高三数学专题二 数形结合的思想方法课件

程不可解，不能独立求解每一个方程，把两个方程联系起
来，思考解题方法. ［解析］ 两个方程都可以变形：lgx=3－x, 10x=3－x， 设f(x)=10x,则f －1(x)=lgx，y=3－x， 且 x1，x2分别为两函数f(x)=10x, y= 3－x的图象交点的横坐标， 返回目录 f
－1(x)=lgx的图象与
种意识和能力.
［答案］ D
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4. 已知 f(x) 是定义在 ( － 3,3) 上的奇函数 , 当 0<x<3 时 , f(x) 的图象如图所示，那么不等式 f(x)cosx<0 的解 集是
(
)
π π A.( 3, ) (0,1) ( ,3) 2 2 π π B.( ,1) (0,1) ( ,3) 2 2 C.( 3,1) (0,1) (1,3) π D.( 3, ) (0,1) (1,3) 2
坐标、等式或不等式等；“形”是数学研究中的图形形式，泛
指表示量与之对应的图形、几何意义等 . 数形结合，是把同一 数学问题在数量关系和空间形式这两个方面结合起来思考问题， 由形思数，由数思形，互相联想，达到互相转化并使问题得以 解决的数学思想. “数”和“形”是数学的两个最基本的研究对象，但在数 学早期发展史上，人们对数与形的研究是相对独立和隔离的， 从中发展出相对独立的代数学和几何学，直到解析几何学的建 立，通过坐标系才使数与形这两个对象完到直线①的距离为d， 则d
|1 4 t | 5 5 , 即5－t=±5.
∴tmin=0,tmax=10.
∴x－2y的最大值为10，故选D. ［点评］ 令t=f(x,y)，从而构造出t的几何意义，这是解
决某些代数式问题的常用方法 .有许多的数学问题，从叙述过
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来，并促使数学科学迅速发展成近代的数学 . 著名数学家拉格 朗日指出：“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，
它们的应用就狭窄，但是当这两门学科结合成伴侣时，它们互
相吸取新鲜的活力，从此以后，就以快速的步伐走向完善.” 一般意义下，将数与形结合在一起的背景是坐标系，就是 对于某些数学问题，通过引进坐标系，把问题的条件和结论， 用点的坐标表示为某些数量的关系式，然后用代数知识解决的 方法，这种方法称为坐标法，也叫解析法 . 解析几何学的内容 本身是坐标方法和数形结合思想的载体，数形结合思想和坐标 法相辅相成. 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，近几年的高 返回目录
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1.若实数x，y满足x2+y2－2x+4y=0,那么x－2y的最大值是 ( ) C.9 D.10 A. 5 B.5 2 5 ［解析］ 令t=x－2y,即x－2y－t=0, ∵点(x,y)在圆(x－1)2+(y+2)2=5上， 当直线①与圆相切时，t取最大值或最小值. ①
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第一部分 常用数学思想方法 专题二 数形结合的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（6） 规律总结 ……………………………………………（20）
专题概览
“数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个对 象 .“数”是指数学研究中的数量关系，如，数字特征、点的
所以，应选B. ［点评］ f(x)在y轴左边的图象可由奇函数图象关于原 点对称画出，也用了对称的思想方法. ［答案］ B 返回目录
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［解析］ 显然，不能直接解不等式，注意到由已知用 对称的方法可画全 f(x) 在 ( － 3,3) 上的图象， cosx 的图象又熟 知，运用数形结合，如下图所示，从“形”中找出图象分 π π ( , 1 ) ( 0 , 1 ) ( ) 间 别 在 x 轴 上 、 下 部 分 对 应 的 “ 数 ” 的 ,3 区 2 2 为 .
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考中的解析几何问题、函数与不等式问题、参数范围问题、集
合问题、立体几何问题等都用到数形结合的思想方法，这不仅 是我们解题的一种思想方法，更重要的是我们进一步学习、研
究数学的有力武器，应用数形结合思想方法，通常可以从以下
几个方面入手： (1)函数以及函数图象；
(2)曲线与方程；
(3)可行域与目标函数的最值； (4)概念自身的几何意义； (5)不等式与函数图象.
［答案］ 3
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3.若0<x< π ，则下列命题中正确的是
2 3 A.sin x x π 4 C. sin x 2 x 2 π
B. sin x 3 x π 4 D. sin x 2 x 2 π
(
)
［解析］ 由不等式的结构特 征可判断该题应用数形结合的方 法进行求解. 令y＝sinx，y＝ 3 x，画出图 π 象如右图： 由图象可知在(0,
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x y x , 得 ∵图象关于y=x对称，由 y 3 x y x1 x 2 3 , x1 x 2 3.故填 3. 2 2
3 , 2 3 , 2
［点评］
把两个方程的根综合分析，把根理解为图象
交点的横坐标，运用数形结合思想思考问题，开辟了较好的 解题途径，开阔了解题思路.
程看，属于代数问题，如果能把内容赋予几何意义，作出相 关的解释，“以形助数”，就可从形的角度进行思考，这种
意识需要在解题时有目的地训练.
［答案］ D 返回目录
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2. 已知 x1 是方程 x+lgx=3 的一个根， x2 是方程 x+10x=3 的 一个根，那么x1+x2= ［分析］ .
通过等号连接的代数式与超越式构成的方
sinx与y＝
除A，B.
3 x的大小不确定，故排 π
π ) 内, y ＝ 2
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再令y＝sinx，y＝
4 2 x ,画出它们在图象如下图： 2 π
由图象可知选D.
［点评］ 涉及大小关系的比较，常可构造函数，利用 数形结合的思想方法进行求解.数形结合是数学解题中的一
种常用方法，它可以使许多问题得到简化，考生应培养这