高中数学第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行直线与平面平行练习含解析新人教A版必修第二册

第八章8.5 8.5.1 8.5.2
A级——基础过关练
1．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
【答案】B【解析】因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC．
2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()
A．共面B．平行
C．异面D．平行或异面
【答案】D【解析】空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B．
4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有() A．0条B．1条
C．0条或1条D．无数条
【答案】C【解析】过直线a与n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
【答案】平行【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
6．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
【答案】②④【解析】①错，可以异面；②正确，基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．
7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
8．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求
证：
(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明：(1)如图，连接AC ．
因为在△ACD 中，M ，N 分别是CD ，AD 的中点，
所以MN 是△ACD 的中位线． 所以MN ∥AC ，MN ＝1
2AC ．
由正方体的性质得AC ∥A 1C 1， AC ＝A 1C 1.
所以MN ∥A 1C 1，且MN ＝1
2A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.
所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.
又因为ND ∥A 1D 1，所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.
9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BDD 1B 1.
证明：如图，取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB ．
因为OF 1
2B1C1，BE
1
2B1C1，
所以OF BE.
所以四边形OFEB是平行四边形．
所以EF∥BO.
因为EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
B级——能力提升练
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()
A．平行B．相交
C．异面D．不确定
【答案】A【解析】因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．
11．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()
A．3条B．4条
C．5条D．6条
【答案】D【解析】记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．12．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GC
D ．A
E ∶EB ＝AH ∶HD ，且B
F ∶FC ＝D
G ∶GC
【答案】D 【解析】由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC ．
13．(多选)如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N ，P ，Q ，E 分别是AB ，BC ，CD ，AD ，AC 的中点，则下列说法正确的是( )
A ．M ，N ，P ，Q 四点共面
B ．∠QME ＝∠CBD
C ．△BC
D ∽△MEQ D ．四边形MNPQ 为矩形
【答案】ABC 【解析】由条件易得MQ ∥BD ，ME ∥BC ，QE ∥CD ，NP ∥BD ，所以MQ ∥NP .对于A ，由MQ ∥NP ，得M ，N ，P ，Q 四点共面，故A 正确；对于B ，根据等角定理，得∠QME ＝∠DBC ，故B 正确；对于C ，由等角定理知∠QME ＝∠DBC ，∠MEQ ＝∠BCD ，则△BCD ∽△MEQ ，故C 正确；对于D ，没有充分理由推证四边形MNPQ 为矩形，故D 不正确．
14．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若BD ＝2，AC ＝4，则四边形EFGH 的周长为________．
【答案】6 【解析】因为E ，H 分别是空间四边形ABCD 中的边AB ，DA 的中点，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ＝FG ＝1
2BD ＝1.同理EF ＝GH ＝
1
2
AC ＝2，所以四边形EFGH 的周长为6. 15．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝2
3，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，求平行线EH ，FG
间的距离．
解：在△BCD 中，因为CF CB ＝CG CD ＝23，所以GF ∥BD ，FG BD ＝2
3.因为BD ＝6 cm ，所以FG ＝4 cm.
在△ABD 中，因为点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ＝1
2BD ＝3(cm)．
设EH ，FG 间的距离为d cm ，则1
2×(4＋3)·d ＝28，所以d ＝8.
所以EH 和FG 间的距离为8 cm.
16．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝90°，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF ，M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE .
证明：因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°， 所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°.
由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF .由于FG ∥BC ，FG ＝1
2BC ，在▱ABCD 中，
M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝1
2
BC ．
因此FG ∥AM 且FG ＝AM .
所以四边形AFGM 为平行四边形． 因此GM ∥F A ．
又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ， 所以GM ∥平面ABFE .
C 级——探索创新练
17．如图，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．
(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；
(3)是否存在点Q ，到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． (1)证明：∵D ，E 分别为AP ，AC 的中点，∴DE ∥PC ． ∵DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ， ∴DE ∥平面BCP .
(2)解：∵D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点， ∴DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF . ∴四边形DEFG 为平行四边形．
∵PC ⊥AB ，∴DE ⊥DG ，∴四边形DEFG 为矩形．
(3)解：存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点，由(2)知DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝1
2EG ，分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，
MN ，与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝
1
2EG ，∴Q 为满足条件的点．。