电容的计算1

由于介质的极化，下半球面附近会产生极化电荷q’，这些电荷 将在导体内部产生电场。为保证导体内E=0，可如此考虑：
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假设上半球面又带了同为q’的自由电荷，它们与下半球面的极 化电荷q’应该都在各自半球面上均匀分布，以使导体内E=0， 为保证电荷守恒，还应再给导体球追加-q’的自由电荷，这些电 荷也应该均匀分布在整个球面上。 综上，上半球面均匀分布了[(Q-q’)/2]+q’的自由电荷，下半球 面均匀分布了[(Q-q’)/2]的自由电荷和 q’的极化电荷。
解：(1)设联接后两球的电量最终 分别变为q1、q2，则由电荷守恒
2q q1 q2
a b
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现两球相距很远，可看作两孤立导体球，忽略其电场的 相互作用，认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上。 q1 q1 q2 两球电势分别为 Ua l a 4 0 a 4 0l 4 0 a 其中l为两球心距离 U b q2 q1 q2 l b 4 0b 4 0l 4 0b
0S
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过程中极板上电量的改变量为 q (C C0 )U C0U / 2 0 把电容器极板上的电荷搬回到电源上，电源做负功：
1 外力做功为 A2 We A1 A1 qU C0U 2 0 2 2 SU 1 1 1 A2 C0U 2 ( C0U 2 ) C0U 2 0 0 4 2 4 4d
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★ 电场能量
例：孤立导体球，带电量Q，半径R，求：电场能量。 •孤立导体球的电容 C 4 0 R Q
Q Q We 2C 8 0 R
2 2
R
r
•电场分布 E 0 (r R) E
Q 4 0 r
2
( r R)
20
2 1 Q 2 电场能量密度 we 0 E 2 322 0 r 4
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例：一平行板电容器，极板面积为S，极板间距为d， S + 充电后断开电源，保持其电量q不变， b 将一块厚为b(<d)的金属板平行插入， + 求：电容器能量的变化？ 0S q2 q2d 电容器储能 W0 解：插入金属板前 C0 2C0 2 0 S d 插入金属板后，可看作两个电容器串联而成
电荷由小球b→大球a
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•或由联接前的电势高低来判断电荷的流向
联接前大球电势 U a
q 4 0 a
小球电势 U b
q 4 0b
显然 Ub U a 由高电势的小球b流向低电势的大球a 由电荷守恒 2q q1 q2 得 q1 2qa , q2 2qb ab ab
0
1 / 1 2 / 2
1 2
1
S
0 S 1S1 2 S2
1S 1 0, 2 ? 1S1 2 S2
1
S1
2
2
A
S
S2
B
1 S E1 E2 0 1 1S1 2 S2
d
4
两板间的电势差
由于两半球并联后电势相同 V Q1 C1 Q2 C2 C1Q2 C2Q1
另由电荷守恒 Q Q1 Q2 联立可得： 1 r r 1 Q 0 Q1 Q Q2 Q Q1 q 2Q1 Q 1 r 1 r 1 r 此铜球的电容： C C1 C2 2 0 (1 r ) R
讨论：若金属板带电+Q，此电荷如何分布？ ( 上 下 )S Q
上d上 下d下 U 0 0
U 0 S Qd下 U 0 S Qd上 上 , 下 S (d上 d下 ) S (d上 d下 )
在上、下半球表面附近任一点，各做柱形高斯面，由于场强垂直 于导体表面，利用高斯定理得：D1 1 , D2 2
E1 1 0 ,
E2 2 ( 0 r )
两半球表面场强ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ自分别相等，且为辐射状分布 由静电场的边界条件可知 E1 E2 1 2 r Q1 Q2 r
d
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1 1 1 (d b)上 (d b)下 d b C C1 C2 0S 0S 0S
插入金属板，相当于把两板移近了b
q 2 q 2(d b) W 2C 2 0 S
C
0S
d b
q 2(d b) q 2 d q 2b 0 W 2 0 S 2 0 S 2 0 S
如图两块相距为d面积均为s的薄金属板ab构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒k内金属盒上下两壁与ab分别相距d2求
E1 σ0 ε1
E2 σ0 ε2
B
0
0
各层电介质中的电场强度不同 两板间的电势差

d1 0
U E dl
A
S
d1 d2 0 0 d1 d2 E1 dl E2 dl d1 o r1 o r 2
q1 CaU a 4 0aU a
q2 CbUb 4 0bUb
U a Ub q1b q2a
q1 ? q2 ?
2q q1 q2
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例：半径为R，带电为Q的黄铜球浮在相对电容率为r的大油槽 中，如图，球的一半浸在油中，而上半部分在空气中， 求：(1)球的上、下表面各有多少电荷，(2)在下半球面附近介质 上的极化电荷，(3)此球的电容？ 铜球 R 分析：若没有浸在油中，电荷Q应该均匀 r 分布在球面上，但铜球现一半浸在油中， 其上电荷已不是均匀分布。
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联接→两球等势 Ua=Ub，即
q1 q2 面密度 1 , 2 , 2 2 4 a 4 b
4 0 a
q1

4 0b
q2
q1b q2 a
q1a q2b 2 2 1a 2b 4 0 a 4 0b
a b
a b, q1 q2 , 1 2
1 2
A d1
d2 B
1
电容为
0S 1 2 S q C U 0 d1 / 1 0 d 2 / 2 1d 2 2 d1
2S
d2
相当于两个电容器的串联
d1 1 C 1 1 C1 C2
1 d1 d2 1S 2 S
C1
1S
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解：设导体球上半表面带电Q1，下半表面带电Q2，则有
Q q Q q Q q Q2 , Q1 Q2 q q 2 2 2 这些自由电荷在各自半球面上均匀分布 铜球 Q q 2 , 2 4 R Q q 1 4 R 2
R
r
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电场能量减少，说明电场力做正功，外力做负功，金属板被吸入 电容器的边缘电场吸引金属板上产生的异号感应电荷所致
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若充电后保持其电压U不变，又如何？ 极板上电量将改变 q (C C0 )U
S
(
0S
d b

0S
d
)U
0 SbU
d (d b)
b
d
0
电源做正功： A qU (C C )U 2 1 0
We we dV
V

R
2 Q2 Q 2 r dr 2 4 32 0 r 8 0


R
1 Q2 dr 2 r 8 0 R
•导体等势 V
Q 4 0 R
1 1 Q Q2 We V dq dq 2 Q 2 4 0 R Q 8 0 R
2 q 一个极板受到另一个极板的电场的吸引力 F q 2 0 2 0 S
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2 q d 间距从d到2d，电场力做负功，而外力的功 A Fd 2 0 S 2 1 q 2 板间的电场能量密度也不变 we 0 E 2 2 0 S 2 2 q d 而电场能量的增量 We we (2d d )S A 2 0 S
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(2)两球的总电量为2q，电势均为
q U a Ub 4 0 a 2 0 (a b) q1
2q C 4 0 (a b) Ua
a b
Ca 4 0a
Cb 4 0b
C Ca Cb 4 0 (a b)
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也可将此导体组看作是两个孤立导体球的并联， 或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联。 • 对(1)也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布
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(2)保持电源连接，移动过程中极板间的电压将保持不变
1 C0 2d 2 1 1 1 则电场能量的改变量为 We CU 2 C0U 2 C0U 2 0 2 2 4 拉开极板的过程中外力做负功？
而间距从d到2d，电容减半 C 在此过程中除外力做正功外，由于极板上电荷量的变化，还有 电源在做负功(对电源做功)，从而导致了电场能量的减少。
C2
1
1 2 S 1d 2 2 d1
2
C2
C1
d1
d2
2
另一种情况
0
0
由于极板为等势体
U E d
U1 U 2 U
1
S
E1 E2
1
S1
各层电介质中的电场强度相同
2
A
2
S
S2
B
d
3
D1 1
E D/
D2 2
0
Sd U E1d 0 1S1 2 S2
q C U
d
1S1 2 S 2 Sd 0 d 1S1 2 S2
0S
1 C1
S1
相当于两个电容器的并联
2
C2
d
C1
1S1
d
C2
2S2
d
S2
C C1 C2
1S1 2 S2
6
1 1 C C1 1/( ) 2C1 C2 C3 0S C2 C3 2C1 d /2
(2)设引脚B与金属盒相连， 相当于C3被接通，C3=0
K
C C1 C2 3C1
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例：两个相距很远的导体球，半径分别为a、b(<a)，每 球各带有电荷q，现用一根细长导线将两球联接，静电 平衡后忽略导线中所带电荷，求:(1)电荷迁移方向及最 终两球上的电荷量，(2)该导体组的电容。
0 SbU 2
d (d b)
0
2 SbU 1 1 1 电容器能量的改变量 W CU 2 C0U 2 A1 0 0 2 2 2 2d (d b)
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2 SbU 1 外力做负功： A2 W A1 A1 0 0 2 2d (d b) 过程中，电源提供能量，一部分储存于电场，一部分对外做功
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例：一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，(1)充 电至两极板分别带电为+q和-q后，断开电源，再把两板慢慢拉开 至间距为2d ，(2)若保持与电源连接以维持电压为U，再把两极 板慢慢拉至2d，求：两种过程中外力克服电场力所做的功？ 解：(1)断开电源后，移动过程中极板上的电荷量将保持不变 q 从而板间的场强也将保持不变 E 2 0 2 0 0 0 S
d
5
例：如图，两块相距为d，面积均为S的薄金属板A、B构成的 空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上下两壁与A、 B分别相距d/2， 求：(1)被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍？(2)若电容器的 一个引脚不慎与金属盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？ S 解：原来无金属盒时 C1 0 d (1)被屏蔽后，AK、BK分别又形成 电容器，二者串联后与AB并联
r 1 r 1 Q q Q q 即 Q, Q2 Q q Q, Q1 1 r 1 r 1 r 2 2 r
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1 Q 1 , 2 1 r 2 R
r Q 2 , 2 1 r 2 R
1 r Q 1 r 2 R 2
铜球
R
1 Q E1 E2 0 (1 r ) 2 r 2
V
R
Q dr Q Q 2 2 0 (1 r ) r 2 0 (1 r ) R C
r
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•将此铜球看作两个电量不同的孤立导体球各取一半，并联而成 上半球的电容： C1 2 0 R 下半球的电容： C2 2 0 r R