工程数学练习习题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Gs2-38
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四、证明题
1．设 是 阶对称矩阵，试证： 也是对称矩阵．
证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知
已知 是对称矩阵，故有 ，即
由此可知 也是对称矩阵，证毕．
2．设n阶矩阵A满足 ，则A为可逆矩阵．
证明：因为 ，即
所以，A为可逆矩阵．
3．设向量组 线性无关，令 ， ， ，证明向量组 线性无关。
令 ， ，得导出组的解向量 ；
令 ， ，得导出组的解向量 ．
所以方程组的通解为：
，
其中 ， 是任意实数．
3．设随机变量X~N（3，4）．求：（1）P（1<X< 7）；（2）使P（X<a）=0.9成立的常数a．(已知 ， ， )．
解：（1）P（1<X< 7）= =
= =0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186
A. B.
C. D.
正确答案：B
7． （ ）．
A. B.
C. D.
正确答案：D
8．若（ ）成立，则 元线性方程组 有唯一解．
A. B.
C. D. 的行向量线性相关
正确答案：A
9. 若条件（ ）成立，则随机事件 ， 互为对立事件．
A. 或 B. 或
C. 且 D. 且
正确答案：C
10．对来自正态总体 （ 未知）的一个样本 ，记 ，则下列各式中（ ）不是统计量．
A. B.
C. D.
正确答案： C
二、填空题
1．设 ，则 的根是．
应该填写：1，-1，2，-2
2．设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量．
应该填写：3
3．设 互不相容，且 ，则 ．
应该填写：0
4．设随机变量X~B（n，p），则E（X）=．
应该填写：np
7．设 ，试求：(1) ；(2) ．
（已知 ）
解：(1)
(2)
8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为 ，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间 ．
解：由于已知 ，故选取样本函数
已知 ，经计算得
滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为 ，又由已知条件 ，故此置信区间为
（2）因为P（X<a）= = = 0.9
所以 ，a= 3 + =5.56
4．从正态总体N（ ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得 = 2.5，求 的置信度为99%的置信区间.(已知 )
解：已知 ，n= 625，且 ~
因为 = 2.5， ， ，
所以置信度为99%的 的置信区间为：
.
5．设矩阵 ，求 ．
应该填写：统计量
三、计算题
1．设矩阵 ，求 ．
解：由矩阵乘法和转置运算得
利用初等行变换得
即
2．求下列线性方程组的通解．
解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即
方程组的一般解为： ，其中 ， 是自由未知量．
令 ，得方程组的一个特解 ．
方程组的导出组的一般解为：
，其中 ， 是自由未知量．
5．若样本 来自总体 ，且 ，则 ．
应该填写：
6．设 均为3阶方阵， ，则 ．
应该填写：8
7．设 为n阶方阵，若存在数和非零n维向量 ，使得，则称 为 相应于特征值的特征向量．
应该填写：
8．若 ，则 ．
应该填写：0.3
9．如果随机变量 的期望 ， ，那么 ．
应该填写：20
10．不含未知参数的样本函数称为．
证明：设 ，即
因为 线性无关，所以
解得k1=0,k2=0,k3=0，从而 线性无关．
4．设随机事件 , 相互独立，试证： 也相互独立．
证明：
所以 也相互独立．证毕．
5．设 , 为随机事件，试证：
证明：由事件的关系可知
而 ，故由概率的性质可知
今天的活动就到这里，大家还有什么问题，请随时与我们联系。谢谢大家参与这次活动。再见！
综合练习
一、单项选择题
1．设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：A
2．方程组 相容的充分必要条件是()，其中 ， ．
A． B．
C． D．
正确答案：B
3．下列命题中不正确的是（）．
A．A与 有相同的特征多项式
B．若 是A的特征值，则 的非零解向量必是A对应于 的特征向量
利用初等行变换得
即
由矩阵乘法得
6．当 取何值时，线性方程组
有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。
此时齐次方程组化为
分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系
令 ，得非齐次方程组的一个特解
由此得原方程组的全部解为
（其中 为任意常数）
C．若 =0是A的一个特征值，则 必有非零解
D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量
正确答案：D
4．若事件 与 互斥，则下列等式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：A
5．设 是来自正态总体 的样本，则检验假设 采用统计量U=（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：C
6．若 是对称矩阵，则等式（ ）成立．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四、证明题
1．设 是 阶对称矩阵，试证： 也是对称矩阵．
证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知
已知 是对称矩阵，故有 ，即
由此可知 也是对称矩阵，证毕．
2．设n阶矩阵A满足 ，则A为可逆矩阵．
证明：因为 ，即
所以，A为可逆矩阵．
3．设向量组 线性无关，令 ， ， ，证明向量组 线性无关。
令 ， ，得导出组的解向量 ；
令 ， ，得导出组的解向量 ．
所以方程组的通解为：
，
其中 ， 是任意实数．
3．设随机变量X~N（3，4）．求：（1）P（1<X< 7）；（2）使P（X<a）=0.9成立的常数a．(已知 ， ， )．
解：（1）P（1<X< 7）= =
= =0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186
A. B.
C. D.
正确答案：B
7． （ ）．
A. B.
C. D.
正确答案：D
8．若（ ）成立，则 元线性方程组 有唯一解．
A. B.
C. D. 的行向量线性相关
正确答案：A
9. 若条件（ ）成立，则随机事件 ， 互为对立事件．
A. 或 B. 或
C. 且 D. 且
正确答案：C
10．对来自正态总体 （ 未知）的一个样本 ，记 ，则下列各式中（ ）不是统计量．
A. B.
C. D.
正确答案： C
二、填空题
1．设 ，则 的根是．
应该填写：1，-1，2，-2
2．设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量．
应该填写：3
3．设 互不相容，且 ，则 ．
应该填写：0
4．设随机变量X~B（n，p），则E（X）=．
应该填写：np
7．设 ，试求：(1) ；(2) ．
（已知 ）
解：(1)
(2)
8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为 ，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间 ．
解：由于已知 ，故选取样本函数
已知 ，经计算得
滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为 ，又由已知条件 ，故此置信区间为
（2）因为P（X<a）= = = 0.9
所以 ，a= 3 + =5.56
4．从正态总体N（ ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得 = 2.5，求 的置信度为99%的置信区间.(已知 )
解：已知 ，n= 625，且 ~
因为 = 2.5， ， ，
所以置信度为99%的 的置信区间为：
.
5．设矩阵 ，求 ．
应该填写：统计量
三、计算题
1．设矩阵 ，求 ．
解：由矩阵乘法和转置运算得
利用初等行变换得
即
2．求下列线性方程组的通解．
解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即
方程组的一般解为： ，其中 ， 是自由未知量．
令 ，得方程组的一个特解 ．
方程组的导出组的一般解为：
，其中 ， 是自由未知量．
5．若样本 来自总体 ，且 ，则 ．
应该填写：
6．设 均为3阶方阵， ，则 ．
应该填写：8
7．设 为n阶方阵，若存在数和非零n维向量 ，使得，则称 为 相应于特征值的特征向量．
应该填写：
8．若 ，则 ．
应该填写：0.3
9．如果随机变量 的期望 ， ，那么 ．
应该填写：20
10．不含未知参数的样本函数称为．
证明：设 ，即
因为 线性无关，所以
解得k1=0,k2=0,k3=0，从而 线性无关．
4．设随机事件 , 相互独立，试证： 也相互独立．
证明：
所以 也相互独立．证毕．
5．设 , 为随机事件，试证：
证明：由事件的关系可知
而 ，故由概率的性质可知
今天的活动就到这里，大家还有什么问题，请随时与我们联系。谢谢大家参与这次活动。再见！
综合练习
一、单项选择题
1．设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：A
2．方程组 相容的充分必要条件是()，其中 ， ．
A． B．
C． D．
正确答案：B
3．下列命题中不正确的是（）．
A．A与 有相同的特征多项式
B．若 是A的特征值，则 的非零解向量必是A对应于 的特征向量
利用初等行变换得
即
由矩阵乘法得
6．当 取何值时，线性方程组
有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。
此时齐次方程组化为
分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系
令 ，得非齐次方程组的一个特解
由此得原方程组的全部解为
（其中 为任意常数）
C．若 =0是A的一个特征值，则 必有非零解
D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量
正确答案：D
4．若事件 与 互斥，则下列等式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：A
5．设 是来自正态总体 的样本，则检验假设 采用统计量U=（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：C
6．若 是对称矩阵，则等式（ ）成立．