高三数学一轮复习精品教案2：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考纲传真
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区
域表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规
划问题，并能加以解决.
1．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：
(1)满足Ax＋By＋C＝0的点；
(2)满足Ax＋By＋C>0的点；
(3)满足Ax＋By＋C<0的点．
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．
3．线性规划中的基本概念
名称意义
线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
线性目标函数关于x，y的一次解析式
可行解满足线性约束条件的解(x，y)
可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．(人教A 版教材习题改编)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0
x －y ＋2<0表示的平面区域是( )
『解析』 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及左下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0右上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分． 『答案』 B
2．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．0
『解析』 由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即(b －78)(b －2)＜0，∴7
8＜b ＜2，∴b 应取的
整数为1. 『答案』 B
3．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，
则z ＝3x ＋y 的最大值为( )
A ．12
B ．11
C ．3
D ．－1
『解析』 可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直
线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝2.
∴A 点坐标为(3，2)．∴z 最大＝3×3＋2＝11. 『答案』 B
4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．
『解析』 不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0得A (1，－1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y －4＝0得B (1，－3)由⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝0x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝1
2×2×1＝1.
『答案』 1
5．(2012·山东高考改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取
值范围是______．
『解析』 作不等式组表示的可行域，如图所示，
作直线l 0：3x －y ＝0，并上下平移．
当直线过点A 、B 时，z 分别取得最大值、最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，
2x ＋y －4＝0，得A (2，0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0.
得点B (12，3)，∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－3
2.
故z 的取值范围是『－3
2，6』．
『答案』 『－3
2
，6』
二元一次不等式(组)表示的平面区域
若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4
3
分为面积相等的两部分，
求k 的值．
『审题视点』 画出不等式组表示的平面区域，直线y ＝kx ＋43过定点(0，4
3)，利用面积
相等确定直线经过的区域边界上的点，然后代入求k 值． 『尝试解答』 由图可知，线性规划区域为△ABC 边界及内部．
y ＝kx ＋43恰过A ⎝⎛⎭⎫0，43，y ＝kx ＋4
3将区域平均分成面积相等两部分， ∴直线y ＝kx ＋4
3一定过线段BC 的中点D ，易求C (0，4)，B (1，1)，
∴线段BC 的中点D 的坐标为(12，52)．因此52＝k ×12＋43，k ＝7
3
.,
1．解答本题的关键是根据直线y ＝kx ＋43过定点(0，4
3)，利用面积相等确定直线所经过的边
界上的点．
2．二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：
(1)同号上，异号下．当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方，当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．
(2)直线定界、特殊点定域．应注意是否包括边界，若不包括边界，则应将边界画成虚线；若直线不过原点，特殊点常选取原点．
(2012·福建高考)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，
则实数m 的最大值为( )
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2
『解析』 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x
的图象及⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，
x －2y －3≤0所表示的平面区
域，如图阴影部分所示．由下图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.
『答案』 B
求目标函数的最值
(2012·安徽高考改编)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.
(1)求z ＝x －y 的最小值和最大值； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．
『审题视点』 明确目标函数z 的几何意义，数形结合找最优解，代入求值． 『尝试解答』 作约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.
满足的可行域，如下图所示为△ABC 及其内部．
联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3.得A (1，1)．解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，
2x ＋y ＝3，得点B (0，3)． (1)由z ＝x －y ，得y ＝x －z .平移直线x －y ＝0，则当其过点B (0，3)时，截距－z 最大；当过点A (1，1)时，截距－z 最小，即z 最大．∴z min ＝0－3＝－3；z max ＝1－1＝0. (2)过O (0，0)作直线x ＋2y ＝3的垂线l 交于点N .
观察可行域知，可行域内的点B 、N 到原点的距离分别达到最大与最小． 又|ON |＝
|0＋0－3|12＋22＝35
5，|OB |＝3.∴z 的取值范围是『3
55，3』．
1．本题求解的关键在于：(1)准确作出可行域；(2)明确目标函数的几何意义．
2．(1)线性目标函数z＝ax＋by的几何意义与直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距有关，当b＞0时，直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距越大，z值越大；当b＜0时，情况相反．
(2)常见的非线性目标函数的几何意义：y－b
x－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；
（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
(2012·课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是() A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)
『解析』如下图，
根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z<－1＋3，
∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．
『答案』A
一种方法
确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．
(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．
一个程序
利用线性规划求最值的步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数求最值． 两个防范
1.画平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－a b x ＋z
b 的截
距z b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距z
b 取最大值时，z 也取最大值；截距z
b
取最小值时，z 也取最小值．当b ＜0时，结论与b ＞0的情形恰好相反．
从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值是高考命题的热点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想．求解的常见错误是忽视题目的约束条件与目标函数的几何意义导致错误．。