北京市海淀区2009-2010学年度九年级数学第一学期期中测评试卷全国通用

海淀区九年级第一学期期中测评
数 学 试 卷
（分数：120分 时间：120分钟）
班级某某学号 成绩
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．一元二次方程2
3470x x -+=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3,4,7--
B. 3,4,7-
C. 3,4,7
D. 3,4,7-
2y x =-中自变量x 的取值X 围是( )
A. 2x ≤
B. 2x ≠-
C. 2x ≠
D. 2x ≥ 3．一元二次方程2
350x x ++=的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
4．右图是国庆庆祝活动标志,它以数字“60”为主体，代表着中华人民某某国60左侧小圆和右侧优弧所在的大圆之间的位置关系是( )
A. 外离
B. 相交
C. 相切
D. 内含
5.用配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是( )
A ．
2(2)2x += B ．
2
(2)2x -= C ．
2
(2)2x -=- D ．
2
(2)6x -= 6. 圆锥的母线长为5，底面半径为3，则它的侧面积为( )
A ．π30
B ．π15
C ．π20
D ．π10
7.如图，C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，
CB BD =,∠CAB =24º，则∠ABD 的度数为( )
A.24º
B.60º
C.66º
D.76º
C
O A
B
8.如图，以(3,0)A 为圆心作⊙A ，⊙A 与y 轴交于点(0,2)B ，与x 轴交于C 、D .P 为⊙A 上不同于C 、D 的任意一点.连接
PC 、PD ，过点A 分别作AE PC ⊥于E ，AF PD ⊥于F .设
点P 的横坐标为x ，2
2
AE AF y +=.当点P 在⊙A 上顺时针从
点C 运动到点D 的过程中，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若实数m 、n 满足210m n ++-=，则2m n +的值为______ .
10.点P （3，4）关于原点的对称点的坐标是．
11.如图，PB 、PC 切⊙O 于B 、C 两点，点A 在⊙O 上，若65A ∠=︒,则∠P = °.
计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312⨯的算图（标出相应的数字和曲线） .
O
y
x
F E
D C B A
P
O
B
C A
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：2
280x x --=. 解：
14．计算：1
0112()31(2)3
π-++---.
解：
15．计算：(223)(21)-+. 解：
16. 如图，点B 在⊙O 外，以点B 为圆心，OB 长为半径画弧与⊙O 相交于C 、D 两点，与直线OB 相交于A AC =5时,求AD 的长. 解：
17.已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求
32
259m m m +--的值. 解：
18. 已知：如图，网格中每个小正方形的边长为1，△ABC是格点三角形.
AB C；
（1）画出△ABC绕点A逆时针旋转90º后的图形△''
（2）旋转过程中，点C所经过的路线长为.
解：
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
解：
20.已知：⊙O的半径为5，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD=6，求AE. 解：
21．若关于x 的一元二次方程2
420kx x -+=有实数根. （1）求k 的取值X 围；
（2）若△ABC 中，2AB AC ==,AB 、BC 的长是方程2
420kx x -+=的两根，求BC 的长. 解：
22．已知：如图，BC 为⊙O 的弦，OA ⊥BC 于E 交⊙O 于A ，AD ⊥AC 于A ，
260D B ∠=∠=.
（1）求证：CD 为⊙O 的切线；
（2）当BC =6时，求阴影部分的面积. 解：
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23、如图四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是Rt △ABC 和Rt △BDE 的三边长，易知c AE 2=
.这时我们把形如022=++b cx ax 的方
程称为关于x 的 “勾系一元二次方程”. 请解决下列问题：
（1）构造一个“勾系一元二次方程”: .
（2）证明:关于x 的“勾系一元二次方程”022
=++b cx ax 必有实数根；
（3）若1-=x 是“勾系一元二次方程”022
=++b cx ax 的一个根，且四边形ACDE 的
周长是62，求△ABC 的面积. 解：
24.将矩形纸片ABCD 分别沿两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠和缝隙）.图1中提供了一种剪拼成等腰三角形的示意图.
图1图2
（1） 请提供另一种剪拼成等腰三角形的方式，并在图2中画出示意图；
图3 备用图
（2）以点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图），点D 的坐标为(8,5)．若剪拼后得到等腰三角形MNP ，使点M 、N 在y 轴上（M 在N 上方），点P 在边CD 上（不与C 、D 重合）.设直线PM 的解析式为y kx b =+（0k ≠），则k 的值为，
b 的取值X 围是 .（不要求写解题过程）.
25.如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AB CD AD ===cm ，∠B ＝60°. （1）可得梯形ABCD 的周长L =cm ，面积S =cm 2；
（2）如图2，E 、F 分别为AB 、BC 边上的动点，连接EF.设BF x =cm ，△BEF 的面
积为y cm 2，L
k BE BF
=+（ k 是常数）.
①试用含x 的代数式表示y ；
②如果
L S
BE BF y
=+，且k 为整数，求BF 的长.
图1
图2
海淀区九年级第一学期期中练习
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案
B
D
C
A
B
B
C
A
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10
11 12
答案
(3,4)--
50
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：2
280x x --=. 解法一：1,2,8a b c ==-=-,
2(2)41(8)360∆=--⨯⨯-=>.…………………………………………2分
(2)36
21
x --=
⨯.…………………………………………3分
∴124,2x x ==-.…………………………………………5分 解法二：(4)(2)0x x -+=，…………………………………………3分
∴124,2x x ==-.…………………………………………5分
解法三：2
28x x -=，
22181x x -+=+.…………………………………………2分 2(1)9x -=.…………………………………………3分
13x -=±.
∴124,2x x ==-.…………………………………………5分
14．计算：1
0112()31(2)3
π-++
---.
解：原式=233311++--…………………………………………4分 =331+.…………………………………………5分 15．计算：(223)(21)-+.
解：原式=422323+--…………………………………………4分
=12-.…………………………………………5分
16．解法一：连接OC ,OD .…………………………………………1分
∵AO 是⊙B 的直径，C 、D 两点在⊙B 上，
∴90,ACO ∠=︒90.ADO ∠=︒…………………………………………2分 ∴AC 、AD 是⊙O 的切线.…………………………………3分 ∴AC =AD . …………………………………4分 ∵AC =5，
∴AD =5. …………………………………………5分 解法二：连接OC ,OD .……………………………1分
∵AO 是⊙B 的直径，C 、D 两点在⊙B 上， ∴90,ACO ∠=︒90.ADO ∠=︒…………………2分 在Rt △ACO 和Rt △ADO 中，
,
,
OC OD AO AO =⎧⎨
=⎩ ∴Rt △ACO ≌Rt △ADO .…………………………………………3分 ∴AC =AD . …………………………………4分 ∵AC =5，
∴AD =5. …………………………………………5分 17．解： ∵m 是方程2
250x x +-=的一个根，
∴2
250m m +-=.…………………………2分 ∴3
2
259m m m +--
= 2
(25)9m m m +--…………………………………………3分
= 9-. …………………………………………5分
18．解： (1)△''AB C 即为所求.(不写结论的不扣分) …………………………………………3分
（2）2π.…………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：设这种药品平均每次降价的百分率是x.…………………………………1分
依题意，得 2
200(1)128x -=，…………………………………………3分
解得 10.2x =，2 1.8x =（不合题意,舍去）.…………………………………………4分 答：这种药品平均每次降价的百分率是20％.…………………………5分
20. 解：如图，当弦CD 与半径OA 相交时， 连接OC .…………………………1分 ,6CD AB CD ⊥=,
32
CD CE ∴==. …………………………2分 5OC =又,
∴224OE OC CE =-=. ……………………3分
∴1AE OA OE =-=.………………………………4分
当弦CD 与半径OB 相交时，同理可得549AE OA OE =+=+=.………5分
21. 解：（1）根据题意，可得
()20,4420,
k k ≠⎧⎪⎨∆=--⨯⨯≥⎪⎩………………………………2分 ∴k 的取值X 围是2k ≤且0k ≠.…………………………………………3分
（2）∵2AB =是方程2
420kx x -+=的一个根，
∴224220k ⨯-⨯+=.
∴32k =
.…………………………………………4分 ∴234202
x x -+=. 解得1222,3
x x ==. 经检验：BC =23
符合题意. ∴BC 的长为23
.…………………………………………5分 (没写检验过程的不扣分)
22．（1）证明：连接OC .…………………………………………1分
∵AD ⊥AC 于A ,260D B ∠=∠=，
∴30ACD B ∠=∠=︒.
∴260AOC B ∠=∠=︒.
∵OC OA =，
∴△OAC 是等边三角形.
∴60ACO OAC ∠=∠=︒.
∴90OCD ACD ACO ∠=∠+∠=︒. ………………………………………2分
∵OC 是半径，
∴CD 为⊙O 的切线.…………………………………………3分
（2）∵OA ⊥BC 于E ，6BC =，
∴3CE =，AB AC =.
∴AB AC =.
∵ 在Rt △ACE 中，60OAC ∠=︒，
∴30ACE ∠=︒，222
2,.AC AE AE CE AC =+=
∴23AC =. …………………………………………4分 ∵ 在Rt △ACD 中，30ACD ∠=︒，
∴2222,.CD AD AD AC CD =+=
∴2AD =.
∴S 阴影=ACD S ∆=23. …………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．解：（1）例如：2340x ++= ，只要 a 、b 、c 满足222a b c +=即可.… 2分
（2）ab c 4)2(2-=∆
22(2)c ab =-
222(2)a b ab =+-……………………………… 3分
2)(2b a -= .
∵0)(2≥-b a ，
∴0≥∆ .
∴“勾系一元二次方程”必有实数根. ……………………………… 4分
（3）∵1-=x 是“勾系一元二次方程”022=++b cx ax 的一个根， ∴02=-+c b a .
∴a b += . ……………………………… 5分
又∵四边形ACDE 的周长是，
∴2()a b ++=∴2c =.…………………………………………6分
∴22
4a b +=.
解法一：∵222())28a b c +===， ∴2228a b ab ++=.
∴2ab =.
∴ABC S ∆=112
ab =.…………………………………………7分 解法二：∴ABC S ∆=
1(2
S 四边形)ACDE ABE S ∆-=22111()222a b c ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=1(84)14⨯-=. …………………………………………7分 24.解：（1）答案不唯一，例如：
.………………………2分
（2）k 的值为 58-，34-，12
-.（答对一个给2分，答对两个给3分）……………6分 b 的取值X 围是510b <<.…………………………………………8分
25. 解：（1）10，332分
(2)①∵BF x =，L k BE BF
=+（k 是常数）, ∴10BE x k
=-.………………3分 过E 作EK ⊥BF 于K . 由勾股定理易得32
EK BE =. ∴213310353()24442y BF EK BF BE x x x x k k
=⋅=⋅=-=-+.…………4分 ②∵L S BE BF y
=+（k 为整数）， ∴S ky = . 由①中结论可知，此时有2353x y x =+. ∴2353()33x k x +=整理,得210120kx x -+=.………………………………………5分
∵该方程有实根,
∴100480k ∆=-≥.
∴2512
k ≤. 由题意，得
1L k BE BF =>+. ∵k 为整数， K F E A B
∴2k =. ………………………………………6分
将2k =代入2
10120kx x -+=，
化简，得2560x x -+=.
解得 12x =，23x =.
∵BE AB ≤，即52x -≤，
∴3x ≥.
∴12x =(舍去)，23x =.
∴3BF =cm.………………………………………7分
(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。