河北省张家口宣化一中2020-2021学年高一上学期11月月考数学试卷Word版含答案

2020-2021学年上学期宣化一中高一年级月考
数学试卷（11月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.下列符号表述正确的是()
A. 0∈N∗
B. 1.732∉Q
C. ⌀∈{0}
D. ⌀⊆{x|x≤2}
2.已知集合U={1,2，3，4，5，6，7}，A={2,3，4，5}，B={2,3，6，7}，则B∩∁U A=()
A. {1,6}
B. {1,7}
C. {6,7}
D. {1,6，7}
3.已知函数y=f(x)，部分x与y的对应关系如表：则f(4)=()
A. 1
B. −2
C. −3
D. 3
4.函数f(x)=√x+1
2−x
的定义域为()
A. [−1,2)∪(2,+∞)
B. (−1,+∞)
C. [−1,2)
D. [−1,+∞)
5.M={x|6x2−5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P⊆M，则a的取值集合为()
A. {2}
B. {3}
C. {2,3}
D. {0,2，3}
6.函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点的个数是()
A. 0B. 1C. 0或1D. 无法确定
7.下列函数为同一函数的是()
A. f(x)=|x|
x 与g(x)={
1,x≥0
−1,x<0B. f(x)=√x+√x+1与g(x)=√x(x+1)C. f(x)=x
2−2x−1
与g(t)=t2−2t−1D. f(x)=1与g(x)=x0(x≠0)
8. 某校高一(9)班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竟赛中有25名参
加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为( )
A. 10
B. 1
C. 12
D. 13
9. 已知函数f(√x +2)=x +4√x +5，则f(x)的解析式为( )
A. f(x)=x 2+1
B. f(x)=x 2+1(x ≥2)
C. f(x)=x 2
D. f(x)=x 2(x ≥2)
10. 函数f(x)=|x 3+1|+|x 3−1|，则函数f(x)图象( )
A. 关于原点对称
B. 关与直线y =x 对称
C. 关于x 轴对称
D. 关于y 轴对称
11. f(x)={(3a −1)x +4a,(x <1)−ax,(x ≥1)
是定义在(−∞,+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A. [18,13)B. [0,13]C. (0,13)D. (−∞,13]
12. 设集合M 满足：若t ∈M ，则2020−t ∈M ，且集合M 中所有元素之和m ∈(2020×11,2020×12)，
则集合M 中元素个数为( ) A. 22B. 22或23C. 23D. 23或24
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，则f(9)=______．
14. 已知集合A ={2,4，6，8，9，11}，B ={1,2，3，5，7，8}，非空集合C 满足：C 中每一个元素都加
上2变成A 的一个子集，C 中每一个元素都减去2变成B 的一个子集，则集合C 中元素最多有______个．
15. 函数f(x)=√−x 2+5x−6的单调递减区间是______．
16. 设函数f(x)=(x+1)2+a 2x
x 2+1,a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合A =[−5,6]，B =[2m −1,m +1]．(1)当m =−3时、求A ∩B ，A ∪B ；(2)若A ∪B =A ，求
实数m 的取值范围．
18.已知函数f(x)=2x−3
．(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并用定义证明其结论；(2)求函数x+1
f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值．
19.某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．每个月的保险费
为3元，当每个月使用的煤气量不超过am3时，只缴纳基本月租费c元；如果超过这个使用量，超出的部分按b元/m3计费．
(1)写出每个月的气费y(元)关于该月使用的煤气量x(m3)的函数解析式；(2)如果某个居民7−9月份使
用煤气与收费情况如上表，请确定a，b，c及y与x的函数关系式(其中，仅7月份煤气使用量未超过am3.)．
20.已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3−x)=f(x)，且有最小值是7
．(1)求f(x)的解
4析式；(2)在区间[−1,3]上，y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．21.已知函数f(x)=x+a
，g(x)=x2−bx，a、b∈R．(1)若集合{x|f(x)=2x+2}只含有一个元素，试
x
求实数a的值；(2)在(1)的条件下，当m∈[2,4]，n∈[1,5]时，有f(m)大于等于g(n)恒成立，试求实数b的取值范围．
22.设二次函数f(x)=x2−(4a−2)x+5a2−4a+2，x∈[0,1]的最小值为g(a)．(1)求g(a)的解析式；
(2)求g(a)的最小值．
2020-2021学年上学期宣化一中高一年级月考
数学试卷（11月份）答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对于A ，0不是正数也不是负数，故A 错误，对于B ，Q 是有理数集，1.732是有理数，故B
错误，对于C ，“∈”是元素与集合的关系表示法，故C 错误，对于D ，⌀是任何集合的真子集，故D 正确．故
选：
D ．A 根据N ∗定义可判断，B 根据Q 的定义判断即可，C 根据集合与集合的关系表示可判断，D 根据⌀的定义进行判断即可．本题考查了集合的基本概念，属于基础题．2.【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题．先求出∁U A ，然后再求B ∩∁U A 即可求解．【解
答】解：∵U ={1,2，3，4，5，6，7}，A ={2,3，4，5}，B ={2,3，6，7}，∴∁U A ={1,6，7}，则B ∩∁U A ={6,7}，
故选C ．3.【答案】C
【解析】解：由表格可得f(4)═−3，故选：C ．直接根据表格得结论即可．本题考查了函数值的求法．属基础题．4.【答案】A
【解析】解：由题意得：{x +1≥02−x ≠0
，解得：x ≥−1或x ≠2，故函数的定义域是[−1,2)∪(2,+∞)，故选：A ．根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．5.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．求出M ={x|6x 2−5x +1=0}={ }，P ={x|ax =1}，P ⊆M ，从而能求出a 的取值集合．【解答】解：M ={x|6x 2−5x +1=0}={13,12}，P ={x|ax =1}，P ⊆M ，∴P =⌀，P ={13}或P ={12}，∴a =0或a =3或a =2．∴a 的取值集合为{0,2，3}．故选D ．6.【答案】C
【解析】解：根据函数y =f(x)的定义，当x 在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值f(x)与之对应，函数y =f(x)的图象与直线x =m 有唯一交点．当x 不在定义域内时，函数值f(x)不存在，函数y =f(x)的图象与直线x =m 没有交点．故函数y =f(x)的图象与直线x =m 至多有一个交点，即函数y =f(x)
的图象与直线x =m 的交点的个数是0或1，故选：C ．根据函数的定义可得函数y =f(x)的图象与直线x =m
至多有一个交点，由此得到结论．本题主要考查函数的定义，函数图象的作法，属于基础题．7.【答案】C
【解析】解：对于A ，f(x)=|x|x 的定义域为{x|x ≠0}，g(x)={1,x ≥0−1,x <0
的定义域为R ，两个函数的定义域不同，故A 中两个函数不是同一函数；对于B ，f(x)=√x +√x +1的定义域为{x|x ≥0}，g(x)=
√x(x +1)的定义域为{x|x ≥0或x ≤−1}，两个函数的定义域不同，故B 中两个函数不是同一函数；对于C ，f(x)=x 2−2x −1与g(t)=t 2−2t −1定义域相同，对应法则一致，故C 中两个函数是同一函数；对于D ，f(x)=1的定义域是R ，g(x)=x 0(x ≠0)的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不同，故D 中两个函数不是同一函数．故选：C ．两个函数只有满足：定义域相同，对应法则一致时，才是同一函数．本题考查两个函数是不是同一函数的判断，考查同一函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.
【答案】C
【解析】解：设在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为x ，由题意作出韦恩图，得：
由韦恩图得：x +12+12+13=49，解得x =12．∴在这
两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为12．故选：C ．设在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为x ，由题意作出韦恩图，由韦恩图列出方程，由此能求出在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数．本题考查在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数的求法，考查韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B
【解析】解：f(√x +2)=x +4√x +5=(√x +2)2+1；∴f(x)=x 2+1(x ≥2)．故选：B ．可变形原解析式得出f(√x +2)=(√x +2)2+1，将√x +2换上x(x ≥2)即可得出f(x)的解析式．考查函数解析式的定义及求法，换元求函数解析式的方法．10.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x 3+1|+|x 3−1|，其定义域为R ，有f(−x)=|(−x)3+1|+|(−x)3−1|=|x 3+1|+|x 3−1|=f(x)，则函数f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y 轴对称，故选：D ．根据题意，先分析函数f(x)的定义域，求出f(−x)的表达式可得f(−x)=f(x)，即可得f(x)为偶函数，由偶函数的定义可得答案．本题考查函数图象的对称性，注意分析f(−x)与f(x)的关系，属于基础题．11.【答案】A
【解析】解：由题意可得{3a −1<0−a <0−a <3a −1+4a
，求得18≤a <13，故选：A ．由题意可得3a −1<0、−a <0、
且−a ≤3a −1+4a ，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a 的范围．本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．12.【答案】C
【解析】解：由题意可知，集合M 中的元素是成对出现的，每对元素的和为2020，又因为集合M 中所有元素之和m ∈(2020×11,2020×12)，所以集合M 中的元素个数比11对多，比12对少，又因为，2020−1010=1010所以集合M 中有11+12=23个元素．故选：C ．若t ∈M ，则2020−t ∈M ，可知，集合M 中的元素是对称出现的，由集合M 中所有元素之和m ∈(2020×11,2020×12)，可知集合M 中的元素个数比11对多，比12对少，即可得到结果．本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．13.【答案】3
【解析】
【分析】本题考查幂函数，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(9)的值．【解答】解：由题意令y =f(x)=x a ，由于图象过点(2,√2)，得√2=2a ，a =12
∴y =f(x)=x 12 ∴f(9)=3．故答案为：3．14.【答案】3
【解析】解：集合A ={2,4，6，8，9，11}，B ={1,2，3，5，7，8}，∵非空集合C 满足：C 中每一个元素都加上2变成A 的一个子集，∴满足条件的可能元素有：0，2，4，6，7，9，∵C 中每一个元素都减去2变
成B 的一个子集，∴满足条件的可能元素有：10，9，7，5，4，3，则集合C 中元素最多时集合C ={4,7，
9}．∴集合C 中元素最多有3个．故答案为：3．由C 中每一个元素都加上2变成A 的一个子集，求出满足条件的可能元素有：0，2，4，6，7，9，由C 中每一个元素都减去2变成B 的一个子集，求出满足条件的可能元素有：10，9，7，5，4，3，由此能滶出集合C 中元素最多有多少个．本题考查集合中元素个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】(2,52]
【解析】解：由−x 2+5x −6>0，得x 2−5x +6<0，解得2<x <3，∴函数f(x)的定义域为(2,3)，令t =−x 2+5x −6，其图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程为x =52，当x ∈(2,52]时，函数t =−x 2+5x −6单调递增，则y =√t 单调递增，∴函数f(x)=√−x 2+5x−6在(2,52]上单调递减．故答案为：(2,52].由分母中根式内部的代数式大于0求得函数的定义域，再求出函数t =−x 2+5x −6单调递增区间，即可得到函数f(x)=√−x 2+5x−6的单调递减区间．本题主要考查函数单调性的判断，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是中档题．16.【答案】2
【解析】解：令g(x)=a 2x ，∵函数g(x)=a 2x 为奇函数，∴g(−x)=−g(x)，又f(x)=
(x+1)2+g(x)x 2+1=1+2x+g(x)
x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，又ℎ(−x)=−2x+g(x)
x 2+1=−ℎ(x)，即y =ℎ(x)为奇函数，且ℎ(x)=
2x+g(x)x 2+1的最大最小值分别为M −1，m −1，由奇函数的性质可得(M −1)+(m −1)=0，解得：M +m =2，故
答案为：2．由题意可得f(x)的最大最小值分别为M −1，m −1，由奇函数的性质可得(M −1)+(m −1)=0，变形可得答案．本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题．17.【答案】解：(1)当m =−3
时，集合A =[−5,6]，集合B =[−7,−2]，
∴A ∩B =[−5,−2]，A ∪B =[−7,6]；(2)∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，由题意可得{2m −1<m +1
2m −1≥−5m +1≤6
，解得−2≤m <2，综上所述：实数m 的取值范围为[−2,2)．
【解析】(1)利用集合的交集和并集的定义求解．(2)由题意可知B ⊆A ，根据集合间的包含关系列出不等式组解出m 的取值范围即可．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．18.【答案】解：(1)f(x)在区间[0,+∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[0,+∞)，且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=
2x 1−3x 1+1−2x 2−3x 2+1=5(x 1−x 2)
(x 1+1)(x 2+1)，∵x 1−x 2<0，(x 1+1)(x 2+1)>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上是增函数，故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为f(9)=32，最小值为f(2)=13．
【解析】(1)利用函数的单调性的定义证明即可；(2)利用函数的单调性，求解函数的最值即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．19.【答案】解：(1)y =
{3+c,x ≤a 3+c +b(x −a),x >a ．(2)由表可得，{3+c =43+c +b(25−a)=143+c +b(35−a)=19
，解得a =5，b =12，c =1，∴y ={4,x ≤512x +32,x >5． 【解析】(1)根据题意，分x ≤a 和x >a 两段写出y 关于x 的关系式；(2)把表中的数据代入(1)中的函数关系式，可得关于a 、b 、c 的方程组，解之即可．本题考查分段函数的实际应用，合理选择函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)由题意知，二次函数图象的对称轴为x =32，又最小值是74，则可设f(x)=a(x −32)2+74(a ≠0)，又图象过点(0,4)，则a(0−32)2+74=
4，解得a =1，
∴f(x)=(x −32)2+74=x 2−3x +4．(2)由已知，f(x)>2x +m 对x ∈[−1,3]恒成立，∴m <x 2−5x +4对x ∈[−1,3]恒成立，∴m <(x 2−5x +4)min (x ∈[−1,3])，∵g(x)=x 2−5x +4在x ∈[−1,3]上的最小值为g(52)=−94．∴m <−94．
【解析】(1)求出二次函数图象的对称轴为x =32，又最小值是74，设f(x)=a(x −32)2+74(a ≠0)，图象过点(0,4)，求出a ，然后求解函数的解析式．(2)已知转化为f(x)>2x +m 对x ∈[−1,3]恒成立，分离变量，求解的最值即可．本题考查函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．21.【答案】解：
(1)f(x)=2x +2，即x +a x =2x +2，∴x 2+2x −a =0．∵集合{x|f(x)=2x +2}只含有一个元素，∴△=4+4a =0，∴a =−1；(2)f(m)=m −1m ，∵m ∈[2,4]，∴f(m)min =2−12=32，∵当m ∈[2,4]，n ∈[1,5]时有f(m)大于等于g(n)恒成立，∴n 2−bn ≤32，n ∈[1,5]时恒成立，∴b ≥n −32n ，∵y =n −32n ，n ∈[1,5]时单调递增，∴b ≥5−310=4710．
【解析】(1)f(x)=2x +2}转化为x 2+2x −a =0，利用根的判别式为0，可求若集合{x|f(x)=2x +2}只含有一个元素，实数a 的值；(2)求出f(m)的最小值，问题转化为n 2−bn ≤32，n ∈[1,5]时恒成立，分离参数求最值，即可求实数b 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.
【答案】解：(1)f(x)=x 2−(4a −2)x +5a 2−4a +2=[x −(2a −1)]2+a 2+1，图象开口向上，对称轴是x =2a −1，①2a −1<0即a <12时，f(x)在[0,1]
递增，g(a)=f(0)=5a 2−4a +2，②0≤2a −1≤1即12≤a ≤1时，
f(x)在[0,2a −1)递减，在(2a −1,1]递增，故g(a)=f(2a −1)=a 2+1，③2a −1>1即a >1时，f(x)在[0,1]递减，故g(a)=f(1)=5a 2−
8a +5，综上：g(a)={5a 2−4a +2,a <
12a 2+1,12≤a ≤1
5a 2−8a +5,a >1
；(2)a <12时，g(a)=5a 2−4a +2，对称轴是a =25，故g(a)
在(−∞,25)递减，在(25,12)递增，故g(a)min =g(25)=65，12≤a ≤1时，g(a)=a 2+1，故g(a)在[12,1]递增，g(a)min =g(12)=54，a >1时，g(a)=5a 2−8a +5，对称轴是a =45，故g(a)在(1,+∞)递增，
g(a)>g(1)=2，综上，g(a)的最小值是65．
【解析】(1)化简函数的解析式，可得函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x =2a −1，分当2a −1<0、当0≤2a −1≤1、当2a −1>1三种情况，分别求得g(a)，综合可得结论；(2)求出函数g(a)在各个区间上的函数的最小值，再在几个最小值中取最小值即可．本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。