高考数学课时作业31 文(含解析)北师大版

高考数学课时作业31 文（含解析）北师大版
一、选择题
1．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若λa －b 与a 垂直，则实数λ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2
D ．2
解析：λa －b ＝(λ－4，－3λ＋2)，则(λ－4)＋(－3λ＋2)(－3)＝0，解得λ＝1. 答案：B
2．(2012年济南二模)平面向量a 与b 的夹角为2π
3，a ＝(3,0)，|b |＝2，则|a ＋2b |＝
( )
A ．7 B.37 C.13 D ．3
解析：|a ＋2b |＝a ＋2b
2
＝
|a |2＋4|b |2
＋4|a ||b |cos 2π3
＝13.
答案：C
3．已知正方形ABCD 的边长为2，令AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，则|a ＋b ＋c |＝ A ．0 B. 2 C ．2
D ．4
解析：|a ＋b ＋c |2
＝|a |2
＋|b |2
＋|c |2
＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝2＋2＋4＋4·22cos 45°＝16，
∴|a ＋b ＋c |＝4. 答案：D
4．函数y ＝tan(π4x －π
2)的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝
( )
A ．6
B ．4
C ．－4
D ．－6
解析：如图，A (2,0)，B (3,1)，(OA →＋OB →)·AB →＝－(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OB →2－OA →2
＝10
－4＝6，选A.
答案：A
5．(2012年江西九校联考)向量a ，b 均为单位向量，且a ·b ＝1
2，向量a －c 与向量b
－c 的夹角为π
6
，则向量a －c 的模长的最大值为
( )
A.32 B ．1
C.23
2
D ．2
解析：由题意画图：令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ；向量a 和向量b 的夹角为60°，又向量
a －c 和向量
b －
c 的夹角为30°，故点A 、B 、C 三点在同一个单位圆上．当A 、O 、C 三点共
线时，|a －c |取到最大值，其最大值恰为单位圆的直径长2.故选D.
答案：D
6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；
③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；
④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°. 其中真命题的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0不正确，向量的数量积不满足乘法运算的结合律故上述结论不一定成立．②|a |－|b |<|a －b |不正确，也有取等号的可能．③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直不正确，因为前后两个向量的数量积恰好为0，故两向量始终是垂直的．④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°.是正确的，因为上述三个向量恰好构成一个等边三角形，a ＋b 恰好是三角形的角平分线，故a 与a ＋b 的夹角为30°.所以选A.
答案：A
二、填空题
7．(2012年佛山质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为________． 解析：由a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，得b ＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)． 设向量a ，b 的夹角为θ，
则cos θ＝a ·b |a ||b |＝222＝22，θ＝π4
.
答案：π
4
8．(2012年安徽)若平面向量a ，b 满足：|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 解析：|2a －b |≤3⇔4a 2
＋b 2
≤9＋4a ·b ， 4a 2
＋b 2
≥4|a ||b |≥－4a ·b ⇒9＋4a ·b ≥－4a ·b ⇔a ·b ≥－98.
答案：－9
8
9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →
＝________.
解析：在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|＝7，则cos θ＝9＋7－12×3×7＝5
27.
故AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·co s θ＝152.
答案：152
三、解答题
10．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，
所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin (α＋β)－8cos (α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得
|b ＋c |＝sin β＋cos β
2
＋4cos β－4sin β
2
＝17－15sin 2β≤4 2.
又当β＝k π－π
4(k ∈Z )时，等号成立，
所以|b ＋c |的最大值为4 2.
(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α
4cos β，
即16cos βcos α＝sin αsin β， 所以a ∥b .
11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(sin A ，cos B )，n ＝(cos A ，sin B )．
(1)若m ∥n ，求角C ；
(2)若m ⊥n ，B ＝15°，a ＝6＋2，求边c 的大小．
解：(1)由m ∥n ⇒sin A sin B －cos A cos B ＝0⇒cos (A ＋B )＝0， 因为0°<A ＋B <180°，所以A ＋B ＝90°，
C ＝180°－(A ＋B )＝90°.
(2)由m ⊥n ⇒sin A cos A ＋sin B cos B ＝0⇒sin 2A ＋sin 2B ＝0，已知B ＝15°，所以sin 2A ＋sin 30°＝0，sin 2A ＝－1
2
，
因为0<2A <360°－2B ＝330°，所以2A ＝210°，A ＝105°，
C ＝180°－15°－105°＝60°.
根据正弦定理a sin A ＝c sin C ⇒6＋2sin 105°＝c
sin 60°
⇒c ＝
6＋2sin 60°
sin 105°
，
因为sin 105°＝sin (45°＋60°)＝
6＋2
4
， 所以c ＝
6＋2×
32
6＋24
＝2 3.
12．设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →
＝0.
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝23，试求AB →·CB →
的最小值．
解：(1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →
＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0， 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，
则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin (C ＋B )＝0， 即cos B ＝－12，所以B ＝2π
3.
(2)因为b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos 2π3，
所以12＝a 2
＋c 2
＋ac ≥3ac ，即ac ≤4. 当且仅当a ＝c 时取等号，此时ac 最大值为4. 所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－1
2ac ≥－2，
即AB →·CB →
的最小值为－2. [热点预测]
13．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝
( )
A.π
2 B ．－π2
C.
π
4
D ．－π
4
解析：由|2a ＋b |＝|a －2b |两边平方整理得3|a |2
－3|b |2
＋8a ·b ＝0. ∵|a |＝|b |＝1，故a ·b ＝0，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即cos (α－β)＝0，由于0<α<β<π， 故－π<α－β<0，
∴α－β＝－π2，即β－α＝π
2.
答案：A
14．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________． 解析：由a ·b <0，即2λ－3<0，解得λ<3
2，由a ∥b 得：
6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<3
2
，且λ≠－6.
答案：(－∞，－6)∪⎝
⎛⎭⎪⎫－6，32 15．若△ABC 的面积是30，cos A ＝12
13，则AB →·AC →的值为________．
解析：由cos A ＝12
13，得sin A ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
. 又1
2bc sin A ＝30，∴bc ＝156. ∴AB →·AC →＝bc cos A ＝156×12
13＝144.
答案：144。