(word完整版)2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2
的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C
【解析】注意)()(/x g e x f x
=，答案C ．
2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）
A ．Z c b a ∈==,2,1
B ．B b
C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500
=+=
C ．0
60,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===
A b a
【答案】AD ．
3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2
=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线
B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行
C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点
D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点
【答案】BD
【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．
4．过抛物线x y 42
=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）
A ．以线段A
B 为直径的圆与直线2
3
-=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2
D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB
【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为
||21
|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2
a a A ，则)1,41(2a
a B -，
于是241
4||2
2++=a
a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||2
1
BM 不一定相等，因此命题错误．
5．已知21,F F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有
（ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>
时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个
C ．21F PF ∆的周长小于a 4
D ．21F PF ∆的面积小于等于2
2
a
【答案】ABCD ．
【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周
长
为
a
c a 422<+；选项
D ，
2
1PF F ∆的面积为
22
212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤∠⋅． 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】BD
【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．
7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆
D ．以上三个说法均不对
【答案】AC
【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ． 8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】必要性：由于1cos sin )2
sin(
sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π
，
类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++． 不充分性：当4
,2
π
π
=
==
C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．
9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程2
1
111=++z y x 的解的组数为（ ） A ．8
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】B 【解析】由于
x
z y x 3
11121≤++=，故63≤≤x ． 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则
6,5,3
20
,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ．
10．集合},,,{21n a a a A Λ=，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】B
11．已知0
00121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα
B ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββα
C ．
3tan tan tan tan tan tan =++γβαγ
βα
D ．
3tan tan tan tan tan tan -=++γ
βαγ
βα
【答案】BD
【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则
3111=+-=+-=+-zx
z
x yz y z xy x y ，所以
)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．
类似地，有
)11
(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx
x z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyz
z
y x zx yz xy ．答案BD ． 12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间
（ ）
A ．)12,11(
B ．)13,12(
C ．)14,13(
D ．)15,14(
【答案】B
【解析】设函数14)(+=
x x f ，则其导函数142)(/+=
x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在3
1
=x 处的切线321)31(7212+-=
x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,2
3
(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+
-≤+≤+x x x ，左侧等号当41
-=x 或23=
x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当3
1
===c b a 时取得；最小值为
7，当2
3
,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．
13．已知1,1,,,2
2
2
=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0 B ．xyz 的最大值为27
4
- C ．z 的最大值为32
D ．z 的最小值为3
1-
【答案】ABD
14．数列}{n a 满足)(6,2,1*
1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ） A ．n n n a a a 22
1++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n a
C ．741-+n n a a 为完全平方数
D ．781-+n n a a 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为
21
12221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a n n n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故
76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以
211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错
误．
说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 22
1++-为定值．
15．若复数z 满足11
=+
z
z ，则z 可以取到的值有（ ）
A ．
2
1 B ．2
1-
C ．
2
1
5- D ．
2
1
5+ 【答案】CD 【解析】因为11
||1||=+≤-z
z z z ，故
215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．
16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A ．6552 B ．4536 C ．3528 D ．2016 【答案】C
【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有
k
2016
个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为
352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．
17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 2
1
:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，
分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=b
a
（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
【答案】C
【解析】设点),(00y x P ，可得)2
1
41,21(),2141,
21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2
020441||y x MN +=为定值，所以2,164
1422===b a b a ，答案：C ．
说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则k
b a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．
18． 关于y x ,的不定方程y
x 21652=+的正整数解的组数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有Λ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）
A ．22=I
B ．123=I
C ．964=I
D ．1205=I 【答案】B
【解析】根据卡特兰数的定义，可得1
121221)!1(!1------=⋅=
=n n n n n
n n n C n n C n
A C I ．答案：A
B ． 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．
20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：
表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165
【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯．
21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞
→y x lim ．
【答案】
2
3
【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为2
3． 22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 114
1
,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．
【答案】
1
96
【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --=
=21
96
1161212111=
⋅==--B BCC E GBF E V V ．
23．
=+-⎰
-dx x x n n )sin 1()(220
12π
π ．
【答案】0
【解析】根据题意，有
0)sin 1()sin 1()(212220
12=+=+-⎰⎰
---dx x x dx x x n n n n π
π
π
π．
24．实数y x ,满足2
2
3
22
4)(y x y x =+，则2
2
y x +的最大值为 ． 【答案】1
【解析】根据题意，有2
22
2
2
3
22
)(4)(y x y x y x +≤=+，于是12
2
≤+y x ，等号当2
1
22==y x 时取得，因此所求最大值为1．
25．z y x ,,均为非负实数，满足4
27
)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】
2
3
22-
【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值
2
3
．根据题意，有41332222
=
+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4
132y z y x z y x +++++≤解得2
3
22-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,
0,0(),(-=yz x 时取得，为2
3
22-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则
=+μλ ．
【答案】
2
3
【解析】根据奔驰定理，有3
29492=+=
+μλ． 27．已知复数3
2sin
32cos ππi z +=，则=+++2223
z z z z ． 【答案】
13
22
i - 【解析】根据题意，有i i z z z z z z 2
3
2135sin 35cos 1222
23
-=+=-=+=+++ππ． 28．已知z 为非零复数，
z
z 40
,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 . 【答案】
20010033003
π
+-
【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2
||4040z z z =，于是⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102
222y x y y x x y x 如图，弓形面积为
开心快乐每一天 1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD
的面积为100310010)10310(2
12-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003
200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ. 29．若334tan =x ，则=+++x
x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ． 【答案】3
【解析】根据题意，有x
x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++ 38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．
30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．
【答案】441000
31．设A 是集合}14,,3,2,1{Λ的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．
【答案】8
【解析】一方面，设},,,{21k a a a A Λ=，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<<Λ21．
若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．
另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．
综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。