2015-2016年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学
试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）
A．a，b，c中至多有一个偶数
B．a，b，c中一个偶数都没有
C．a，b，c至多有一个奇数
D．a，b，c都是偶数
3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）
A．1B．2C．D．
5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）
A．1B．2C．﹣3D．
6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”
的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）
A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项
7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．6
8．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）
A．89B．90C．98D．99
9．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3] 11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．
A．2014B．2016C．1007D．1008
12．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=．
14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=．
15．（5分）给出下列三个类比结论：
①“（ab）n=a n b n”类比推理出“（a+b）n=a n+b n”；
②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．类比推理出：已知向量，，，
若∥，∥，则∥；
③同一平面内，直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．类比推理出：空间中，
已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ．
其中结论正确的有个．
16．（5分）若函数f（x）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a的值为．
三、解答题：本大共6小题，共70分
17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．
（1）若z是纯虚数时，求a的值；
（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．
18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．
（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．
19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．
20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．
（1）写出S1，S2，S3，S4；
（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．
22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．
2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期
中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：z====2+i，
则=2﹣i，
则对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，
故选：D．
2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）
A．a，b，c中至多有一个偶数
B．a，b，c中一个偶数都没有
C．a，b，c至多有一个奇数
D．a，b，c都是偶数
【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，
故选：B．
3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：∵f（x）=a，
∴f′（x）=，
∴f′（1）=1=，
∴a=2，
故选：C．
4．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）
A．1B．2C．D．
【解答】解：【法一】∵（1﹣i）z=，
∴z===﹣1，
∴|z|=1．
【法二】∵（1﹣i）z=，
∴|1﹣i|•|z|=，
即•|z|=，
解得|z|=1．
故选：A．
5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）
A．1B．2C．﹣3D．
【解答】解：由f（x）=sin（4x+）+ax，得：f′（x）=4cos（4x+）+a，∴f′（0）=2+a，
即曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线的斜率为2+a．
又曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，
∴2+a=3，解得a=1．
故选：A．
6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”
的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）
A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项
【解答】解：用数学归纳法证明1+++…+＜n的过程中，假设n=k时不
等式成立，左边=1+++…+，
则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，
故选：C．
7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．6
【解答】解：由题意，由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积S=∫01（2x2﹣x+2）dx==．
故选：A．
8．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）
A．89B．90C．98D．99
【解答】解：由已知得出：若9+=92×（a，b为正整数），
则a=92﹣1=80，b=9，
所以a+b=89，
故选：A．
9．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定
【解答】解：∵P=+，Q=+1，
∴P﹣Q=+﹣﹣1==，
∵a1、a2∈（1，+∞），
∴1﹣a1＜0，a2﹣1＞0，
∴P﹣Q＜0，
即P＜Q．
故选：C．
10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3]
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1），可得a2﹣1＞0，解得a＜﹣1或a＞1，
∴f′（x）=3ax2﹣4ax+（a+1），
△=16a2﹣12a（a+1）≤0时，
即1＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
综上，函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x不存在极值点的充要条件是1＜a≤3．故选：D．
11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．
A．2014B．2016C．1007D．1008
【解答】解：观察下列数的规律图：
1
234
34567
45678910
…
知：第1行各数之和是1=12=（2×1﹣1）2，
第2行各数之和是2+3+4=32=（2×2﹣1）2，
第3行各数之和是3+4+5+6+7=52=（2×3﹣1）2，
第4行各数之和是4+5+6+7+8+9+10=72=（2×4﹣1）2，
∴第n行各数之和是（2n﹣1）2，
由20152=（2n﹣1）2，解得n=1008．
故选：D．
12．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）【解答】解：∵y=f（x﹣3）为奇函数，
∴f（0）=f（3﹣3）=﹣f（﹣3﹣3）=﹣f（﹣6）=3
设g（x）=（x∈R），
则g′（x）=，
又∵f′（x）＞f（x），
∴f′（x）﹣f（x）＞0，
∴g′（x）＞0．
∴y=g（x）单调递增．
由f（x）＜3e x．
即g（x）＜3．
又∵g（0）==3，
∴g（x）＜g（0）
∴x＜0．
故选：C．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=﹣1．
【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i 它是实数1+m3=0∴m=﹣1
故答案为：﹣1．
14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则
a=﹣．
【解答】解：函数f （x ）=ax 3+2x ﹣1的导数为：f ′（x ）=3ax 2+2，f ′（1）=3a+2，而f （1）=a+1，
切线方程为：y ﹣a ﹣1=（3a+2）（x ﹣1）， 因为切线方程经过（3，4）， 所以4﹣a ﹣1=（3a+2）（3﹣1），
解得a=﹣． 故答案为：﹣．
15．（5分）给出下列三个类比结论：
①“（ab ）n =a n b n ”类比推理出“（a+b ）n =a n +b n ”；
②已知直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；
③同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ． 其中结论正确的有 0 个．
【解答】解：当n=2时，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2≠a 2+b 2，故①错； 当=，向量与不一定平行，故②错；
若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交，故③错． 故答案为：0．
16．（5分）若函数f （x ）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a 的值为
．
【解答】解：由f （x ）=lnx+（x ＞0），得f ′（x ）=﹣
=
，
f ′（x ）=0则x=a ，若a ＜1，则f （x ）min =f （1）=a=，不满足题意；
若a ＞e ，则f （x ）min =f （e ）=1+=，则a=＜e ，不合题意；
若e ≥a ≥1，则f （x ）min =f （a ）=lna+1=，则a=＜e ，满足题意；
故答案为：
．
三、解答题：本大共6小题，共70分
17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．
（1）若z是纯虚数时，求a的值；
（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．
【解答】解：复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．
（1）若z是纯虚数时，可得：a2﹣1=0，a2﹣3a+2≠0，解得a=1．
a的值为：1；
（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，
可得：a2﹣1＞﹣a2+3a﹣2≠0，解得a＞1或a且a≠2．
a的取值范围：（﹣∞，）∪（1，2）∪（2，+∞）．
18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．
（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．
【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则a2+b2=25，
∵（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=（3a﹣4b）+（4a+3b）i，
∴，解得或．
∴z=4+3i或z=﹣4﹣3i．
（2）证明：∵m＞0，∴1+m＞0，
欲证（）2≤成立，
只需证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），即证m（a2﹣2ab+b2）≥0，
即证（a﹣b）2≥0，
显然（a﹣b）2≥0恒成立，
∴（）2≤．
19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．
【解答】解：由f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，
则f′（x）=sinx+xcosx+acosx﹣（ax+b）sinx=（x+a）cosx﹣（ax+b﹣1）sinx，与f′（x）=xcosx﹣sinx比较可得：，可得．
∴a=0，b=2．
20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立．
∵x≥1．∴a ≤（x ﹣），
当x≥1时，令g（x）=（x ﹣）是增函数，g（x）min=（1﹣1）=0．
∴a≤0．
（2）∵x=3是f（x）的极值点
∴f′（3）=0，即27﹣6a﹣3=0，∴a=4．
∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x有极大值点x=﹣，极小值点x=3．
此时f（x）在x∈[﹣，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数．
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=﹣18，最大值是：f（1）=﹣6，（因f（a）=f（4）=﹣12）．
21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．
（1）写出S1，S2，S3，S4；
（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）S1=a1=，
S2=（2×4﹣2）（S2﹣S1），∴S2=，
S3=（2×9﹣3）（S3﹣S2），∴S3=，
S4=（2×16﹣4）（S4﹣S3），∴S4=
（2）由（1）的计算可猜想S n =，
下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即S k =，
则当n=k+1时，S k+1=[2×（k+1）2﹣（k+1）]（S k+1﹣S k），
第11页（共13页）
∴（2k2+3k）S k+1=k（k+1），
∴S k+1=
=，
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S n =．
22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．
【解答】解：（1）f′（x）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=e x+e x（x﹣1）=xe x，
当x＞0时，h′（x）=xe x＞0，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴h（x）＞h（0）=0
故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）|f（x）﹣
1|=||，
当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣
1|=，
原不等式化为＜a，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
令∅（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=e x﹣（1+a），
由∅′（x）=0得：e x=1+a，解得x=ln（1+a），
当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．
故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
令s（a）
=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0．
第12页（共13页）
故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0．
因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
第13页（共13页）。