从一道试题的剖析谈教师命题素养的提升

从一道试题的剖析谈教师命题素养的提升
王丽丽
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2017(000)010
【总页数】3页(P34-36)
【作者】王丽丽
【作者单位】浙江杭州市采荷实验学校
【正文语种】中文
罗增儒教授指出，我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.然而，在日常教学中，我们遇到的题并不尽如人意，本文从一道统测试题的剖析说起，谈教师命题素养的提升.
杭州市江干区2016学年第一学期九年级数学期末试卷上有如下一题：
图1是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=2，AC=1.现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x 轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O重合时运动结束.在整个运动过程中，点C 运动的路程是_________：
此题本校学生实测结果：平均得分0.082（本题满分4分），难度系数为0.021，区分度为0.1445.
可以看出，此题没有达到评价功能.
1.试题改编不恰当.
试题改编自2006年某市中考题，原题如下：
图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=3.现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线Ox上由点O开始向右滑动，点B在射线Oy上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束.
（1）试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上；
（2）设点C的坐标为（x，y），探求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？
改编之处：将搭建台阶的第（1）、（2）小题删除，设为填空题，学生缺少拾级而上的台阶，难度陡然上升，区分度不佳.
改编之疑：原题中的第（1）问“试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上”应是隐含结论，缘何改编成为试题的条件？这个多余的条件看似提醒学生，实则扰乱图形运动路径分析，是改编的一个失误.
2.学生认知有障碍.
现代认知心理学认为，个体利用问题条件，应用自身已储存的知识，操纵信息经过一系列中间状态，克服障碍得到问题的答案，即是对问题的解决.心理学家把问题解决分为三个阶段：一识别和理解问题；二产生问题多种解答的假设并在多种假设中进行选择；三测试和评价解答.如果解答有误或解决方案不能执行，则又回到问题的理解阶段，从而构成问题解决的阶段循环.
对于上题，应先确定点C的运动轨迹，再求出该轨迹的长度.
问题解决第一阶段，即识别和理解阶段.问题解决者对问题表征的适当性、解决者的认知结构将直接影响问题的解决；正确的问题表征是解决问题的必要前提，在错误的或不完整的问题空间中进行搜索不可能得到问题的正确解决.
（1）信息遗漏，即未能将问题的有关信息全部提取出来.“△ABC内接于⊙G，AB 是⊙G的直径，AB=2，AC= 1”，已经告知⊙G是一个半径为1的大小确定的圆，△ABC中斜边AB=2，∠C为直角，∠B=30°，但学生在尝试画图中画出了大小不
一的圆，导致无法继续解答.
（2）信息误解，对某些问题做错误的分析和理解.试题中先确定⊙G的运动状态，此问题可以化归为线段AB靠着墙下滑时，AB的中点G的运动路径，因为OG是直角三角形OAB斜边上的中线，所以OG=1，故G点的运动路径是以O为圆心，半径为1的个圆，如图4.但学生对该问题的理解建立在错误的直观感知上，误以
为G点的路径是一个凹陷的部分圆，非常遗憾.
（3）隐喻干扰，指问题中潜在的歧义性信息误导了问题解决者的解题思路.试题中“并且保持点O在⊙G上”对图形运动的分析造成极大干扰，很多绩优生因此认
为这是一个附加条件，造成图形的运动更加复杂，无法抽丝剥茧解决问题，可见这种干扰的影响之大.
问题解决第二阶段，良好的认知结构对于问题的表征和策略的采用都起着十分重要的作用.试题是一个动态问题，一般而言，会先将几个特殊位置的图形画出来，如
图5（1）是起始位置，图5（2）是运动过程中的一个位置，此时BC∥OA，图5（3）是运动终止位置.此为关键点一.
可是，这又有什么用？
我们需要关注C点的位置.从代表一般情况的图5（2）可以确认，∠COA是弧AC 所对圆周角，∠COA=∠CBA=30°，这个性质在图5（1）、（3）中仍成立.此为关键点二.
这一阶段难度最大，没有良好的认知结构，难以在变化中找到不变量，则无法产生可能的问题解答方法，更别提在多种方法假设中进行选择.动态问题如何分析？能
否把握运动过程中不变的数量和位置关系？能否主动发现圆周角定理并进行使用？
有时学生对概念的模糊、法则和公式不清晰、负迁移干扰等，都会对解题策略产生影响.
问题解决第三阶段，解决策略的选择和思维定式会影响问题的解决.
因为∠COA=∠CBA=30°，其中点O是原点，点A在x轴上，则可确定点C始终
在30°角的一条边上，故其运动轨迹是线段，因为OC是⊙G的弦，故图5（1）
是C点的起始位置，图5（2）中当OC是直径时，点B已由图6中的B1运动至
B2位置，此时C点在直线上的位置离O点最远，线段C1C2即为这个运动过程中的路径，随着B点移至O点，C点又在直线上向O点靠近，直至图5（3）中C
点的位置，如图7，线段C2C3即为运动路径，所以，C点运动的路程是C1C2+ 大部分研究此题较久后放弃的学生反馈，他们对C点运动路径的第一直觉是曲线，往双曲线或抛物线上考虑，但没有依据.他们进一步读题，希望把圆与直角三角形
或矩形联系起来（解答正确的学生都采取了这种思路），但是也未成功.因为该问
题情境超越了学生个体的认知结构，而他们又不能调整和重组自己的认知结构，因此不能得到对问题的正确表征，解决问题失败.
3.考查点选择不合适.
学习过程中无论形成性评价还是终结性评价，试题的命制都要求关注层次性和相关性，考查内容应突出重点知识和核心内容的考查，同时考虑知识的覆盖面.本题考
查重点落在点的轨迹，并属于“动两次”问题（点A、B运动，带动圆和△ABC的位置运动），并不属于现行课程标准核心内容，与命题依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》的精神相悖.本题作为一个综合性问题在教学中进行探讨，开拓思路是可行的，但将其放置于试卷的任何位置都欠妥当.
1.关注核心内容，正确引导教学.
试题应注重体现义务教育的基础性，所考查的知识、技能和能力都是初中数学必须学习的内容.为了确保对不同学业水平层次的区分，试卷在压轴题的设置上也应考
查学生对概念的理解，而不能考技巧；考查学生对核心内容的准确把握，而不能考“偏冷繁”；立足数学通性、通法，考虑公平性.
对原题实行拿来主义，是最大的不公平，还会将学生导向题海，徒增学业负担.可
将原题重新改编，调整难度，并适合现今课程标准，起较好的评价功能.
如：原试题条件不变，改变结论：
点G的运动路程是_______（考查直角三角形性质）.
或改求值为证明题：
求证：∠COA的度数是定值（考查圆周角定理）.
或更改条件：
条件中的图形变换方式改为“⊙G在图2的位置绕O点顺时针旋转至点B落在射线Ox上”，则点C运动的路程是________（考查图形的旋转）.
2.立足基础知识，注重思想方法.
章建跃博士指出：解题目的应聚焦于加深和理解“双基”；学会思考，培养和发展思维能力；查漏补缺，培养良好的学习习惯，培养创造力等.其中，应以发展推理
能力为核心目标.我们在试题的整体设计上，立足基础，做到适度和适应.难度适度，考查基础知识和基本技能，由易到难，每个小题之间“台阶”式设计；情境适应，问题情境适应学生的生活经验与思维方式，让学生在平缓渐进的试题环境下获得良好的情感体验.当然，立足基础不能停留在低层次学习水平上，在考查基础知识、
基本技能是否落实的前提下，关注数学思想方法和基本活动经验目标的达成.
如2014年杭州市数学中考卷第23题：
复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2-（4k+1）xk+1（k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从
中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过点（1，0）；
②函数图像与坐标轴总有三个不同交点；
③当x＞1时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用
的数学方法.
试题呈现形式别具一格，给师生设计一个“学程”，创造一个开放的复习课情境，以“过程再现”的形式描述了教师和学生的互动，并要求考生解决课堂中师生提出的一些问题，让学生感觉数学试题的面孔很“接地气”，平时有一定基本活动经验的学生感到自然熟悉，解题的心理放松；同时有效发挥题目的功能——蕴含了新
课标倡导的课程基本理念“数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”.试题要求解决的四个问题覆盖到方程思想求解析式、图像与坐标轴交点问题、函数单调性讨论、函数最值等，涉及方程思想、函数思想、不等式模型、数形结合、分类讨论等数学思想方法，问题看似相互独立，实则可上下联系，体现人文关怀，立足基础，考查考生对基础知识的灵活应用，也在一定程度上考查考生的知识迁移能力和灵活应用能力.题目最后要求“简单写出解决问题时所用的数学方法”，编
者借此传达一个教学改进期望：关注学生，关注数学理解.
3.关注条件和结论，确保正确无误.
现在试题多为原创，或在旧题上改编，比如，会将教材中的一些例题和习题通过变形改造及综合的方式形成新的题目.然而魔鬼藏在细节处，改编很容易考虑欠全面.
不论准备考查学生哪一方面的知识、技能或数学思想方法，都要注意条件和结论的合理设置，不能出错.
比如，区内一次九年级数学期末测试卷中，有如下一题：
如图8，⊙O内切于△ABC，P、Q、R为切点，⊙O的切线DE∥BC，M为切点，
D、E分别在AB、AC上.已知BC=2，△ABC的周长为8，圆的半径为1，则
S△ADE=_________.
本题将教材中单一呈现的相似三角形性质和切线的性质进行综合，形成一个新的综合性问题，可以让学生学会用联系的观点看待问题.然而却出现了纰漏，造成评价的不公平.
试卷提供的标准答案是1，56%的学生得到此答案1，但是部分学生发现了矛盾：若S△ADE=1，则S四边形DBCE=4-1=3，而S⊙O=πr2=π，所以S⊙O>S四边形DBCE，矛盾.
4.凝练文字表达，体现简约之美.
爱因斯坦说，美，本质上终究是简单性.数学的简约美体现在通过图形与符号把很多文字表达的内容很简单地表达出来.同理，试题的呈现一样要干净利索，重要的话不冗长，舍去华丽的辞藻，删除可有可无的陈述，留下朴实清秀、底蕴深厚的数学内容，才称得上至美.
我们来对比一个试题的初稿和最后呈现形式.
初稿：小明准备制作一组三角形（记这些三角形的三边分别为a、b、c），并且这些三角形必须满足下列条件：
①每个三角形的三条边长均为小于5的整数；
②任意两个三角形既不全等也不相似.
用记号（a，b，c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，4）表示边长分别为2、3、4的一个三角形（括号内仅有数字顺序不同的表示同一个三角形）. （1）请帮助小明列举出所有满足条件的三角形；
（2）从这组三角形中任意取出一个三角形，求该三角形不是等腰三角形的概率；（3）用尺规作出该组三角形中所有不等腰的三角形（作图请保留作图痕迹，不要求写作法）.
终稿：“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a、b、c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.
（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2、3、3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三
角形；
（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）.
可以发现，试题终稿在文字表达上做了精心的修改，减少字数的同时，数学表达更准确，考查内容更深刻.
“水本无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击而发灵光”.好的试题能激起学生思
想的“涟漪”、思维的“灵光”，因此，教师在教学中要修炼编题的功夫，编出好题，演绎精彩！。