山西省忻州市忻州一中2025届高三第三次测评数学试卷含解析

山西省忻州市忻州一中2025届高三第三次测评数学试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线()2
20y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的
中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13
±
B
．3
±
C ．±1 D
． ±2
．己知a =544log 21b =， 2.9
13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>
3．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
1
3
B
．
3
C
D ．
23
4．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆2
2
:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
5．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0
B ．
2
π C ．π
D ．
32
π 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的
，则E 的离心率为( ) A
B ．
12
C
．
2
D
．
3
7．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ）
A ．22
π
αβ+=
B ．4
π
αβ+=
C ．4
αβ-=
π D ．22
π
αβ+=
8．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列
结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8
D ．平均数为20，方差为8
9．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）
①与点D 的点P 形成一条曲线，则该曲线的长度是
2
π；
②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是⎣；
③若DP =DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．若双曲线22
2
:14x y C m -=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A ．2
B ．4
C D ．12．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．{2}
B ．{1,0}-
C ．{}1-
D ．{1,0,1}-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若0a b +≠，则()
22
2
1
a b a b ++
+的最小值为________.
14．已知复数()2
2z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是_____，z =_____． 15．()6
21x -的展开式中2x 的系数为__________（用具体数据作答）.
16．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图,直角三角形ABD 所在的平面与半圆弧BD 所在平面相交于BD ,2AB BD ==，E ,F 分别为AD ,BD 的中点, C 是BD 上异于B ,D 的点, 2EC =
.
（1）证明:平面CEF ⊥平面BCD ;
（2）若点C 为半圆弧BD 上的一个三等分点(靠近点D )求二面角A CE B --的余弦值.
18．（12分）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点.
（1）求证：//OB 平面1ACD ； （2）求二面角11C AD C --的正弦值.
19．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，12CC =，ABC ，1ACC △，均为正三角形，E 为AB 的中点．
（Ⅰ）证明：1//AC 平面1B CE ；
（Ⅱ）求斜三棱柱111ABC A B C -截去三棱锥1–B CBE 后剩余部分的体积． 20．（12分）已知函数()|2||4|f x x x =++-. (1)求不等式()3f x x ≤的解集；
(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.
21．（12分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．
（1）试用x ，y 表示L ；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
22．（10分）已知函数f(x)＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)(a≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p
x my =-
，由题意得出212
y y =，将直线l 的方程与抛物线的方
程联立，列出韦达定理，结合2
12
y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】
由题意可知点,02p C ⎛⎫-
⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2
p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则2
12
y y =
， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px
⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，
由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，222
2121829m p y y y p ===
，解得4
m =±
， 因此，直线l
的斜率为13
m =±
. 故选：B. 【点睛】
本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 2、B 【解析】
先将三个数通过指数，对数运算变形1
04
661a ==>=， 2.9
5
544
411log log 10,012133b c ⎛⎫
⎛⎫
=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
再判断. 【详解】
因为1
04
661a ==>=， 2.9
5
544
411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫
=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 3、C 【解析】
试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，
则312
,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=
⋅ 222
312()()()
3222331
2()()
22
a a a a a +-=
=⨯⋅，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 4、B 【解析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】
因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：
所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<
当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,
故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，
综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 5、D 【解析】
依次将选项中的θ代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【详解】
当0θ=时，()sin f x x =在[]0,π上不单调，故A 不正确； 当2
π
θ=
时，()cos f x x =在[]0,π上单调递减，故B 不正确；
当θπ=时，()sin f x x =-在[]0,π上不单调，故C 不正确； 当32
π
θ=
时，()cos f x x =-在[]0,π上单调递增，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题. 6、A 【解析】
由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有21b
a
=，再利用222a b c =+即可解决. 【详解】
由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以
21b
a
=，
即(
)22
2
4a c a -=，解得e =
故选：A. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 7、C 【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫
==+ ⎪-⎝⎭
,即可求得结果.
【详解】
2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫
====+ ⎪-+--⎝⎭
，
所以4
π
αβ=+，即4
αβ-=
π
. 故选:C. 【点睛】
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 8、D 【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】
样本1231,1,1,
,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，
所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=.
故选:D. 【点睛】 样本123,,,,n x x x x 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++的平均数为ax b +,方差为22a s .
9、B 【解析】
由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】
由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直” 则(1)2(2)0a a a ++⨯-=，解得0a =或3a =，
所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 10、C 【解析】
①与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的
1
4
圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或
1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角
1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则22
13x y ++=，即222x y +=，
可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：
①错误， 因为1D P =
=
=，
与点D P 形成以1D 为圆心，的
1
4圆弧MN ，长度为124⋅=； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A
所成角1DA O ∠（或1DC O ∠最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A
所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； ③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为
21y +，
21x +，22
x y +，
所以六个面上的正投影长度之(
)
222
2
11
2112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭
，
当且仅当P 在1O 时取等号. 故选：C .
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 11、B 【解析】
根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果. 【详解】
因为双曲线22
2:14x y C m
-=的焦距为5
故可得(2
2
45
m +=，解得2
16m
=，不妨取4m =；
又焦点()
25,0F ，其中一条渐近线为2y x =-，
由点到直线的距离公式即可求的4545
d ==.
故选：B. 【点睛】
本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.
12、B
【解析】
求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<，
所以，{}1,0A B ⋂=-.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
【解析】 由基本不等式，可得到2222222
22
()()2()222≥a b a b a b ab a b a b +++++++==，然后利用
222
221()1()2()a b a b a b a b +++≥+≥++，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

【详解】 由题意，2222222
22
()()2()222≥a b a b a b ab a b a b +++++++==，当且仅当a b =时等号成立，
所以222221()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++22()12()a b a b +=+时取等号，
所以当342a b -==时，222
1()a b a b ++
+ 【点睛】 利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。

14、34i + 5
【解析】
直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数z 的共轭复数和z 的模．
【详解】
()2
224434z i i i i =-=-+=-，则复数z 的共轭复数为34i +，且()22345z =+-=. 故答案为：34i +；5.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．
15、60
【解析】
利用二项展开式的通项公式可求2x 的系数.
【详解】
()621x -的展开式的通项公式为()
()61621r r r r T C x -+=-， 令62r -=，故4r =，故2x 的系数为()44261260C -⨯=.
故答案为：60.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.
16、12
【解析】
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．
【详解】
根据约束条件画出可行域，如下图，由
，解得 目标函数
，当过点时，有最大值，且最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）详见解析；（2）
10535. 【解析】
（1）由直径所对的圆周角为090，可知BC BD ⊥，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形，所以有EF FC ⊥.由已知可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明EF ⊥平面BCD ，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面CEF ⊥平面BCD ;
（2）以F 为坐标原点，分别以垂直于平面BCD 向上的方向、向量,FD FE 所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，求出相应点的坐标，求出平面ACE 的一个法向量和平面BCE 的法向量，利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角A CE B --的余弦值.
【详解】
解：（1）证明：因为C 半圆弧BD 上的一点，所以BC BD ⊥.
在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112
EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==，
所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥.
因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以
. 因为EF FC ⊥，
，BD FC F ⋂=，
所以EF ⊥平面BCD .
又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .
（2）由已知120BFC ∠=，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE 所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -， 则31(,,0)22C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -, 31=(,,1)22
CE --,(0,1,1)BE =,(0,1,1)AE =-. 设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,
则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩即1111103102
2y z x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取11z =,得3,1,13=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,
则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩即2222203102
2y z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z =,得3,1,1=-（）n . 所以1105cos ,=||||352153
<>==⨯m n m n m n ， 又二面角A CE B --为锐角，所以二面角A CE B --的余弦值为
10535.
【点睛】
本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.
18、（1）见解析；（2）
33
. 【解析】
（1）取AC 的中点M ，连接BM 、1D M ，连接11B D ，证明出四边形1MBOD 为平行四边形，可得出1//OB MD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角11C AD C --的余弦值，进而可求得其正弦值.
【详解】
（1）取AC 中点M ，连接MO 、BM 、1D M ，
11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =， O 、M 分别为11A C 、AC 中点，1//AM AO ∴且1
AM AO =， 则四边形1
AAOM 为平行四边形，1//OM AA ∴且1OM AA =， 11//AA BB 且11AA BB =，1//OM BB ∴且1OM BB =，
所以，四边形1BB OM 为平行四边形，1//BM OD ∴且1BM OD =，
∴四边形1MBOB 为平行四边形，1//OB D M ∴，
1MD ⊂平面1ACD ，OB ⊄平面1ACD ，//OB ∴平面1ACD ；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1A xyz -，则()2,2,2C 、()0,0,2A 、()12,2,0C 、()12,0,0D ，
()12,0,2AD =-，()2,2,0AC =，()110,2,0DC =，
设平面1ACD 的法向量为()111,,m x y z =，
由100
m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111220220x y x z +=⎧⎨-=⎩，取11x =，则11y =-，11z =，()1,1,1m ∴=-， 设平面11AD C 的法向量为()222,,n x y z =，
由11100
n D C n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22220220y x z =⎧⎨-=⎩，取21x =，则20y =，21z =，()1,0,1n ∴=，
2cos 3m n
m n m n ⋅<⋅>===⨯⋅23sin ,1cos ,3
m n m n ∴<
>=-<>=， 因此，二面角11C AD C --【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
52 【解析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，证明1//ME AC ； （Ⅱ）由题意可知点1B 到平面ABC 的距离等于点1C 到平面ABC 的距离，根据体积公式剩余部分的体积是1111ABC A B C B BCE V V ---.
【详解】
（Ⅰ）如图，连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，则1//ME AC ．
因为1AC ⊄平面1B CE ，ME ⊂平面1B CE ，所以1//AC 平面1B CE ．
（Ⅱ）因为11B C 平面ABC ，所以点1B 到平面ABC 的距离等于点1C 到平面ABC 的距离．
如图，设O 是AC 的中点，连接1OC ，OB ．因为1ACC △为正三角形，所以1OC AC ⊥，
又平面ABC ⊥平面11A ACC ，平面ABC
平面11A ACC AC =，所以1OC ⊥平面ABC ．
所以点1C 到平面ABC 的距离1OC =，故三棱锥1B BCE -的体积为
111111111133332322
B BCE BCE V S O
C BE CE OC -=⋅=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=． 而斜三棱柱111ABC A B C -的体积为1111233322ABC V S
OC AB CE OC =⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=． 所以剩余部分的体积为15322
-=．
【点睛】
本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线.
20、 (1)[)2,+∞；(2)(],2-∞.
【解析】
（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可；
（2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤+
+---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围. 【详解】 (1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >，
当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25
x ≥，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤
综上所述，不等式解集为[)2,+∞.
(2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，
当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈；
当1x ≠时，24131333111111
x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----. 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
当且仅当3311011x x ⎛
⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
即4x ≥或2x -≤时，等号成立， 所以k 2≤；
综上k 的取值范围是(],2-∞.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.
21、（1
）822()L x y =++（2
）16+【解析】
试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长15x -，竖直方向每根支条长为132
y -，因此所需木料的长度之和
L 2(15)4(13)82y x =-+-+
822()x y ++（2）先确定范围由152,{132,2x y -≥-≥可得1301311x ≤≤，再由面积为130 cm2，得1132xy =
，转化为一元函数260822()L x x
=++，令260t x x =+
，则82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，解得L
有最小值16+ 试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152x m x -=
=-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm
2
．从而，所需木料的长度之和
L 2(15)4(13)82y x =-+-+
822()x y ++cm ． （2）由题意，1132xy =，即260
y x =，又由152,{132,2x y -≥-≥可得1301311x ≤≤
．所以260822()L x x =++． 令260
t x x =+，其导函数226010x -<在1301311
x ≤≤上恒成立，故260t x x =+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈
．则26082()]L x x
=++
82]t =+
=82+．
因为函数y =和
y =372[33,]11
t ∈上均为增函数，所以
82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L 有最小值
16+16+长的条形木料． 考点：函数应用题
22、12≤x≤52
【解析】
由题知，|x －1|＋|x －2|≤a b a b a －＋＋恒成立，故|x －1|＋|x －2|不大于a b a b a －＋＋的最小值． ∵|a ＋b|＋|a －b|≥|a ＋b ＋a －b|＝2|a|，当且仅当(a ＋b)·(a －b)≥0时取等号， ∴a b a b a －＋＋的最小值等于2.
∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得
12≤x≤52.。