：方差2
21
1()n
i i s x x n ==-∑
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．
. 1．设i 为虚数单位，复数2i
z i
+=
，则z 的模||z = ▲ . 2．一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为 ▲ .
3．命题“若0a =，则复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题．．．是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）
4．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为 ▲ .
5．将一颗骰子抛掷两次，用m 表示向上点数之和，则10m ≥的概率为 ▲ . 6．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ▲ . 7．函数()y f x =在点(1,)P m 处切线方程为60x y +-=，则(1)(1)f f '+= ▲ . 8．若21(2)n
x x
-
的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是 ▲ . 9．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为 ▲ .
10．若2624
101201256(2)x a a x a x a x a x +=+++
++，
则0246a a a a +++= ▲ .
11．已知m ∈R ，设命题P ：2
,10x R mx mx ∀∈++>； 命题Q ：函数3
2
()31f x x x m =-+-只有一个零点. 则使“P ∨Q ”为假命题的实数m 的取值范围为 ▲ .
12．有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2
小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有 ▲ 种不同的选法.
A
1
B
A
D C
O （第16题） E B
B 1
A 1
C B
C 1
D 1
13．观察下列等式：
请你归纳出一般性结论 ▲ .
14．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则
q p -的最大值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是12,
1x t y t
=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．求直线l 被曲线C 截得的弦长.
16.（本小题满分14分）
在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .
（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值; （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.
17.（本小题满分14分）
已知()()
2
3
*012312n
n n x a a x a x a x
a x n N +=++++∈，
（1）求()
3
1223
12222n
n
n
a a a a s =-
+-++-的值; （2）若87a a >且89a a >，求n 的值; （3）求证：2018
1(1)71000
+>.
18.（本小题满分16分）
某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次
抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量ξ表示该游戏者所得分数. （1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率; （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
19.（本小题满分16分） 已知函数3
2
2
()f x x mx m =++
（1）若()f x 在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围; （2）若()()g x f x nx =+在1x =处有极值10，求m n +的值;
（3）若对任意的12,[1,1]x x ∈-，有12|()()|2f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.
20.（本小题满分16分）
把圆分成(3)n n ≥个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有()f n 种方法.
(1)写出(3)f ，(4)f 的值；
(2)猜想()f n (3)n ≥，并用数学归纳法证明。

南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科）参考答案
一、填空题
2.
15. 3. 真 4.2 5.1
6
6. 900
7.4
8.240
9.48 10.365 11.45m ≤≤ 12.136
13.2
2
2
2
2
2
(7)(74)(75)(71)(72)(76)k k k k k k ++++=+++++k z ∈ 14.18
二、解答题
15.曲线C 的直角坐标方程是2
2
(1)1x y +-=…………4分
直线l 的普通方程是230x y +-=…………………8分
圆心C 到直线l 的距离d =
11分
14分 16.解(1以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．
则A (1，0，0)，()
11022
O ，，，()010C ，，
，D 1(0，0，1)， E ()
1114
4
2
，，，
于是()111442
DE =，，，()1
011CD =-，，
.
由cos 1DE CD 〈〉，＝
11||||
DE
CD DE CD ⋅⋅＝
. 所以异面直线AE 与CD 1. ………6分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(1，y 1，1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0 得 1111110220x y y z ⎧-=⎪
⎨⎪-+=⎩，，
取1＝1，得y 1＝1＝1，即m =(1，1，1) . ………8分
由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭
，，.10分
又设平面CDE 的法向量为n ＝(2，y 2，2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0.
得 2222
002(1)2(1)1y x y z λλλλλ
=⎧⎪
⎨++=⎪+++⎩
，
， 取2=2，得2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .12分 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……14分 17（1）令1
2x =-
，则()
3120231222
2
n
n
n a a a a a -+-++-=0，又01a = 所以1S =-………………………………………………………………4分
（2）由8877
8899
2222n n
n n
C C C C ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得11252
n n >⎧⎪⎨<⎪⎩，所以12n = ………………9分
（3）2018
1(1)1000
+
234
1234
2018
20182018201811114211227100010001000100033C
C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
………………………………………………………………14分 18．⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为211=
p 、3
12=p 、31
6p =，该游戏者有机会
抛掷第3次骰子为事件A ．
则1212122
()(1)(1)3
=-+-+=
P A p p p p p p ； 答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为
2
3
………………………………6分 (2)由题意可知，ξ的可能取值为0、3、6、7、10，
3
1)1)(1()0(21=
--==p p P ξ， 123123555(3)(1)(1)(1)(1)183612
P p p p p p p ξ==--+--=
+=， 1235(6)(1)36
P p p p ξ==-=
， 123123211
(7)(1)(1)363612
P p p p p p p ξ==-+-=
+=， 1231(10)36
P p p p ξ===， 所以ξ的分布列为
14分
所以ξ的数学期望1551153
03671031236123618
E ξ=⨯+⨯
+⨯+⨯+⨯=…………………16分 19解：(1) f ＇()=32+2m ，由f ()在区间[1，+∞)上是单调递增函数得， 当≥1时，32
+2m ≥0恒成立，即m ≥－3
2
恒成立，
解得m ≥－3
2
；………………………………4分
（2）2
()32g x x mx n '=++，由题(1)03(1)103g m g n '==-⎧⎧⇒⎨⎨
==⎩⎩或411m n =⎧⎨=-⎩
当3
3
m n =-⎧⎨
=⎩时，()0g x '≥，()g x 无极值，舍去.
所以7m n +=-…………………………8分（没有舍扣2分）
（3）由对任意的1，2∈[－1，1]，有| f (1)－f (2)|≤2恒成立，得f ma ()－f min ()≤2．
且| f (1)－f (0)|≤2，| f (－1)－f (0)|≤2，解得m ∈[－1，1]，…………10分 ①当m =0时，f ＇()≥0，f ()在[－1，1]上单调递增，
f ma ()－f min ()= | f (1)－f (－1)|≤2成立．……………………………11分
②当m ∈(0，1]时，令f ＇()＜0，得∈(－23m ，0)，则f ()在(－2
3
m ，0)上单调递减；
同理f ()在(－1，－2
3
m )，(0，1)上单调递增，
f (－23m )= 427m 3+m 2
，f (1)= m 2+m +1，下面比较这两者的大小，
令h (m )=f (－23m )－f (1)= 4
27
m 3－m －1，m ∈[0，1]，
h ＇(m )= 4
9
m 2－1＜0，则h (m )在(0，1] 上为减函数，h (m )≤h (0)=－1＜0，
故f (－2
3m )＜f (1)，又f (－1)= m －1+m 2≤m 2=f (0)，仅当m =1时取等号.
所以f ma ()－f min ()= f (1)－f (－1)=2成立．
③同理当m ∈[－1 ，0)时，f ma ()－f min ()= f (1)－f (－1)=2成立． 综上得m ∈[－1 ，1]．…………………………16分 20.解：（1）(3)24,(4)84f f ==…………2+4=6分
（2）．当4n ≥时，首先，对于第1个扇形1a ，有4种不同的染法，由于第2个扇形2a 的颜色与1a 的颜色不同，所以，对于2a 有3种不同的染法，类似地，对扇形3a ，…，1n a -均有3种染法．对于扇形n a ，用与1n a -不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形1a 颜色相同的情况，而扇形1a 与扇形n a 颜色相同的不同染色方法数就是(1)f n -，于是可得
1()43(1)n f n f n -=⨯--…………………………10分
猜想()3(1)3n
n
f n =+-⋅…………………………12分
① 当3n =时，左边(3)24f =，右边3
3
3(1)324+-⋅=，所以等式成立
② 假设(3)n k k =≥时，()3(1)3k
k
f k =+-⋅，
则1n k =+时，(1)43()433(1)3k
k
k
k
f k f k +=⨯-=⨯---⋅1
13
(1)3k k ++=+-⋅
即1n k =+时，等式也成立
综上()3(1)3n
n
f n =+-⋅(3)n ≥…………………………16分。