2017届高三上学期期末考试试卷(3)

高三数学月考试题（文）
V
1
Sh
h
是锥体的高。

参照公式：锥体的体积公式： 3
，此中 S 是锥体的底面积，
第Ⅰ卷（共 50 分）
一 .选择题（本大题共 10 个小题，每题
5 分，共 50 分，每题给出的四个选项中只有一项
是切合题目要求的。

）
1.已知会合
A
{0,1,2}, B { x | x 2 x 2 0},则 A
B
＝（
）
A.｛ 0， 1,2｝
B.｛ 1,2｝
C.｛0， 1｝
D.｛0｝
2.复数
z
(7 3i )i 3 （ i
为虚数单位）在复平面上对应的点位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.以下函数中，既是奇函数，又是在区间（
0,
）上单一递减的函数为（ ）
y
1
1 x
ln
B. y x
1
C.
y ( 2
)
D.
y x 3
A.
| x |
x
4.已知向量 a
(1,2), b
( 4, m) ，若 2a b 与 a 垂直，则 m ＝（
）
A.－ 3
B.3
C.－ 8
D.8
x y 4 0
x y 4 0,
5.已知
x, y
知足拘束条件
y
则
z
3x
2y
的最大值为（
）
A.6
B.8
C.10
D.12
6.以下说法错误的选项是（
）
A.若
a,b
R, 且 a b
4
，则
a,b
起码有一个大于 2
x 0 R,2 x 0
1
x R,2 x
1
B.“
”的否认是“
”
C.
a
1,b 1 是 ab
1
的必需条件
D.△ ABC 中， A 是最大角，则
sin 2
A sin 2
B
sin 2
C
是△ ABC 为钝角三角形的充要条件
f (x 2), x 2
f ( x)
(1
) x , x 2
f (
1 log 3 5)
7.已知函数
3
，则 的值为（
）
1
5
2
A.
15
B.
3
C.15
D.
3
y 2cos 2 (x
)
0) 个单位后，所得图象对于 y 轴对
8.将函数
4 的图角沿 x 轴向右平移
a(a 称，则 a
的最小值为（
）
3
A.
4
B.
2
C.
4
D.
8
x 2
y 2 1(a 0,b 0)
F1，F2 分别是双曲线 a 2
b 2
9.已知点
的左、右焦点，过 F2 且垂直于 x
轴的
直线与双曲线交于 M ，N 两点，若
MF 1
NF
2
，则该双曲线的离心率
e
的取值范围是 （
）
A.（
2, 2
1）
B.（
1, 2
1）
C.（1， 3
）
D.（
3,
）
10.已知函数
f ( x) 是定义在 R 上的可导函数，
f ( x)
为其导函数，若对于随意实数
x
，有
f (x) f (x)
，则（
）
A. ef (2015) f (2016)
B. ef (2015) f (2016)
C.ef (2015) f (2016)
D.ef (2015) 与 f (2016)
大小不确立
第Ⅱ卷（共 100 分）
二 .填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分） 11 题图
11.履行右图的程序框图，则输出的
S ＝。

2
12.已知圆锥的侧面睁开图是一个半径为 3，圆心角为
3
的扇形，
则
此圆锥的体积为
13.如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的 5 次竞赛成绩（单
位：环），若两位运动员均匀成绩
相 同，则成绩较为稳固（方差较小）
13 题图
的
那位运动员成绩的方差为。

14. 已
知 M 、 N 是 圆
A : x 2 y 2
2x 0 与 圆
B : x 2 y 2 2x
4 y 0
的公共点，则△ BMN 的面积为 。

15. 已知△ ABC 的重心为
O ，过 O 任做向来线分别交边
AB 、 AC 于 P ， Q 两点，设 AP mAB , AQ
nAC ，则 4m
9n
的最小值是。

三 .解答题：本大题共 6 小题，共 75 分
16.（本小题满分 12
分）依据我国公布的《环境空气质量指数（ AQI ）技术规定》：空气质量指
数区分为 0～ 50，51～ 100， 101～150、 151～ 200、201～ 300 和大于 300 六级，对应于空气质
量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，
专家建议：当空气质量指数小于150 时，能够户外运动；空气质量指数151 及以上，不合适进行旅行等户外活动。

以下是德州市2015 年 12 月中旬的空气质量指数状况：时间11 日12 日13 日14 日15 日16 日17 日18 日19 日20 日AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269 （Ⅰ）求12 月中旬市民不合适进行户外活动的概率；
（Ⅱ）一外处旅客在12 月中旬来德州旅行，想连续游乐两天，求合适旅行的概率。

17.（本小题满分12分）已知向量m ( 3 sin x,cos x ),n (cos x ,cos x ), x R ,设
f (x) m n .
（Ⅰ）求函数f (x)
的分析式及单一增区间；
（Ⅱ）在△ ABC 中，a,b,c
分别为△ ABC内角 A，B，C 的对边，且
a 1,
b c
2, f ( A) 1, 求
△ ABC的面积。

18.（本小题满分 12 分）直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ ABC＝ 90°，AB＝ BC＝ BB1，M 为 A1B1 的中点， N 是 AC1 与 A1C 的交点。

（Ⅰ）求证：MN// 平面 BCC1B1；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面 ABC1.
19.（本小题满分 12 分）已知单一递加的等比数列{ a
n
}
知足
a2 a3 a4 28
，且
a
3
2
是
a
2
, a
4的等差中项。

（Ⅰ）求数列{ a
n
}
的通项公式。

（Ⅱ）设b
n
a
n
log
2
a
n ，其前n和为
S
n ，若(n 1) 2
m( S
n
n 1)
对于n
2
恒建立，求
实数m
的取值范围。

f (x) 1 a x2 ax ln x(a R)
20.（本小题满分13 分）设函数 2 .
（Ⅰ）当a3
时，求函数
f ( x)
的极值；
（Ⅱ）当 a 1 时，议论函数f ( x)
的单一性。

C : x2 y2 1(a b 0)
21.（本小题满分14 分）平面直角坐标系xoy
中，已知椭圆a2 b2 的左焦
2
点为 F，离心率为 2 ，过点F且垂直于长轴的弦长为 2 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程。

（Ⅱ）设点 A， B 分别是椭圆的左、右极点，若过点P（－ 2，0）的直线与椭圆订交于不一样两点 M，N.
（i）求证：∠ AFM＝∠ BFN；
（ii）求△ MNF 面积的最大值。

高三年级文科数学月考试题答案 一、选择题
1－5 C D B A D 6－10 C A C B A
二、填空题
2 2
3
25
（ 11） 26 （ 12）
3
（13） 2
（14）
2 （15）
3
三、解答题 （ 16）
解：（ ）该实验的基本领件空 间 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 ，基本领件总数 n 10....... 分
1
2 设事件 A “市民不合适进行室外 活动日期”，则 A 13,14,19,20 ，包括基本领件数 m 4....... 4分
因此 P( A) 4
2
，即：市民不合适进行 户外活动的概率为 2 .......... .......... .......... .................... ....6分 10 5 5 （ ）该实验的基本领件空间
（ ），（ ），（ ），（ ）（ ），
11,12 12,13 13,14 14,15 15,16 ， 2
（ ），（ ），（ ）（ ）
16,17
17,18
18,19
19,20
基本领件总数
n 9....................................................................................................
分
.....................................
8
设事件 B “合适旅行的日期 ”，则 B （ ），（ ），（ ），（ ），
11,12 15,16 16,17 17,18
包括基本领件数 m 4.....................................................................................................
..............................
10分 因此 P(B)
4
，即：合适连续游乐两天的概率为
4
...............................................................................
12 分
9
9
f (x) m n
3sinx cos x cos 2 x
3 sin 2 x 1 cos2x 1
（ 17）解：（ I ）
2 2
2
sin( 2x
1
)
=
6 2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
3 分
2k 2x
2k ,k Z
kx k
由
2
6 2
，可得
3 6
,,,,,
5 分
[ 3
k ,
k ],
k Z
,,,,,,,,,,,
因此函数的单一递加区间为
6
6 分
f ( A)
1, sin(2A
) 1
2
（ II ）
6 0
A
,
13
6 2A
6
6
2 A
5
, A
6
6 3 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
9 分
由
a
2
b 2
c 2
2bccos A, 1 b 2 c 2
2bc cos4 3bc , bc 1
可得
3
,, 10分
S ABC
1 bc sin A
3
2
4
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分
（ 18）
（）证明：连接 ， 分别为
1
的中点
分
B 1
C M , N MN / / B 1C...................2 A 1B 1 , AC
MN 平面 ， 平面 BCC 1B 1, MN / / 平面
分
BCC 1B 1 B 1C BCC 1B 1 (4)
（ ） 在直三棱柱中 BC BB 1 侧面 为正方形，则 B 1C BC 1 分
2
BCC 1B 1.
(6)
AB BC ， AB BB 1, BC BB 1 B,BC 平面
BCC 1B 1., BB 1 平面
BCC 1B 1 AB 平面 分 BCC 1B 1 (8)
B 1
C 平面 BCC 1B 1 , B 1C AB AB BC 1. B B 1C 平面 分
ABC 1 (10)
1
MN
平面
分
MN / /BC
ABC 1 (12)
（ 19）解（Ⅰ）设单一递加的等比数列 { a n }
的公比为 q
，
∵
a 3
2 是
a 2
,a
4 的等差中项。

∴
2(a
3
2) a 2 a 4
即
a 1
q a 1 q 3 2a 1 q 2 4
,,,,,,,,
1 分
又
a 2
a
3
a 4 28
即
a 1
q
a 1 q
2
a 1 q
3
28
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2 分
q 1
∴
a
1
2
∴
a
n
n
2 （舍去）或
q
2
,,,,,,
∴
3 分
2
,,,
4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a n 2n
，∴ b n
2
n
log 2 2
n
n 2n
,,,,,,,,,,,,,
5 分
∴
S
n
1 21
2 22
n 2n ,, ①
2S n 1 22
(n 1) 2n n 2n 1
,, ②
①－②将
S n 2 22
2n n 2n 1
6 分
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2(1 2n )
n 1
1 2
n 2 ＝ 2(1 2n ) n 2n 1 ＝
2
( n 1) 2n 1
∴
S
n
2 (n 1) 2
n 1
,,,,,,,
8 分
(n 1)
2
m(S n n 1) n 2
恒建立
（二）
(n
1)2
m(2 (n 1) 2n
1
n 1) n
2
恒建立
m
n 1
2
令
C
n
n
1 n 2
（一） 2n
1
1
n
恒建立 ,,,,,
9 分
2n 1
1
C
n 1
C n
n
n 1
n 2n 1 n n 2n 1
2n 2
n 1
(2 n) 2n 1 1
2
n 1
1 2n 1
1
(2
n 2
1)(2
n 1
1)
＝ (2
n 2
1)(2n 1 1)
∵
又∵ n
2, (2 1) 2n 1 1 0
∴
C
n 1
C n
，∴数列
{C n }
是递减数列 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
10 分
(C n )
min
C 2
1 1
m 1
2
3
1
7 ,,
11 分
7 ,,,,,,,,,,,,,
12 分
∴
∴
（ 20）解： (1) 函数的定义域为 (0，＋ ∞)．,,,,,,,,,,,,,,
1 分
－ 2x2＋3x － 1（ 2x － 1）（ x － 1）
当 a ＝3 时， f(x)＝－ x2＋ 3x － ln x ， f ′ (x)＝
＝－
x
，,
2 分
x
当 1
1
及 x>1 时， f ′ (x)<0， f(x)单一递减． ,, 4 分
<x<1 时， f ′(x)>0，f(x)单一递加；当 0<x< 2
2
因此 f(x)极大值＝ f(1)＝ 2， f(x)极小值＝ f 1 ＝ 5 ＋ ln 2,,,,,,,,,,,,,,,
6 分
2 4
1
(2) f ′ (x)＝(1－ a)x ＋ a － 1
＝ （ 1－ a ） x2＋ ax －1 （ 1－ a ） x －a － 1 （ x － 1）
9 分
x
＝ ,, x
x
当
（1－ x ） 2
10 分
1
＝ 1，即 a ＝ 2 时， f ′ (x)＝－ x
≤ 0， f(x)在定义域上是减函数； ,,
a － 1
当 0< 1
<1，即 a>2 时，令 f ′(x)<0，得 0<x< 1
或 x>1；
a － 1a － 1
1
令 f ′(x)>0，得
<x<1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
11 分
a － 1
当 1
1
；由 f ′(x)<0，得 0<x<1 或 x>
1 ，,,,12
a － 1>1，即 1<a<2 时，由 f ′ (x)>0，得 1<x<a － 1
a － 1
分
综上，当 a ＝ 2 时， f(x)在 (0，＋ ∞)上是减函数；
1
1
当 a>2 时， f(x)在 0，a － 1 和 (1，＋ ∞)单一递减，在 a －1， 1
上单一递加；
当 1<a<2 时， f(x)在 (0， 1)和 1
，＋ ∞ 单一递减，在
1， 1
上单一递加．, 13 分
a － 1 a －1
e c
2
2b 2
2
a
2 , 又
a
（ 21）解：（ 1）
,,,,,,,,,,,,,,,,, （
2 分）
x 2 y 2 1
因此
a
2,b 1.
2
因此椭圆的标准方程为
,,,,,,,,,, （
4 分） （ II ）（ i ）当 AB 的斜率为 0 时，明显 AFM
BFN =0 ，知足题意当 AB 的斜率不为 0 时，设
A x 1, y 1 ,
B x 2 , y 2 ， AB 方程为
x my 2
代入椭圆方程整理得
( m 2
2) y 2 4my 2 0,则
16m
2
8 m
2
2
8m
2
16
，因此 m 2
2.
y 1 y 2
4m
m
2
2
y 1 y 2
2
m
2
2
， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
（ 6 分）
k
MF
y 1 y 2 y 1 y 2 2my 1 y 2 ( y 1 y 2 ) k
NF
1 x
2 1
my 1 1
my 2 1
(my 1 1)(my 2 1)
x 1
2m 2
) ( 4m
( 2
2 )
m
2 m
2
0.
(my 1 1)( my 2 1)
k
MF
k NF
，即
AFM BFN ,,,
（
9 分）
（ ii ） S
MNF
S
PNF
S
PMF`
1
PF y 1
y 2
2
1
8m 2
16
2 m 2 2
2
2 = 2
1
m 2 2
m 2
2 4
2 4 4
m
2
2
m 2
m 2 2
4
当且仅当
m
2
2 ，即 m
2
6
.（此时合适△＞ 0 的条件）获得等号 .
2
三角形
MNF
面积的最大值是 4 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, （
14 分）
方法二（ i ）由题知，直线
AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为：
y
k( x 2) ，
y k( x 2)
设 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2
x 2
y 2 1
，整理得
(1
2k 2
) x 2
8k 2
x 8k 2
2 0,
，联立 2
2
1
则
64k
4
4 1 2k 2 8k
2
2 8 16k
2
，因此 0 k
2
.
x 1 x 2 8k 2
1 2k 2
x 1 x 2
8k 2
2
1 2k 2
， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
（
6 分）
k MF
k NF
y 1
y 2 k(x 1 2) k x 2 2 2kx 1x 2 3k(x 1 x 2 ) 4k
x 1
1 x 2
1
x 1 1
x 2
1
(x 1 1)( x 2
1)
2kx x
3k( x
x ) 4k 2k 8k 2 2
3k
8k 2
4k 16k 3
4k 24k 3 8k 3 4k
1
2
1
2 1 2k 2
1 2k 2
1 2k 2
k
MF
k
NF
，即
AFM
BFN
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
（
9 分）
MN
1
k 2
x 1 x 2
1 k 2
8(1 2k 2 )
（ ii ）
1 2k
2 ,
d
k
点 F
1,0
到直线 MN 的距离为
1 k
2 ，
1
S
MNF
2
1
k 2
2 2 1 2k 2
MN d
1
2
2
1 2k
=
(2 t)(
t
1)
2
k
1 2k
2 k 2
1 k 2
2
2k 2
2
1 .
t 2 3t
2
2
3 1 1 1
令 t 1 2k
2
，则
t
[1,2) ， u(t ) t 2
2t 2
t 2 t 2
1 3 6
u t max 1
当且仅当 t 4 ，即 k
0 的条件） 时， ( S MNF ) max
6 （此时合适△＞
16 ，即
2
三角形
MNF
面积的最大值是 4
,,,,,,,,,,
（ 14 分）
2
4。