2025届天津市七校重点中学高三第三次测评数学试卷含解析(1)

2025届天津市七校重点中学高三第三次测评数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2
()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}
|()0B x f x '=≤，则A
B =（ ）
A ．[-1,0]
B ．[-1,2]
C ．[0,1]
D ．(,1][2,)-∞⋃+∞
2．函数3
()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)
(0,]ππ-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知双曲线
的两条渐近线与抛物线2
2,(0)y px p =>的准线分别交于点
、，O 为坐
标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p=（ ）． A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．3
4．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．设全集U =R ，集合{}
2
21|{|}x
M x x x N x =≤=，＜
，则U
M N =（ ）
A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[)0,1
D ．(],1-∞
6．已知椭圆E ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，
线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）
A ．22
14036
x y +=
B ．22
12016
x y +=
C ．22
1106
x y +=
D ．2
215
x y +=
7．已知全集，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=
B ．4a b +>
C ．()()2
2
112a b -+-< D ．228a b +>
9．双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是（ ）
A ．32
y x =±
B ．23
3
y x =±
C ．2
x y =±
D ．2y x =±
10．已知数列{}n a 中，12a =，1
1
1n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．1-
D ．2
11．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．
40243
B ．
70243
C ．
80
243
D ．
38243
12．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A
B 等于（ ）
A ．{}012,,
B ．{2,1,0,1,2}--
C ．{}2,1,0,1,2,3--
D ．{}12
, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知正数a ，b 满足a +b =1，则
1
b a b
+的最小值等于__________ ，此时a =____________. 14．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =，26PB =，则当PA AB +最大时，三棱锥P ABC -的体积为__________．
15． “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______．
16．点0P 是曲线3ln y x x k =++（k ∈R ）图象上的一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；
（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥. 18．（12分）已知函数221()22
x
x f x e ae a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
19．（12分）在以ABCDEF 为顶点的五面体中，底面ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，2AB AE ED EF ===，
//EF AB ，二面角E AD B --为直二面角.
（Ⅰ）证明：BD FC ⊥；
（Ⅱ）求二面角A CF B --的余弦值. 20．（12分）已知函数()()1
1,0x
x f x a R a ae -=
-∈≠. （1）当1a =时，求函数()f x 在()()
0,0f 处的切线方程； （2）若函数()f x 没有零点，求实数a 的取值范围.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3344
x t
y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.
（Ⅰ）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN ；
（Ⅱ）若点(),P x y 为曲线C 上任意一点，求10x +-的取值范围.
22．（10分）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为()23,0F ，离心率为e .
（1）若e =
（2）设直线y kx =与椭圆相交于A 、B 两点，M 、N 分别为线段2AF 、2BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直
径的圆上，且
2e <≤
，求k 的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】
2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤
， ∴{|01}A
B x x =≤≤．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 2、B 【解析】
先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】
()f x 是奇函数，排除C ，D ；()
2()ln 0f ππππ=-<，排除A .
故选：B. 【点睛】
本题考查函数图象的判断，属于常考题. 3、C 【解析】
试题分析：抛物线2
2,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222
221=4c b e a a
==+，
b a =
y =
，求出交点(,)22p A -
，(,)22p B --
，12AOB S ∆=⨯
2
2p p ==2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程； 4、C 【解析】
设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于
a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点P
的坐标为(a ，直线AB 的方程为122x y
-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d
，则11
222
PAB
S
AB d d =⋅=⨯=
，解得d =
另一方面，由点到直线的距离公式得d =
=
整理得0a =
或40a =，0a ≥，解得0a =或1a =
或92
a =
. 综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 5、A 【解析】
求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【详解】
{}20121{|}|{|}{|}0x M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜，
{}|0U
N x x =≥，
则{}011|]0[U
M
N x x =≤≤=，，
故选：A ． 【点睛】
本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题． 6、D 【解析】
由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =，故可
得椭圆的方程. 【详解】
由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，
又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =
，1b ∴=，
所以椭圆的方程为2215
x y +=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解. 7、C 【解析】
先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可． 【详解】 由题意得，
∵，
∴．
故选C ． 【点睛】
本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题． 8、C 【解析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
23232324log log l 23og log 82>+⋅=⋅，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题 9、C 【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】
由题意可知，双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是2x y =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 10、A 【解析】
分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决.
解：∵12a =，1
1
1n n a a -=-
(2n ≥)， 211122
a ∴=-
=， 3121a =-=-， 41(1)2a =--=，
511122
a =-
=， …，
∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，
201836722=⨯+， 2018212
a a ∴==
， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 11、C 【解析】
先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】
从6个球中摸出2个，共有2
615C =种结果，
两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)
∴摸一次中奖的概率是
51153
=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是
13
， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33
243
C ⋅⋅=
，
【点睛】
本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题． 12、A 【解析】
进行交集的运算即可． 【详解】
{0A =，1，2，3}，{|22}B x x =-， {0A
B ∴=，1，2}．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3 1
2
【解析】
根据题意，分析可得
11b b a b b a a b a b a b
++=+=++，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a 的值，即可得答案． 【详解】
根据题意，正数a 、b 满足1a b +=，
则
1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=， 当且仅当1
2
a b ==
时，等号成立， 故
1
b a b
+的最小值为3，此时12a =.
故答案为：3；1
2
. 【点睛】
本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题. 14、4
设x BC =，则PC ==，PA ==，AB =
8PA AB +=≤=，当且仅当22284x x -=+，即x =立.
1111
243232
P ABC V AC BC PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,
故答案为4 15、
16
29
52 【解析】
设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出16
29
d =
,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++.
【详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布, 则303029
3053902
S d ⨯=⨯+=, 解得16
29d =
,即每天增加的数量为1629
， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 16
45585229=⨯+⨯
=，故答案为1629
，52. 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 16、1 【解析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点0P 横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得k ． 【详解】 设0(,)P x y ， 由题意31y x '=
+，∴3
14x
+=，1x =，4113y =⨯-=，即0(1,3)P ， ∴33ln11k =++，2k =．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(],1-∞；（2）证明见解析
【解析】
（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩
,进而分类讨论求解不等式即可；
（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.
【详解】
（1）()12f x x x =+--
3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩
①当1x ≤-时，31-≤恒成立，
∴1x ≤-；
②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，
∴11x -<≤；
③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意；
综上所述，不等式的解集为(],1-∞.
（2）由（1）知max ()3f x s ==，
于是3a b c ++=
由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）
222222b c c a abc +≥= （当且仅当b a =时取等号）
222222c a a b a bc +≥（当且仅当c b =时取等号）
上述三式相加可得
()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）
3
a b c
++=，
∴2222223
a b b c c a abc
++≥，故得证.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18、（1）当0
a=时，()
f x在(,)
-∞+∞上单调递增；当0
a>时，()
f x在(,ln(2))
a
-∞上单调递减，在(ln(2),)
a+∞上单调递增；当0
a<时，()
f x在(,ln())
a
-∞-上单调递减，在(ln(),)
a
-+∞上单调递增；（2）
3
4
1
,
2
a e
⎡⎤
∈-
⎢⎥
⎣⎦
.
【解析】
（1）对a分三种情况0,0,0
a a a
=讨论求出函数()
f x的单调性；（2）对a分三种情况0,0,0
a a a
=，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.
【详解】
（1）()()
22
'()22
x x x x
f x e ae a e a e a
=--=+-，
当0
a=时，2
'()0
x
f x e
=>，()
f x在(,)
-∞+∞上单调递增；
当0
a>时，'()0
f x<，ln(2)
x a
<，'()0
f x>，ln(2)
x a
>，
∴()
f x在(,ln(2))
a
-∞上单调递减，在(ln(2),)
a+∞上单调递增；
当0
a<时，'()0
f x<
，
22
222
21
1
{
a b
c
a
a b c
+=
=
=+
，'()0
f x>，ln()
x a
>-，
∴()
f x在(,ln())
a
-∞-上单调递减，在(ln(),)
a
-+∞上单调递增.
综上：当0
a=时，()
f x在(,)
-∞+∞上单调递增；
当0
a>时，()
f x在(,ln(2))
a
-∞上单调递减，在(ln(2),)
a+∞上单调递增；
当0
a<时，()
f x在(,ln())
a
-∞-上单调递减，在(ln(),)
a
-+∞上单调递增.
（2）由（1）可知：
当0
a=时，2
()0
x
f x e
=>，∴0
a=成立.
当0
a>时，2ln(2)ln(2)2
min
1
()(ln(2))2ln(2)
2
a a
f x f a e ae a a
==--2
2ln(2)0
a a
=-≥，
ln(2)0a ≤，∴102a <≤.
当0a <时，2ln()ln()2min 1()(ln())2ln()2
a a f x f a e ae a a --=-=--- 2
232ln()02
a a a =--≥， 3ln()4
a -≤，∴34a e ≥-，即340e a -≤<. 综上341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19、 【解析】
（Ⅰ）连接,AC BD 交于点O ，取AD 中点M ，连结,,EM OM OF ，证明BD ⊥平面OFC 得到答案.
（Ⅱ）分别以,,OA OB OF 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面BCF 的法向量为(1,3,1)n =-，平面ACF 的法向量为(0,1,0)m =，计算夹角得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连接,AC BD 交于点O ，取AD 中点M ，连结,,.EM OM OF
因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.
因为AE ED =，所以EM AD ⊥.
因为二面角E AD B --为直二面角，所以平面EAD ⊥平面ABCD ，
且平面EAD
平面ABCD AD =，所以EM ⊥平面,ABCD 所以EM BD ⊥ 因为,OM AB 1,2OM AB =,EF AB 1,2EF AB =
,,OM EF OM EF = 所以OMEF 是平行四边形，所以EM
OF . 所以BD OF ⊥，所以AC OF O ＝，所以BD ⊥平面OFC ，
又FC ⊂平面OFC ，所以BD ⊥FC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,OA OB OF 两两垂直，分别以,,OA OB OF 为,,x y z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
设2,(0,1,0),(3,0,0),3),AB B C F =-则 (3,1,0),(0,3),BC BF ∴=--=-
设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z =，由300030
z y n BC n BF x y ⎧⎧-=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩， 取1,(1,3,1)z n =∴=-.
平面ACF 的法向量为(0,1,0)m = ||15|cos ,|5||||n m n m n m ⋅∴
<>== 所以二面角A CF B --15. 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20、（1）220x y --=.（2）21a e >
【解析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数得出()1x x g x e
-=的单调性以及极值，从而得出()g x 的图象，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，由图，即可得出实数a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =时，()11x x f x e -=-，()2'x x f x e
-= ∴切线斜率()'02k f ==，又切点()0,2-
∴切线方程为()220y x +=-，即220x y --=.
（2）()1110x x x x a ae e f x --⇔=⇔==，记()1x
x g x e -=，令()2'0x x g x e -==得2x = ()'02g x x >⇒<；()'02g x x <⇒>
∴()g x 的情况如下表：
x (),2-∞
2 2, ()'g x
+ 0 - ()g x 单调递增 极大值 单调递减
当2x =时，()g x 取极大值()2
12g e = 又x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →
若()f x 没有零点，即y
g x 的图像与直线y a =无公共点，由图像知a 的取值范围是2
1a e >. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.
21、（Ⅰ）6（Ⅱ）310[0,15]x +-∈
【解析】
（Ⅰ）化简得到直线l 的普通方程化为430x y +=，，C 是以点(5,0)为圆心，5为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.
（Ⅱ）设(55cos ,5sin )P θθ+，则31010sin()56x y πθ+-=+
-，得到范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，直线l 的普通方程化为430x y +=，
曲线C 的极坐标方程10cos ρθ=变形为210cos ρρθ=，
所以C 的普通方程分别为22100x y x +-=，C 是以点(5,0)为圆心，5为半径的圆，
设点(5,0)到直线l 的距离为d
，则4d ==，
所以6MN ==.
（Ⅱ）C 的标准方程为22
(5)25x y -+=，所以参数方程为55cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），设(55cos ,5sin )P θθ+，
1055cos 1010sin()56
x πθθθ-=++-=+-， 因为1010sin()106πθ-≤+≤，所以1510sin()556π
θ-≤+-≤，
所以10[0,15]x -∈.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22、（1）22
1123x y +=；（2
）2,,4⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦
⎣⎭
. 【解析】 （1）由椭圆的离心率求出a 、b 的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线y kx =与椭圆的方程，列出韦达定理，由题意得出22AF BF ⊥，可得出220F A F
B ⋅=，
【详解】
（1）由题意得
3c =，c a =a ∴=又因为222
a b c =+，23b ∴=，所以椭圆的方程为22
1123x y +=； （2）由22
221x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，得()2222220b a k x a b +-=.
设()11,A x y 、()22,B x y ，所以120x x +=，22
12222
a b x x b a k -=+， 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥.
因为()2113,F A x y =-，()2223,F B x y =-，
所以()()()22212121233190F A F B x x y y k
x x ⋅=--+=++=. 即()()()22222291909a a k a k a --++=+-，将其整理为422
424218818111818a a k a a a a -+==---+-.
因为2e <≤
，所以a ≤<21218a ≤<. 所以218k ≥
，即2,,+4k ⎛⎡⎫∈-∞∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭
. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，考查计算能力，属于中等题.。